Relação (matemática)

Em Matemática, uma relação é uma correspondência existente entre conjuntos não vazios. Por exemplo, dois conjuntos $A$ e $B$. O conjunto $A$ é denominado conjunto de partida e o conjunto $B$ é denominado conjunto de chegada.

A correspondência entre os dois conjuntos é dada em termos de pares ordenados, onde o primeiro elemento do par ordenado procede do conjunto de partida $A$ e o segundo elemento do par ordenado procede do conjunto de chegada $B$.

Os conjuntos de partida e de chegada não tem necessariamente que ter uma estrutura. Entretanto, segundo o tipo de estrutura que é sobreposta a esses conjuntos e o tipo de restrição que se impõe à própria relação, tem-se tipos especiais de relações, cada qual com um nome específico

Uma classe de relações especialmente importante é a classe das funções.

Fundamentos

Matematicamente, uma relação é qualquer subconjunto de um produto cartesiano. Em termos mais explícitos, definimos uma relação $R$ como sendo um conjunto de pares ordenados $\left(a,b\right)$ tais que $a$ pertença ao conjunto $A$ e que $b$ pertença ao conjunto $B$. Em termos matemáticos:

$R \subseteq A \times B = \left\{\left(a,b\right)| a \in A \land b \in B\right\}$

Note-se que até o próprio conjunto cartesiano é um tipo de relação, dado que todo conjunto é subconjunto impróprio de si mesmo. Até o conjunto vazio pode ser considerado uma relação, mas deve-se tomar alguns cuidados em definições e teoremas para se evitarem paradoxos e contradições.

Relações entre elementos do mesmo conjunto

Um tipo importante são as relações em que A = B, ou, em outras palavras, subconjuntos de A x A. Os tipos de propriedades que essas relações podem ter são:

• Reflexiva:

$\left(a,a\right) \in R \quad \forall a \in A$

• Simétrica:

$\left(a,b\right) \in R \to \left(b,a\right) \in R$

• Anti-simétrica:

$\left(a,b\right) \in R \land \left(b,a\right) \in R \to \left(a,b\right) = \left(b,a\right)$

• Transitiva:

$\left(a,b\right) \in R \land \left(b,c\right) \in R \to \left(a,c\right) \in R$

Relações de equivalência

Ver artigo principal: Relação de equivalência

É uma relação que possui as propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva.

Relações de ordem

Ver artigo principal: Relação de ordem

É uma relação que possui as propriedades: reflexiva, anti-simétrica e transitiva.

Relação Composta

Seja R uma relação de A para B, e S uma relação de B para C. Então podemos definir a relação composta S o R, de A para C, como:

$S \circ R = \{ (x, z) \in A \times C | \exists y \in B, (x, y) \in R \land (y, z) \in S \}\,$

Um cuidado deve ser tomado com essa notação, que é consistente com a notação de função composta, porque S e R parecem estar invertidas.

Relação Inversa

Analogamente ao conceito de função inversa, podemos definir a relação inversa da relação $R \subset A \times B\,$:

$R^{-1} = \{ (y, x) \in B \times A | (x, y) \in R \} \,$

Note-se que nem sempre:

$R o R^{-1} = Id_B\,$.