Relação binária

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Relação binária.
Relação binária.

Na matemática e na lógica, uma relação binária ou 2-ária é uma relação entre dois elementos, sendo um conjunto de pares ordenados. As relações binárias são comuns em muitas áreas da matemática para definir conceitos como por exemplos: "é múltiplo" e "maior que" da aritmética; "é congruente" da geometria; e outros.

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma relação binária r sobre dois universos A e B é:

r\subseteq A\times B

Em outras palavras, uma relação binária é definida como sendo um subconjunto do produto cartesiano entre os conjuntos A e conjunto B. Isto é, uma relação R é um conjunto de pares ordenados. Um subconjunto de A x A pode ser chamado simplesmente de relação binária em A.

Suponha que R é uma relação de A para B. Então R é um conjunto de pares ordenados onde cada primeiro elemento pertence a A e cada segundo elemento pertence a B. Isto é, para cada par (a,b), aA e bB. Então exatamente uma das seguintes afirmativas é verdadeira:

  • (a,b) ∈ R: dizemos que “a é R-relacionado a b”, escrevendo aRb.
  • (a,b) R: dizemos que “a não é R-relacionado a b”, escrevendo aRb.

O domínio de uma relação R é o conjunto de todos os primeiros elementos de um par ordenado que pertence a R. A imagem de R é o conjunto dos segundos elementos. No caso descrito acima, o domínio é um subconjunto de A e a imagem é um subconjunto de B.

Exemplos:

  • Sejam A = {1, 2, 3} e B = { x, y, z} , e seja R = {(1,y), (1,z), (3,y)}. Então R é uma relação de A para B, uma vez que R é um subconjunto de A x B. Com respeito a esta relação, 1Ry, 1Rz, 3Ry, mas 1Rx, 2Rx, 2Ry, 2Rz, 3Rx, 3Rz. O domínio de R é {1.3} e a imagem é {y.z}.
  • Seja A um conjunto qualquer. Uma relação importante em A é a relação de igualdade, {(a,a); a ∈ A}, que é usualmente denotada por =. Essa relação é também chamada de identidade ou relação diagonal em A e será também denotado por δ.

Outra definição[editar | editar código-fonte]

Uma relação binária R também pode ser definida como um trio ordenado (A, B, G) onde A e B são conjuntos arbitrários, e G é um subconjunto do produto cartesiano A×B. Os conjuntos A e B são chamados de domínio e codomínio da relação, respectivamente, e G é chamado de grafo.

A Relação final corresponde a visualizar R como uma Função indicadora do conjunto de pares G. A ordem de cada par de G é importante: se a ? b, então aRb pode ser verdadeiro ou falso independentemente de bRa o ser.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Numa relação P definida por:
P = \lbrace (a, b) \in \mathbb{N}^2 : a + b = 2\rbrace

ou seja, P = {(2,0), (1, 1), (0, 2)}, P(0,2) é verdadeiro, já P(-1,3) é falso;

  • Suponha que existam 4 objetos: {carro, bola, boneca, bala} e quatro pessoas {João, Maria, Marcos, Pedro}.
Suponha que João tem a bola, Maria tem a boneca, e Pedro tem o carro. Ninguém tem a bala e Marcos não tem nada.
Então a relação binária R "pertence a" é dada como R = ({bola, carro, boneca, bala}, {João, Maria, Marcos, Pedro}, {(bola, João), (boneca, Maria), (carro, Pedro)}).

Tipos de relações binárias[editar | editar código-fonte]

Dada uma relação R ⊆ A×B, podemos classificá-la como:

  • Relação total
 (\forall a \in A)\;(\exist b \isin B),\;aRb

Ou seja, todo elemento de A se relaciona com algum de B.

  • Relação sobrejetora
 (\forall b \in B)\;(\exist a \in A),\;aRb

É o inverso da total, todo elemento de B é relacionado com algum de A.

  • Relação funcional
(\forall a \in A)\;(\forall b_1,\;b_2\;\in\;B),\;aRb_1\;\and aRb_2 \to\; (b_1 = b_2)

Ou seja, um elemento de A não pode se relacionar com mais de um elemento de B.

  • Relação injetora:
(\forall a_1,\; a_2 \in A)\;(\forall b \in B),\; a_1 Rb \and a_2 Rb \to ( a_1 = a_2 )

O contrário da funcional: um elemento de B não pode ser relacionado com dois ou mais elementos de A diferentes.

Uma relação é dita um monomorfismo se ela é total e injetora. Uma relação é dita um epimorfismo se ela é funcional e sobrejetora. Uma relação é dita um isomorfismo se ela é um monomorfismo e um epimorfismo.

Operações em relações binárias[editar | editar código-fonte]

Relações inversas[editar | editar código-fonte]

Seja R uma relação qualquer A×B. A inversa de R, denotada por R−1, é a relação de B×A consiste nos pares ordenados que, quando têm sua ordem revertida, pertencem a R, isto é,

R^{-1} = \{(b,a): (a,b) \in R\}

Por exemplo, a inversa da relação R = {(1, y), (1, z), (3, y)} é a seguinte: R−1 = {(y, 1), (z, 1), (y, 3)}.

Claramente, (R−1)−1 = R. Além disso o domínio e a imagem de R−1 são, respectivamente, iguais à imagem e ao domínio de R. Ademais, se R é uma relação em A, então R−1 também é uma relação em A.

Composição de relações[editar | editar código-fonte]

Relacionar elementos de A com elementos de B é destacar um subconjunto de AxB. Dadas R1A×B e R2B×C:

A composição das relações R1 com R2, denotado por R2R1, é a relação

{(a,c): (∃b ∈B), com (a,b) ∈ R1 e (b,c) ∈ R2} ⊆ A×C

Exemplo: Sejam os conjuntos

A = {a, b, c}; B = {c, d, e} e C = {a, e}; e as relações R1 = {(a,c), (a,e), (b,c), (c,d)} e R2 = {(c,a), (d,a), (d,e), (e,e)}.

Então R2R1 = {(a,a), (a,e), (b,a), (c,a). (c,e)}.

Propriedades das relações[editar | editar código-fonte]

Dada uma relação binária R sobre um conjunto A.

Considere a serviço de exemplo as seguintes cinco relações em um conjunto A = { 1, 2, 3, 4}:

R1 = {(1,1), (1,2), (2,3), (1,3), (4,4)};
R2 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3), (4,4)};
R3 = {(1,3), (2,1)};
R4 = ∅, a relação vazia;
R5 = A×A, a relação universal.

Reflexividade[editar | editar código-fonte]

A relação R é dita reflexiva se todos os elementos se relacionam com si próprios.

Uma relação é irreflexiva se nenhum elemento se relaciona com si próprio.

Exemplos:

  • A relação "ter o mesmo pai que" é reflexiva (pois todo mundo é filho de seu próprio pai).
  • A relação "ser irmão de" é irreflexiva (pois ninguém é irmão de si próprio).

Dos exemplos citados, como A contém os quatro elementos, 1, 2, 3 e 4, uma relação R em A é reflexiva se contém os quatro pares (1,1), (2.2), (3.3), (4,4). Portanto, apenas R2 e a relação universal R5 são reflexivas. Note que R1 , R3 e R4 não são reflexivas, uma vez que, por exemplo, (2,2) não pertence a nenhuma delas.

Formalmente, a relação R é dita reflexiva se aRa para todo aA, isto é, se (a,a) ∈ R para todo aA.

Em um conjunto finito com n elementos existem 2 relações binárias, das quais 2n²-n são reflexivas.

Simetria[editar | editar código-fonte]

Uma relação binária é simétrica se a relação de a com b implica na relação de b com a.

Exemplo: A relação "a é irmão de b" é simétrica, pois, se a é irmão de b, então b é irmão de a.

Formalmente, uma relação binária é simétrica se qualquer aRb implica bRa. Em um conjunto finito com n elementos, há 2^{\frac{n^2+n}{2}} relações simétricas.

R1 não é simétrica já que (1,2) ∈ R1 mas (2,1) ∉ R1. R3 não é simétrica já que (1,3) ∈ R3 mas (3,1) ∉ R3 . As outras relações são simétricas.

Uma relação anti-simétrica é tal que se aRb e bRa então a=b. Assimétrica é uma relação em que aRb implica que não bRa.

R2 não é anti-simétrica, já que (1,2) e (2,1) pertencem a R2 , mas 1 ≠ 2. Analogamente, a relação universal R5 não é anti-simétrica. Todas as outras são anti-simétricas.

Note que as propriedades de simetria e anti-simetria não são mutuamente excludentes. Por exemplo, a relação R = {(1,3), (3,1), (2,3)} não é nem simétrica nem anti-simétrica. Por outro lado, a relação R' = {(1,1), (2.2)} é simétrica e anti-simétrica.

Transitividade[editar | editar código-fonte]

Em uma relação transitiva, se a implica b, e b implica c, então a implica c.

Exemplo: Se a é irmão de b, e b é irmão de c, então a é irmão de c.

Formalmente, uma relação é dita transitiva se aRb e bRc implicam em aRc. A relação se diz antitransitiva quando aRb e bRc implicam que não é verdade aRc.

A relação R3 não é transitiva porque (2,1) e (1,3) ∈ R3, mas (2,3) ∉ R3 . Todas as outras relações são transitivas.

A propriedade de transitividade também pode ser expressa em termos da composição de relações. Para uma relação R em A, definimos R² = R⋅R e, mais geralmente, Rn = Rn-1⋅R.

Teorema: a relação R é transitiva se e somente se , RnR para n ≥ 1.

Algumas outras propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Relação total (ou linear): para todo a e b em A é verdade que aRb ou bRa (ou ambos).
  • Relação euclidiana: para todo a, b e c em A, é verdade que se aRb e aRc então bRc.
  • Relação extensível (ou serial): para todo a em A, existe um b em A tal que aRb. "Maior que” é uma relação extensível nos inteiros. Mas não é um relação extensível nos inteiros positivos, porque não existe um x nos inteiros positivos tal que 1>x.

Uma relação R que é simétrica e anti-simétrica ao mesmo tempo tem a propriedade que se xRy então x = y. Em um conjunto finito com n elementos existem apenas 2^n dessa relaçãos.

Uma relação que é simétrica, transitiva e extensível é também reflexiva

Uma relação que é reflexiva, simétrica e transitiva é chamada de uma relação de equivalência. Uma relação que é reflexiva, anti-simétrica e transitiva é chamada de ordem parcial. Uma ordem parcial que é total é chamada de relação de ordem total ou uma ordem linear ou uma chain. Uma ordem linear na qual todo conjunto não vazio tem um menor elemento é chamado bem ordenado.

Exemplo:

Seja Z* o conjunto dos inteiros não nulos e seja a relação em Z*×Z* definida por (a,b)≡(c,d) sempre que ad = bc. Demonstra-se que ≡ é uma relação de equivalência:

  1. Reflexividade: temos (a,b)≡(a,b), já que ab = ba. Portanto, ≡ é reflexiva.
  2. Simetria: temos (a,b)≡(c,d). Então ad = bc. Por conseguinte, cb = da e, portanto, (a,b)≡(c,d). Assim, ≡ é simétrica.
  3. Transitividade: suponha (a,b)≡(c,d) e (c,d)≡(e,f). Então, ad = bc e cf = de. A multiplicação dos termos correspondentes da equação leva a (ad)(cf) = (bc)(de). Cancelando c ≠ 0 e d ≠ 0 dos dois lados da equação, obtém-se af = be, e portanto (a,b)≡(e,f). Logo, ≡ é transitiva.

Consequentemente, ≡ é uma relação de equivalência.

Obs.: Do ponto de vista gráfico, uma relação é reflexiva se para todo vértice existir uma aresta ligando-o a ele mesmo. A estas arestas dá-se o nome de lacetes. A relação será simétrica se sempre que ao existir uma aresta de a para b também exista uma aresta de b para a e será transitiva sempre que ao existir uma aresta da a para b e outra de b para c, também exista uma aresta de a para c.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]