Função sobrejectiva

Uma função sobrejectiva.

Uma função é sobrejectiva (ou sobrejetiva ou sobrejetora) quando o conjunto imagem coincide com o contradomínio da função.

Considere-se a função x³. Todos os números reais são imagem de um outro número real qualquer. Portanto a função é sobrejectiva. Como exemplo de uma função não sobrejectiva, podemos considerar x². Como estamos a pensar numa função real de variável real, o contradomínio não coincide com o conjunto de chegada. Neste caso particular, os números negativos não fazem parte do conjunto imagem. De facto, não existe um x real tal que x² < 0. Isto é, todos os elementos do contradomínio têm uma ou mais imagens correspondentes.

Pela definição:

Uma função $f: A \to B$ é sobrejectiva se o contradomínio de f coincide com B.

Ou seja, f é sobrejectiva sse

f(A)=B

ou por outras palavras

para todo o b pertencente ao conjunto B existe um a pertencente ao conjunto A : b = f (a).

Pode-se enunciar formalmente o conceito em Lógica de primeira ordem:

$\forall b \in B, \exists a \in A (b = f(a))\,$

É importante notar que, neste tipo de função, para conjuntos finitos, o contradomínio nunca tem mais elementos que o domínio.

Os termos injectiva, sobrejectiva e bijectiva se popularizaram devido ao seu uso por Nicolas Bourbaki.

Exemplos

Exemplos de funções sobrejetivas são as projeções π₁ : A X B→A e π₂ : A X B → B, de um produto cartesiano A X B nos fatores A e B, respectivamente. A primeira projeção,π₁, é definida por π₁(a,b)=a, enquanto a segunda projeção, π₂, é definida por π₂(a,b)=b.

Ver também

• Wikilivros

• Função injectiva
• Função bijectiva