Curva

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Question book.svg
Esta página ou secção não cita nenhuma fonte ou referência, o que compromete sua credibilidade (desde junho de 2009).
Por favor, melhore este artigo providenciando fontes fiáveis e independentes, inserindo-as no corpo do texto por meio de notas de rodapé. Encontre fontes: Googlenotícias, livros, acadêmicoScirusBing. Veja como referenciar e citar as fontes.
Uma espiral, um exemplo simples de curva.

Em matemática, uma curva é, em termos gerais, um objeto semelhante a uma linha, mas que não é obrigatoriamente reta. Tecnicamente, uma curva é o lugar geométrico ou trajetória seguida por um ponto que se move de acordo com uma ou mais leis especificadas, neste caso, as leis comporão uma condição necessária e suficiente para a existência do objeto definido. Frequentemente há maior interesse nas curvas em um espaço euclidiano de duas dimensões (curvas planas) ou três dimensões (curvas espaciais).

Em tópicos diferentes dentro da matemática o termo possui significados distintos dependendo da área de estudo, então o sentido exato depende do contexto. Um exemplo simples de uma curva é a espiral, mostrada a direita. Um grande número de outras curvas já foi bem estudado em diversos campos da matemática.

O termo curva também tem vários significados na linguagem não matemática. Por exemplo, ele pode ser quase um sinônimo de função matemática (como em curva de aprendizado), ou gráfico de uma função (como em curva de Phillips)

Se o intervalo for fechado e as imagens dos pontos inicial e final coincidirem a curva diz-se fechada. Se a função for injectiva (exceptuando a possibilidade de a curva ser fechada), a curva diz-se simples. A curva pode ainda ser adjectivada com as propriedades adicionais que tenha a função. Por exemplo, se a função for diferenciável, a curva diz-se diferenciável, etc.

Topologia[editar | editar código-fonte]

Fronteiras das componentes hiperbólicas do conjunto de Mandelbrot como curvas fechadas

Em topologia, uma curva é uma aplicação contínua cujo domínio é um intervalo. Mais precisamente, Seja I um intervalo de números reais (isto é, um conexo subconjunto não vazio de \mathbb{R}). Então uma curva \gamma é uma função contínua \gamma : I \rightarrow X, em que X é um espaço topológico. Por vezes também se chama curva à imagem dessa aplicação.

  • A curva \gamma é dita ser simples, ou uma curva de Jordan, se ela é injetiva, ou seja, se para todo x, y em I, tem-se \gamma(x) = \gamma(y) \implies x = y. Se I é um intervalo fechado [a, b], também é permitida a possibilidade de que \gamma(a) = \gamma(b) (esta convenção torna possível falar sobre curvas simples "fechadas", veja abaixo). Em outras palavras, este tipo de curva "não cruza a si mesma e não tem pontos faltando".[1]
  • Se \gamma(x)=\gamma(y) para algum x\ne y (outros além das extremidades de I), então \gamma(x) é chamado de um ponto duplo (ou múltiplo) da curva.

Uma curva plana é uma curva para a qual X é o plano euclidiano — estes são os primeiros exemplos encontrados — ou em alguns casos o plano projetivo. Uma curva espacial é uma curva para a qual X é tridimensional, sendo geralmente o espaço euclidiano; uma curva torcida (skew curve) é uma curva espacial que não está contida em nenhum plano. Essas definições também se aplicam a curvas algébricas (veja abaixo). No entanto, no caso das curvas algébricas é muito comum não impor a restrição de que a curva tenha pontos definidos apenas sobre os números reais.

Esta definição de curva captura nossa noção intuitiva de curva como sendo uma figura geométrica contínua, conexa que é "parecida" com uma reta, sem espessura e desenhável sem interrupção, embora ela também inclua figuras que dificilmente podem ser chamadas de curvas no sentido comum. Por exemplo, a imagem de uma curva pode preencher um quadrado no plano (curva de Peano). A imagem de uma curva plana simples pode ter uma dimensão de Hausdorff maior do que um (veja Floco de neve de Koch) e até mesmo medida de Lebesgue positiva.[2] (o último exemplo pode ser obtido através de uma pequena variação na construção da curva de Peano). A curva do dragão é outro exemplo incomum.

Exemplos de curvas[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Definição de curva de Jordan no Dictionary.com. Dictionary.com Unabridged. Random House, Inc.
  2. Osgood, William F.. (January 1903). "A Jordan Curve of Positive Area". Transactions of the American Mathematical Society 4 (1): 107–112. American Mathematical Society. DOI:10.2307/1986455.
Ícone de esboço Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.