Número ordinal

Os números ordinais, ou simplesmente ordinais, são números usados para assinalar uma posição numa sequência ordenada: primeiro, segundo, terceiro, quarto, quinto, sexto etc. Para a nomenclatura destes números ver nomes dos números.

Em matemática, os números ordinais são uma extensão dos números naturais criada para incluir sequências infinitas por Georg Cantor em 1897.

Ordinal segundo von Neumann

A definição padrão de ordinal na teoria de conjuntos atual, introduzida por John von Neumann, é:

* S é bem-ordenado segundo a relação $\in\,$ quando aplicada a S x S

* S é transitivo: todo elemento de S é um subconjunto de S

Podemos escrever esta definição usando a linguagem da teoria dos conjuntos; esta expressão será simbolicamente resumida como Ord(S).

Por exemplo, $\varnothing$, { $\varnothing$ } e { { $\varnothing$ }, $\varnothing$ } são números ordinais.

Ordinal sucessor

É fácil ver que se α é um número ordinal, então também é um ordinal o conjunto S(α) (que existe, pelos axiomas do par e da união) definido por $\alpha \cup \{ \alpha \}\,$ também é um ordinal.

Em detalhes:

* S(α) é bem-ordenado; de fato, se um subconjunto A não-vazio de S(α) contém algum elemento de α, então o seu menor elemento existe e é exatamente $\mbox{min}(A \cap \alpha)\,$. Por outro lado, se um subconjunto B não-vazio de S(α) não possui nenhum elemento em comum com α, então B = { α } e seu menor elemento é α.

* Um elemento x de S(α) é um elemento de α ou é o próprio α. No primeiro caso, $x \in \alpha \implies x \subseteq \alpha \subseteq S(\alpha)\,$. No segundo caso, por construção $x = \alpha \subseteq S(\alpha)\,$

Se β=S(α), então β é chamado o sucessor de α. De maneira geral, um ordinal β é denominado ordinal sucessor se existe um ordinal α tal que β=S(α). Em tal caso, α é dito o antecessor de β.

Ordinal limite

Um ordinal α é limite se α ≠ 0 e α não é ordinal sucessor, ou seja, se α não tem antecessor.

Ao infinito e além

Seguindo os axiomas de Zermelo-Fraenkel, o axioma do infinito garante a existência de um número ordinal infinito:

1. por este axioma, existe um conjunto que tem como elemento o conjunto vazio e o sucessor de cada um dos seus elementos. Neste contexto, o sucessor de um conjunto x é o conjunto $x \cup \{ x \} \,$
2. podemos definir recursivamente, usando a linguagem da teoria de conjuntos, uma propriedade que significa "x é um número natural". Um número natural é o conjunto vazio, ou o sucessor de um número natural.
3. assim, pelo axioma da separação, define-se $\mathbb{N}$ como o subconjunto do conjunto infinito postulado pelo axioma do infinito cujos elementos são números naturais, também denominados de ordinais finitos.
4. um ordinal que não é finito, ou seja, que não é um número natural, é denominado infinito.
5. $\mathbb{N}$ é bem ordenado segundo a relação $\in\,$, e todos seus elementos são subconjuntos dele, logo ele é um número ordinal, sendo chamado de ω.
6. ω é um ordinal limite e o menor ordinal limite.
7. ω é infinito e todo ordinal α tal que α≥ω também é infinito.

Classificação ordinal

A classificação de um elemento em um ordinal depende sempre do número de elementos que estão a sua frente. De modo que em concursos públicos ou demais disputas, quando há empate entre dois competidores numa posição X, a classificação seguinte é considerada vazia. Por exemplo, num empate entre dois competidores na primeira colocação, o próximo competidor melhor colocado é considerado terceiro, ficando vago o segundo lugar. Nem sempre, no entanto, esta regra é seguida, existindo algumas organizações que consideram que aquele que ficou com dois competidores a sua frente pode ser o segundo, caso os outros dois estejam empatados.