Relação (matemática)

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Question book.svg
Esta página ou se(c)ção não cita fontes fiáveis e independentes (desde Janeiro de 2013). Por favor, adicione referências e insira-as no texto ou no rodapé, conforme o livro de estilo. Conteúdo sem fontes poderá ser removido.
Encontre fontes: Google (notícias, livros, acadêmico)Yahoo!Bing.

Em Matemática, uma relação é uma correspondência existente entre conjuntos não vazios. Por exemplo, dois conjuntos  A e  B . O conjunto  A é denominado conjunto de partida e o conjunto  B é denominado conjunto de chegada.

A correspondência entre os dois conjuntos é dada em termos de pares ordenados, onde o primeiro elemento do par ordenado procede do conjunto de partida  A e o segundo elemento do par ordenado procede do conjunto de chegada  B .

Os conjuntos de partida e de chegada não tem necessariamente que ter uma estrutura. Entretanto, segundo o tipo de estrutura que é sobreposta a esses conjuntos e o tipo de restrição que se impõe à própria relação, tem-se tipos especiais de relações, cada qual com um nome específico

Uma classe de relações especialmente importante é a classe das funções.

Fundamentos[editar | editar código-fonte]

Matematicamente, uma relação é qualquer subconjunto de um produto cartesiano. Em termos mais explícitos, definimos uma relação  R como sendo um conjunto de pares ordenados \left(a,b\right) tais que  a pertença ao conjunto  A e que  b pertença ao conjunto  B . Em termos matemáticos:


 R \subseteq A \times B = \left\{\left(a,b\right)| a \in A \land b \in B\right\}


Note-se que até o próprio conjunto cartesiano é um tipo de relação, dado que todo conjunto é subconjunto impróprio de si mesmo. Até o conjunto vazio pode ser considerado uma relação, mas deve-se tomar alguns cuidados em definições e teoremas para se evitarem paradoxos e contradições.

Relações entre elementos do mesmo conjunto[editar | editar código-fonte]

Um tipo importante são as relações em que A = B, ou, em outras palavras, subconjuntos de A x A. Os tipos de propriedades que essas relações podem ter são:

\left(a,a\right) \in R  \quad \forall a \in A
\left(a,b\right) \in R  \to  \left(b,a\right) \in R
\left(a,b\right) \in R  \land  \left(b,a\right) \in R   \to   \left(a,b\right) = \left(b,a\right)
\left(a,b\right) \in R  \land  \left(b,c\right) \in R   \to   \left(a,c\right) \in R

Relações de equivalência[editar | editar código-fonte]

É uma relação que possui as propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva.

Relações de ordem[editar | editar código-fonte]

É uma relação que possui as propriedades: reflexiva, anti-simétrica e transitiva.

Relação Composta[editar | editar código-fonte]

Seja R uma relação de A para B, e S uma relação de B para C. Então podemos definir a relação composta S o R, de A para C, como:

S \circ R = \{ (x, z) \in A \times C | \exists y \in B, (x, y) \in R \land (y, z) \in S \}\,

Um cuidado deve ser tomado com essa notação, que é consistente com a notação de função composta, porque S e R parecem estar invertidas.

Relação Inversa[editar | editar código-fonte]

Analogamente ao conceito de função inversa, podemos definir a relação inversa da relação R \subset A \times B\,:

R^{-1} = \{ (y, x) \in B \times A | (x, y) \in R \} \,

Note-se que nem sempre:

R o R^{-1} = Id_B\,.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Bourbaki, N. (1994) Elements of the History of Mathematics, John Meldrum, trans. Springer-Verlag.
  • Halmos, P.R. (1960) Naive Set Theory. Princeton NJ: D. Van Nostrand Company.
  • Lawvere, F.W., and R. Rosebrugh (2003) Sets for Mathematics, Cambridge Univ. Press.
  • Suppes, Patrick (1960/1972) Axiomatic Set Theory. Dover Publications.
  • Tarski, A. (1956/1983) Logic, Semantics, Metamathematics, Papers from 1923 to 1938, J.H. Woodger, trans. 1st edition, Oxford University Press. 2nd edition, J. Corcoran, ed. Indianapolis IN: Hackett Publishing.
  • Ulam, S.M. (1990) Analogies Between Analogies: The Mathematical Reports of S.M. Ulam and His Los Alamos Collaborators in A.R. Bednarek and Françoise Ulam, eds., University of California Press.