Axiomas de Zermelo-Fraenkel

A teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel é a teoria axiomática mais comum da teoria de conjuntos, abreviada ZFC quando contém o Axioma da Escolha (inglês: choice) e ZF quando não. Existem várias formas equivalentes dos axiomas de ZFC. A forma apresentada abaixo se deve a Kenneth Kunen; uma explicação em linguagem natural foi acrescentada para cada axioma.

1) Axioma da extensão: Dois conjuntos são iguais se eles têm os mesmos elementos.

$\forall x \forall y ( \forall z (z \in x \leftrightarrow z \in y) \rightarrow x = y)$

A recíproca é consequência da propriedade da substituição na igualdade. Deve-se notar que em ZFC não existem urelementos, ou seja, todo elemento de um conjunto é, também, um conjunto.

2) Axioma da regularidade (também chamado de Axioma da fundação): Todo conjunto não-vazio x contém algum elemento y tal que x e y são disjuntos.

$\forall x [ \exists y ( y \in x) \rightarrow \exists y ( y \in x \land \lnot \exists z (z \in y \land z \in x))]$

Nem todas versões da Teoria incluem esse axioma; esse axioma, porém, garante que não existem conjuntos do tipo $X = \{ X \}$ ou $Y = \{ \varnothing , Y \}$. Esse axioma também garante que a definição alternativa de par ordenado (a, b) = {a, {a,b}} seja satisfatória.

3) Axioma da separação (também chamado de Axioma da compreensão ou ainda Axioma de Especificação): Se z é um conjunto e $\phi\!$ é qualquer propriedade que possa ser atribuída a elementos x de z, então existe um subconjunto y de z que contém os elementos x de z e que possuem essa propriedade. A restrição a z é necessária para evitar o paradoxo de Russell e suas variantes. Formalmente: qualquer formula $\phi\!$ na linguagem da ZFC com variáveis livres entre $x,z,w_1,\ldots,w_n\!$:

$\forall z \forall w_1 \ldots w_n \exists y \forall x (x \in y \iff ( x \in z \land \phi ) )$

Notar que esse não é um axioma, mas um esquema de axiomas: cada $\phi\!$ gera um novo axioma.

4) Axioma do par: Se x e y são conjuntos (não necessariamente distintos) então existe um conjunto no qual x e y são elementos.

$\forall x \forall y \exist z (x \in z \land y \in z)$

5) Axioma da união: Para todo conjunto $\mathcal{F}$ existe um conjunto A tal que todo elemento que pertence a um elemento de $\mathcal{F}$ é um elemento de A.

$\forall \mathcal{F} \,\exists A \, \forall Y\, \forall x (x \in Y \land Y \in \mathcal{F} \rightarrow x \in A)$

6) Axioma da substituição: O objetivo é garantir que se algum esquema f, quando aplicado ao conjunto x, tem a cara de uma função, então existe um conjunto f(x). Formalmente: para toda fórmula $\phi \!$ na linguagem da ZFC com variáveis livres entre $x,y,A,w_1,\ldots,w_n \!$:

$\forall A\,\forall w_1,\ldots,w_n [ \forall x \in A \exists ! y \phi \rightarrow \exists Y \forall x \in A \exists y \in Y \phi].$

O símbolo $\exists ! y$ significa que $y\!$ existe e é único.

O próximo axioma usa a notação $S(x) = x \cup \{x\} \!$, chamado de sucessor de x.

Os Axiomas 1 a 6 provam que $S(x)\!$ existe e é único para todo conjunto $x\!$. Outra consequência dos axiomas precedentes é que o conjunto vazio $\varnothing$ existe e é único.

7) Axioma do infinito: Existe um conjunto x que tem o conjunto vazio como elemento, e que, para todo elemento y, ele contém seu sucessor S(y).

$\exists x ( \varnothing \in x \land \forall y \in x ( S(y) \in x))$

Para o próximo axioma é conveniente definir $z \subseteq x$ como for $\forall q (q \in z \rightarrow q \in x)$.

8) Axioma da potência: Para todo conjunto x existe um conjunto y que tem como elementos todo subconjunto de x.

$\forall x \exists y \forall z (z \subseteq x \rightarrow z \in y)$

O próximo axioma é o mais polêmico de todos.

9) Axioma da escolha: Para todo conjunto X existe uma relação binária R que torna X bem ordenado. Isso significa que R é uma relação de ordem em X e que todo subconjunto não-vazio de X tem um elemento que é mínimo nesta relação R.

$\forall A \exists R ( R \;\mbox{well-orders}\; A)$

Kunen também inclui um axioma redundante que diz que existe pelo menos um conjunto, o que pode ser provado a partir do axioma do infinito. O axioma do par também é redundante, e pode ser deduzido dos axiomas do infinito, separação e substituição.

Existem formas alternativas dos primeiros oito axiomas. Por exemplo, o axioma do par (#4) costuma se apresentar na forma seguinte: para todos conjuntos x e y existe um conjunto z cujos elementos são x, y e mais nada: $\forall x \forall y \exist z (x \in z \land y \in z \land (\forall t \in z (t = x \lor t = y)))$. Analogamente, os axiomas da união, substituição e potência costumam ser escritos de forma que o conjunto por eles definido seja único. Essas variantes dos axiomas podem ser vistas em Jech.

O Axioma da escolha pode ser substituído por formas equivalentes (em outras palavras, os primeiros 8 axiomas podem provar que essas formas do axioma da escolha são equivalentes). Dentre essas a mais conhecida, e que dá origem ao nome do axioma, é a que diz que todo conjunto formado por conjuntos não vazios tem uma função escolha.

Na lista acima, dois axiomas são, na verdade, uma lista infinita de axiomas. Sabe-se que não existe uma forma de apresentar ZFC com um número finito de axiomas. Existe, porém, uma versão alternativa do axioma da substituição que implica o axioma da compreensão; isso permite escrever os axiomas da ZFC com apenas um esquema de axiomas.

Ver também

• o wikilivro Teoria dos conjuntos estuda os axiomas de uma forma sequencial e progressiva.

Ligações externas

• ZERMELO–FRAENKEL SET THEORY , por James T. Smith, San Francisco State University