Interseção

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Representação gráfica da interseção entre dois conjuntos

Em teoria dos conjuntos, a interseção (português brasileiro) ou intersecção (português europeu) (AO 1990: interseção[1] ou intersecção),[2] é um conjunto de elementos que, simultaneamente, pertencem a dois ou mais conjuntos, representado por .

Por exemplo, se o conjunto A possui os elementos {1,2,3,4,5} e o conjunto B possui os elementos {2,4,6,8}, então interseção do conjunto A com o conjunto B será igual a {2,4} .

Definição[editar | editar código-fonte]

Pela teoria básica de conjuntos, define-se A \cap B\, por:

A \cap B = \{ x | x \in A \land x \in B \}\,

Pelos axiomas de Zermelo-Fraenkel, a definição acima não é valida. Devemos usar o axioma da separação com a fórmula \Phi = x \in w_1\,:

\forall z \forall w_1 \exists y \forall x (x \in y \iff ( x \in z \land x \in w_1) )

Esse axioma garante a existência da interseção (y = z \cap w_1\,); o enunciado do axioma da separação é tal que, usando-se o axioma da extensão, pode-se mostrar que y é único.

Em outras palavras, provou-se que

\forall A \forall B \exists ! (A \cap B) \forall x (x \in (A \cap B) \iff (x \in A \land x \in B))

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Considerando-se que (x \in A \land x \in B) \iff (x \in B \land x \in A)\, e que ((x \in A \land x \in B) \land x \in C) \iff (x \in A \land (x \in B \land x \in C))\,, prova-se que:

\forall A \forall B (A \cap B = B \cap A)
\forall A \forall B \forall C ((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C))

Como o conjunto vazio \varnothing\, tem a propriedade que \forall x (x \notin \varnothing)\,, temos que:

\forall A (A \cap \varnothing = \varnothing)\,

Deve-se tomar cuidado ao dizer que \cap\, é associativa e comutativa, porque, a rigor, associatividade e comutatividade são propriedades de operações binárias, e a interseção foi definida para todos conjuntos - tratar todos conjuntos como um conjunto gera paradoxos.

Interseções arbitrárias[editar | editar código-fonte]

Seja M uma coleção não-vazia de conjuntos (em teoria dos conjuntos na sua formulação segundo os axiomas de Zermelo-Fraenkel, todo conjunto tem como elementos outros conjuntos, então basta dizer que M não é vazio). Então podemos definir a interseção de todos os conjuntos de M:

\bigcap_{X \in M} X\,.

como sendo o conjunto cujos elementos x são elementos de todos os elementos de M:

 x \in \bigcap_{X \in M} X \iff (\forall Y \in M \implies x \in Y)\,

O problema é que essa definição não é rigorosa, mas isso pode ser resolvido usando-se o axioma da união:

 \bigcap_{X \in M} X = \{ x \in \bigcup_{X \in M} X | (\forall Y \in M \implies x \in Y) \}\,
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Referências