Aritmética
A aritmética (da palavra grega ἀριθμός, arithmósNota 1 , "número") é o ramo da matemática que lida com números e com as operações possíveis entre eles. É o ramo mais antigo e mais elementar da matemática, usado por quase todos, seja em tarefas do cotidiano, em cálculos científicos ou de negócios. Matemáticos profissionais, por vezes, usam o termo "aritmética superior"1 quando se refere a resultados mais avançados relacionados à teoria dos números, mas isso não deve ser confundido com a aritmética elementar.
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História [editar]
A pré-história da aritmética é limitada a um pequeno número de artefatos que podem indicar a concepção de adição e subtração, o mais conhecido sendo o osso de Ishango da África Central, que data de algum lugar entre 20.000 e 18.000 aC, embora sua interpretação seja contestada.2
Os primeiros registros escritos indicam que os egípcios e babilônios usavam todas as operações aritméticas elementares tão cedo quanto 2000 aC. Esses artefatos nem sempre revelam o processo específico usado para resolver problemas, mas as características do sistema de numeração em particular influenciaram fortemente a complexidade dos métodos. O sistema de hieróglifos para numerais egípcios, como os numerais romanos posteriores, descendem de marcas de contagem usado para contar.3 Em ambos os casos, esta origem resultou em valores que usavam uma base decimal, mas não incluiam a notação posicional. Cálculos complexos com algarismos romanos exigiram o auxílio de uma placa de contagem ou o ábaco romano para obter os resultados.4
Sistemas de numeração mais antigos, que tinham notação posicional não eram decimais, incluindo o sistema de base 60 sexagesimal dos babilônios.3 5 Os Maias mais a frente, usaram o sistema de (base 20) que definiu o sistema de numeração Maia. Devido a este conceito lugar-valor, a capacidade de reutilizar os mesmos dígitos para diferentes valores contribuíram para métodos mais simples e mais eficientes de cálculo.
O desenvolvimento histórico contínuo da aritmética moderna começa com a civilização helenística da Grécia antiga, embora tenha se originado muito mais tarde do que os exemplos dos babilônios e os do Egito.6 Antes das obras de Euclides por volta de 300 aC, os estudos gregos em matemática sobrepunham convicções filosóficas e místicas. Por exemplo, Nicômaco resumiu o ponto de vista da abordagem aos números dos primeiros pitagóricos, e suas relações uns com os outros, em sua Arithmetike eisagoge (Introdução à aritmética).
Os numerais gregos, derivaram a partir do sistema hierático egípcio, também carecendo de notação posicional, e, portanto, com a mesma complexidade imposta sobre as operações básicas de aritmética. Por exemplo, o matemático antigo Arquimedes dedicou toda a sua obra Αρχιμήδης Ψαµµίτης (Archimedes Psammites - O calculista de areia) apenas para elaboração de uma notação para um certo inteiro grande.
O desenvolvimento gradual dos algarismos indo-arábicos de forma independente criou o conceito de lugar de valor e notação posicional, que combinou os métodos mais simples para cálculos com a base decimal e o uso de um dígito representando o zero. Isto permitiu que o sistema representasse de forma consistente ambos inteiros grandes e pequenos. Esta abordagem, eventualmente substituiu todos os outros sistemas. No início do século 6 dC, o matemático indiano Aryabhata incorporou uma versão existente do sistema em seu trabalho, e o experimentou com notações diferentes. No século 7, Brahmagupta estabeleceu o uso de zero como um número separado e determinou os resultados para multiplicação, divisão, adição e subtração de zero por todos os outros números, com exceção do resultado da divisão por zero.7 Seu contemporâneo, o bispo siríaco Severus Sebokht descreveu a excelência deste sistema como "... métodos valiosos de cálculo que ultrapassam a descrição". Os árabes também aprenderam este novo método e chamaram-lhe hesab.
Embora o Codex Vigilanus tenha descrito uma forma primitiva de algarismos arábicos (omitindo o zero) em 976 dC, Fibonacci foi o principal responsável por espalhar a sua utilização em toda a Europa após a publicação do seu livro Liber Abaci em 1202. Ele considerou a importância desta "nova" representação dos números, que ele intitulou o "Método dos índios" (em latim Indorum Modus), tão fundamental, que todos os fundamentos matemáticos relacionados, incluindo os resultados de Pitágoras e o algorism descrevendo os métodos para a realização de cálculos reais, eram "quase um erro", em comparação.
Na Idade Média, a aritmética era uma das sete artes liberais ensinadas nas universidades.
O florescimento da álgebra no mundo medieval islâmico e na Europa renascentista, foi uma conseqüência da simplificação enorme de computação através de notação decimal.
Vários tipos de ferramentas existem para auxiliar em cálculos numéricos. Exemplos incluem réguas de cálculo (para a multiplicação, divisão e trigonometria) e nomogramas, além da calculadora eletrônica.
Operações Aritméticas [editar]
As operações aritméticas tradicionais são a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão, embora operações mais avançadas (tais como as manipulações de porcentagens, raiz quadrada, exponenciação e funções logarítmicas) também sejam por vezes incluídas neste ramo. A aritmética desenrola-se em obediência a uma ordem de operações.
A aritmética abrange o estudo de algoritmos manuais para a realização de operações com os números naturais, inteiros, racionais (na forma de frações) e reais. Tais operações, no entanto, podem ser realizadas com o uso de ferramentas como calculadoras, computadores ou o ábaco, o que não lhes tira o carácter aritmético.
Teoria dos Números [editar]
O termo aritmética também é usado em referência à teoria dos números. Isto inclui as propriedades dos inteiros relacionados com a primalidade, a divisibilidade8 e a solução de equações em inteiros, bem como a pesquisa moderna que tem surgido deste estudo. É neste contexto que se pode encontrar coisas como o teorema fundamental da aritmética e funções aritméticas. O livro A Course in Arithmetic de Jean-Pierre Serre reflete esse uso,9 assim como frases como a aritmética de primeira ordem ou geometria algébrica aritmética.
Aritmética na Educação [editar]
O Ensino primário em matemática, muitas vezes coloca um forte foco em algoritmos para a aritmética de números naturais, inteiros, frações, e decimais (usando o sistema local de valor decimal). Este estudo é por vezes conhecido como algorism.
O aparecimento de dificuldades e a desmotivação destes algoritmos há muito levou os educadores a questionar este currículo, defendendo o ensino precoce das idéias matemáticas mais centrais e intuitivas. Um movimento notável neste sentido foi a Matemática Moderna dos anos 1960 e 1970, que tentou ensinar aritmética, no espírito de desenvolvimento axiomático da teoria dos conjuntos, um eco da tendência prevalecente na matemática superior.10
Notas [editar]
- ↑ O termo 'aritmética' (português) provém do grego 'arithmós', que se refere aos números, enquanto o prefixo 'ar_' implica reunir, isto é, aritmética é a ciência que reúne - soma, subtrai, multiplica, divide - números. Trata-se, portanto, da parte da matemática que estuda as operações numéricas e, por extensão de sentido, significa tudo que pressupõe um cálculo qualquer.
Referências
- ↑ Davenport, Harold. The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers. 7ª ed. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1999. ISBN 0-521-63446-
- ↑ Rudman, Peter Strom. How Mathematics Happened: The First 50,000 Years. Amherst, New York: Prometheus Books, 20007. p. 64. ISBN 978-1591024774
- ↑ a b Ifrah, Georges. História Universal dos Algarismos: A Inteligência dos Homens Contada pelos Números e pelo Cálculo. Rio de Janeiro: Nova Fronteira. 735 p. p. 162-180;346-354;404-409. 2 vol. vol. 1. ISBN 85-209-0841-1
- ↑ Gonick, Larry. Introdução Ilustrada à Computação. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1984. 242 p. p. 34-35.
- ↑ Souza, Júlio Cesar de Mello e (Malba Tahan). Matemática Divertida e Curiosa. 4ª ed. Rio de Janeiro: Record. 158 p. p. 22-23. ISBN 85-01-03375-8
- ↑ Karlson, Paul. A Magia dos Números. Porto Alegre: Globo, 1961. Capítulo: Os Gregos, 608 p. p. 80-154.
- ↑ Plofker, Kim (autor do capítulo);Katz, Victor J. (editor). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. New Jersey: Princeton University Press, 2007. Capítulo: Mathematics in India, 712 p. ISBN 978-0-69111485-9
- ↑ Alencar Filho, Edgard de. Teoria Elementar dos Números. 3ª ed. São Paulo: Nobel, 1992. 386 p. p. 68-83;116-136. ISBN 85-213-0040-9
- ↑ Serre, Jean-Pierre. A Course in Arithmetic (em inglês). New York: Springer, 1973. 115 p. ISBN 978-0-38790040-7
- ↑ Navarro, Joaquin. A Nova Matemática. Rio de Janeiro: Salvat, 1979. 143 p. p. 21-62;84. ISBN 84-401-0534-7
Ver também [editar]
