Relação de ordem

A expressão relação de ordem é ambígua: alguns matemáticos usam-na para se referir às relações de ordem total, enquanto outros usam-na para as relações de ordem parcial.

Relação de ordem total

Uma relação de ordem total é definida para pares de elementos de um conjunto S. Ela necessariamente tem que possuir três características:

• (i) totalidade: $a \le b \or b \le a \;\; \forall a, b \in S$;

• (ii) anti-simetria: $a \le b \and b \le a \Longrightarrow a = b \;\; \forall a, b \in S$; e

• (iii) transitividade: $a \le b \and b \le c \Longrightarrow a \le c \;\; \forall a, b, c \in S$.

Um conjunto que possui uma relação de ordem é chamado de conjunto ordenado.

Note que os axiomas estão escritos para $\le\,$, mas axiomas semelhantes podem ser escritos para $\ge\,$, < ou >. Por exemplo:

• (i) totalidade: $\forall a, b \in S, \ (a = b \lor a > b \lor b > a)\,$

• (ii) anti-simetria: $\forall a, b \in S, \ \lnot(a > b \land b > a)\,$

• (iii) transitividade: $\forall a, b, c \in S, \ (a > b \land b > c \rightarrow a > c)\,$

Um conjunto munido de uma relação de ordem total é chamado de conjunto totalmente ordenado.

Relação de ordem parcial

Uma relação de ordem parcial possui as propriedades (ii) e (iii) acima, mais a reflexividade:

• reflexividade: $\forall a\in S, \ \left(a \le a\right)\,$

Um conjunto munido de uma relação de ordem parcial é chamado de conjunto parcialmente ordenado.

Relação de Ordem Densa

Uma relação de ordem, parcial ou total, é denominada densa se entre dois elementos sempre existe um outro:

• densidade: $\forall a, b \in S\ \left(a < b \Rightarrow \exists c \in S\left( a < c < b \right) \right)\,$

Cotas superior (majorante) e inferior (minorante)

Um elemento x de um conjunto parcialmente ordenado é uma cota superior ou majorante de um subconjunto A, quando x é maior ou igual a todos os elementos de A.

Um elemento x de um conjunto parcialmente ordenado é uma cota inferior ou minorante de um subconjunto A, quando x é menor ou igual a todos os elementos de A.

Maximal e minimal

Um elemento de um conjunto parcialmente ordenado é maximal quando não existe outro elemento que seja maior que ele.
Um elemento de um conjunto parcialmente ordenado é minimal quando não existe outro elemento que seja menor que ele.

Conjunto bem ordenado

Um conjunto é bem ordenado quando todo subconjunto não vazio tem um elemento mínimo. Por exemplo, $\mathbb{N}$ é bem ordenado pela relação natural desse conjunto (ver Princípio da boa-ordenação), mas $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}$ não são, segundo as suas ordens naturais. O conceito de boa ordem é importante para definir matematicamente o que são números ordinais.

Ver também

• Relação (matemática)
• Topologia da ordem: uma relação de ordem parcial gera uma topologia, que tem como base os conjuntos do tipo {x | x < b}, {x | x > a} e {x | a < x < b}.
• Corpo ordenado: quando o conjunto ordenado tem uma estrutura algébrica de corpo, e a ordem e as operações algébricas são compatíveis.