Axioma da união

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Na teoria dos conjuntos, o axioma da união é aquele que garante a existência de uniões (finitas ou infinitas) de outros conjuntos.

Nestas teorias em que os elementos são conjuntos, o axioma da união diz que existe um conjunto que é a "união" (com significado explicado logo a seguir) dos seus elementos.

Ou seja, seja A um conjunto. Então existe um conjunto B (chamado de \bigcup_{X \in A} X\,) tal que:

  • todo X, que é elemento de A, é subconjunto de B
  • todo Y, que é elemento de B, é elemento de algum elemento de A

Neste axioma, A pode ser vazio, finito ou infinito. Respectivamente, B será o conjunto vazio, uma união finita e uma união infinita.

Um axioma semelhante sobre interseções não existe, porque não é possível definir uma interseção vazia (\bigcap_{X \in \varnothing} X\, é algo como o conjunto de todos os conjuntos).

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Na linguagem formal dos axiomas de Zermelo-Fraenkel, este axioma é:

\forall A\, \exist B\, \forall c\, (c \in B \iff \exist D\, (c \in D \and D \in A)\,)

A definição acima implica (pelo axioma da extensão) que B é único; existem outras formas equivalentes deste axioma, em que o conjunto cuja existência é postulada é um superconjunto da união. Nestes casos, para se obter a união é preciso aplicar o axioma da substituição para a propriedade \phi(X) = (\exists Y, X \in Y \land Y \in A)\,.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
Wikilivros Livros e manuais no Wikilivros


Wiki letter w.svg Este artigo é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o. Editor: considere marcar com um esboço mais específico.