Operação binária

Na matemática, uma operação binária ou 2-ária é uma operação com dois operandos. Uma operação binária é uma função com duas variáveis de entrada.

Definição

Dados três conjuntos A, B e C, uma operação binária é uma função do produto cartesiano A×B em C.

$f: A \times B \rightarrow C$

Operações binárias diferem, normalmente, da escrita definida em função, f(a,b) = c. Os símbolos utilizados, em sua maioria, são de operador infixo, tomando o caso das operações de adição, multiplicação etc. Denota-se (a + b), não +(a,b).

Operações binárias são a base do estudo de estruturas algébricas, sendo parte de grupos, monóides, semi-grupos, anéis, corpos, domínios de integridade etc.

Exemplos de operações binárias são as operações da aritmética como adição, divisão e multiplicação (essas operações valem tanto para matemática quanto para programação); predicados lógicos como OR, XOR, AND.

Propriedades

Muitas operações binárias de interesse são comutativas ou associativas. Muitas possuem também um elemento identidade ou elemento inversor. Algumas dessas propriedades nos permitem classificar as álgebras em grupos, semi grupos, grupos abelianos, etc.

Fechamento

Seja # uma operação binária em um conjunto S. Dizemos que # é fechada em S sse ∀a,b ∈ S, (a # b) ∈ S.

Em geral, esta propriedade faz parte da definição de operação binária num conjunto.

Comutatividade

A mesma operação # sobre S diz-se comutativa se

$\forall x\forall y,\; (x \;\#\; y) = (y \;\#\; x)$

Ex. A adição sobre os naturais.

Identidade

Uma identidade para # sobre S é um elemento e em S para o qual

$\forall x,\; (x \;\#\; e) = x \and\ (e \;\#\; x) = x$

Ex. 0 é uma identidade para a adição.

Da definição acima é possível afirmar que a identidade para uma operação binária é única. Sejam e, f identidades para #. Então e = e#f = f. Logo e = f. Portanto existe no máximo uma identidade para #.

Associatividade

A operação # sobre S diz-se associativa se e somente se

$\forall x,\forall y,\forall z,\; x \;\#\; (y \;\#\; z) = (x \;\#\; y) \;\#\; z$

Distributividade

Uma operação binária $ é dita distributiva sobre # se

$\forall x\forall y\forall z,\; x \;\$\; (y \;\#\; z) = (x \;\$\; y) \;\#\; (x \;\$\; z)$

e

$\forall x\forall y\forall z,\; (x \;\#\; y) \;\$\; z = (x \;\$\; z) \;\#\; (y \;\$\; z)$

Ex. A multiplicação é distributiva sobre a adição, mas a recíproca não é verdadeira.

Elemento inverso

Seja e a identidade para # sobre S. O elemento x^-1 é um inverso de x com respeito a # sobre S sse

$\forall x\; (x \;\#\; x^{-1}) = e, (x^{-1} \;\#\; x) = e$

Se y é um inverso de x com respeito a # então y é único (para cada x). Suponha que a, b são ambos inversos de x com respeito a # sobre S. Seja e a identidade para # sobre S. Então:

a = a # e;
  = a # (x # b);
  = (a # x) # b;
  = e # b;
  = b;

Logo a = b , e portanto existe no máximo um elemento inverso.

Referências

• SCHEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta - Uma Introdução. São Paulo: Thomson, 2003. ISBN 85-221-0291-0.

Ver também

• Grupoide (estrutura algébrica) - um conjunto S com uma operação binária $\star: S \times S \to S\,$
• Operação unária
• Operação ternária