Interseção

Representação gráfica da interseção entre dois conjuntos

Em teoria dos conjuntos, a interseção ^{(português brasileiro)} ou intersecção ^{(português europeu)} (AO 1990: interseção ou intersecção), é um conjunto de elementos que, simultaneamente, pertencem a dois ou mais conjuntos, representado por ∩.

Por exemplo, se o conjunto A possui os elementos {1,2,3,4,5} e o conjunto B possui os elementos {2,4,6,8}, então A$\cap$B={2,4}

Definição

Pela teoria básica de conjuntos, define-se $A \cap B\,$ por:

$A \cap B = \{ x | x \in A \land x \in B \}\,$

Pelos axiomas de Zermelo-Fraenkel, a definição acima não é valida. Devemos usar o axioma da separação com a fórmula $\Phi = x \in w_1\,$:

$\forall z \forall w_1 \exists y \forall x (x \in y \iff ( x \in z \land x \in w_1) )$

Esse axioma garante a existência da interseção ($y = z \cap w_1\,$); o enunciado do axioma da separação é tal que, usando-se o axioma da extensão, pode-se mostrar que y é único.

Em outras palavras, provou-se que

$\forall A \forall B \exists ! (A \cap B) \forall x (x \in (A \cap B) \iff (x \in A \land x \in B))$

Propriedades

Considerando-se que $(x \in A \land x \in B) \iff (x \in B \land x \in A)\,$ e que $((x \in A \land x \in B) \land x \in C) \iff (x \in A \land (x \in B \land x \in C))\,$, prova-se que:

$\forall A \forall B (A \cap B = B \cap A)$

$\forall A \forall B \forall C ((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C))$

Como o conjunto vazio $\varnothing\,$ tem a propriedade que $\forall x (x \notin \varnothing)\,$, temos que:

$\forall A (A \cap \varnothing = \varnothing)\,$

Deve-se tomar cuidado ao dizer que $\cap\,$ é associativa e comutativa, porque, a rigor, associatividade e comutatividade são propriedades de operações binárias, e a interseção foi definida para todos conjuntos - tratar todos conjuntos como um conjunto gera paradoxos.

Interseções arbitrárias

Seja M uma coleção não-vazia de conjuntos (em teoria dos conjuntos na sua formulação segundo os axiomas de Zermelo-Fraenkel, todo conjunto tem como elementos outros conjuntos, então basta dizer que M não é vazio). Então podemos definir a interseção de todos os conjuntos de M:

$\bigcap_{X \in M} X\,$.

como sendo o conjunto cujos elementos x são elementos de todos os elementos de M:

$x \in \bigcap_{X \in M} X \iff (\forall Y \in M \implies x \in Y)\,$

O problema é que essa definição não é rigorosa, mas isso pode ser resolvido usando-se o axioma da união:

$\bigcap_{X \in M} X = \{ x \in \bigcup_{X \in M} X | (\forall Y \in M \implies x \in Y) \}\,$