Aritmética

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Tabela de adição (Tabela de Dupla Entrada em português europeu).

A aritmética (da palavra grega ἀριθμός, arithmós[Nota 1] , "número") é o ramo da matemática que lida com números e com as operações possíveis entre eles. É o ramo mais antigo e mais elementar da matemática, usado por quase todos, seja em tarefas do cotidiano, em cálculos científicos ou de negócios. Matemáticos profissionais, por vezes, usam o termo "aritmética superior"[1] quando se refere a resultados mais avançados relacionados à teoria dos números, mas isso não deve ser confundido com a aritmética elementar.

História[editar | editar código-fonte]

Calandri aritméticos da Idade Média.

A pré-história da aritmética é limitada a um pequeno número de artefatos que podem indicar a concepção de adição e subtração, o mais conhecido sendo o osso de Ishango da África Central, que data de algum lugar entre 20.000 e 18.000 aC, embora sua interpretação seja contestada.[2]

Os primeiros registros escritos indicam que os egípcios e babilônios usavam todas as operações aritméticas elementares tão cedo quanto 2000 aC. Esses artefatos nem sempre revelam o processo específico usado para resolver problemas, mas as características do sistema de numeração em particular influenciaram fortemente a complexidade dos métodos. O sistema de hieróglifos para numerais egípcios, como os numerais romanos posteriores, descendem de marcas de contagem usado para contar.[3] Em ambos os casos, esta origem resultou em valores que usavam uma base decimal, mas não incluiam a notação posicional. Cálculos complexos com algarismos romanos exigiram o auxílio de uma placa de contagem ou o ábaco romano para obter os resultados.[4]

Sistemas de numeração mais antigos, que tinham notação posicional não eram decimais, incluindo o sistema de base 60 sexagesimal dos babilônios.[3] [5] Os Maias mais a frente, usaram o sistema de (base 20) que definiu o sistema de numeração Maia. Devido a este conceito lugar-valor, a capacidade de reutilizar os mesmos dígitos para diferentes valores contribuíram para métodos mais simples e mais eficientes de cálculo. O desenvolvimento histórico contínuo da aritmética moderna começa com a civilização helenística da Grécia antiga, embora tenha se originado muito mais tarde do que os exemplos dos babilônios e os do Egito.[6] Antes das obras de Euclides por volta de 300 aC, os estudos gregos em matemática sobrepunham convicções filosóficas e místicas. Por exemplo, Nicômaco resumiu o ponto de vista da abordagem aos números dos primeiros pitagóricos, e suas relações uns com os outros, em sua Arithmetike eisagoge (Introdução à aritmética).

Os numerais gregos, derivaram a partir do sistema hierático egípcio, também carecendo de notação posicional, e, portanto, com a mesma complexidade imposta sobre as operações básicas de aritmética. Por exemplo, o matemático antigo Arquimedes dedicou toda a sua obra Αρχιμήδης Ψαµµίτης (Archimedes Psammites - O calculista de areia) apenas para elaboração de uma notação para um certo inteiro grande.

O desenvolvimento gradual dos algarismos indo-arábicos de forma independente criou o conceito de lugar de valor e notação posicional, que combinou os métodos mais simples para cálculos com a base decimal e o uso de um dígito representando o zero. Isto permitiu que o sistema representasse de forma consistente ambos inteiros grandes e pequenos. Esta abordagem, eventualmente substituiu todos os outros sistemas. No início do século 6 dC, o matemático indiano Aryabhata incorporou uma versão existente do sistema em seu trabalho, e o experimentou com notações diferentes. No século 7, Brahmagupta estabeleceu o uso de zero como um número separado e determinou os resultados para multiplicação, divisão, adição e subtração de zero por todos os outros números, com exceção do resultado da divisão por zero.[7] Seu contemporâneo, o bispo siríaco Severus Sebokht descreveu a excelência deste sistema como "... métodos valiosos de cálculo que ultrapassam a descrição". Os árabes também aprenderam este novo método e chamaram-lhe hesab.

Embora o Codex Vigilanus tenha descrito uma forma primitiva de algarismos arábicos (omitindo o zero) em 976 dC, Fibonacci foi o principal responsável por espalhar a sua utilização em toda a Europa após a publicação do seu livro Liber Abaci em 1202. Ele considerou a importância desta "nova" representação dos números, que ele intitulou o "Método dos índios" (em latim Indorum Modus), tão fundamental, que todos os fundamentos matemáticos relacionados, incluindo os resultados de Pitágoras e o algorism descrevendo os métodos para a realização de cálculos reais, eram "quase um erro", em comparação.

Na Idade Média, a aritmética era uma das sete artes liberais ensinadas nas universidades.

O florescimento da álgebra no mundo medieval islâmico e na Europa renascentista, foi uma conseqüência da simplificação enorme de computação através de notação decimal.

Vários tipos de ferramentas existem para auxiliar em cálculos numéricos. Exemplos incluem réguas de cálculo (para a multiplicação, divisão e trigonometria) e nomogramas, além da calculadora eletrônica.

Operações Aritméticas[editar | editar código-fonte]

O Stepped Reckoner de Leibniz foi a primeira calculadora que podia realizar as quatro operações aritméticas.

As operações aritméticas tradicionais são a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão, embora operações mais avançadas (tais como as manipulações de porcentagens, raiz quadrada, exponenciação e funções logarítmicas) também sejam por vezes incluídas neste ramo. A aritmética desenrola-se em obediência a uma ordem de operações.

A aritmética abrange o estudo de algoritmos manuais para a realização de operações com os números naturais, inteiros, racionais (na forma de frações) e reais. Tais operações, no entanto, podem ser realizadas com o uso de ferramentas como calculadoras, computadores ou o ábaco, o que não lhes tira o carácter aritmético.

Teoria dos Números[editar | editar código-fonte]

O termo aritmética também é usado em referência à teoria dos números. Isto inclui as propriedades dos inteiros relacionados com a primalidade, a divisibilidade[8] e a solução de equações em inteiros, bem como a pesquisa moderna que tem surgido deste estudo. É neste contexto que se pode encontrar coisas como o teorema fundamental da aritmética e funções aritméticas. O livro A Course in Arithmetic de Jean-Pierre Serre reflete esse uso,[9] assim como frases como a aritmética de primeira ordem ou geometria algébrica aritmética.

Aritmética na Educação[editar | editar código-fonte]

O Ensino primário em matemática, muitas vezes coloca um forte foco em algoritmos para a aritmética de números naturais, inteiros, frações, e decimais (usando o sistema local de valor decimal). Este estudo é por vezes conhecido como algorism.

O aparecimento de dificuldades e a desmotivação destes algoritmos há muito levou os educadores a questionar este currículo, defendendo o ensino precoce das ideias matemáticas mais centrais e intuitivas. Um movimento notável neste sentido foi a Matemática Moderna dos anos 1960 e 1970, que tentou ensinar aritmética, no espírito de desenvolvimento axiomático da teoria dos conjuntos, um eco da tendência prevalecente na matemática superior.[10]

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. O termo 'aritmética' (português) provém do grego 'arithmós', que se refere aos números, enquanto o prefixo 'ar_' implica reunir, isto é, aritmética é a ciência que reúne - soma, subtrai, multiplica, divide - números. Trata-se, portanto, da parte da matemática que estuda as operações numéricas e, por extensão de sentido, significa tudo que pressupõe um cálculo qualquer.

Referências

  1. Davenport, Harold. The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers. 7ª ed. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1999. ISBN 0-521-63446-
  2. Rudman, Peter Strom. How Mathematics Happened: The First 50,000 Years. Amherst, New York: Prometheus Books, 20007. p. 64. ISBN 978-1591024774
  3. a b Ifrah, Georges. História Universal dos Algarismos: A Inteligência dos Homens Contada pelos Números e pelo Cálculo. Rio de Janeiro: Nova Fronteira. 735 pp. p. 162-180;346-354;404-409. 2 vol. vol. 1. ISBN 85-209-0841-1
  4. Gonick, Larry. Introdução Ilustrada à Computação. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1984. 242 pp. p. 34-35.
  5. Souza, Júlio Cesar de Mello e (Malba Tahan). Matemática Divertida e Curiosa. 4ª ed. Rio de Janeiro: Record. 158 pp. p. 22-23. ISBN 85-01-03375-8
  6. Karlson, Paul. A Magia dos Números. Porto Alegre: Globo, 1961. Capítulo: Os Gregos. , 608 pp. p. 80-154.
  7. Plofker, Kim (autor do capítulo);Katz, Victor J. (editor). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. New Jersey: Princeton University Press, 2007. Capítulo: Mathematics in India. , 712 pp. ISBN 978-0-69111485-9
  8. Alencar Filho, Edgard de. Teoria Elementar dos Números. 3ª ed. São Paulo: Nobel, 1992. 386 pp. p. 68-83;116-136. ISBN 85-213-0040-9
  9. Serre, Jean-Pierre. A Course in Arithmetic (em inglês). New York: Springer, 1973. 115 pp. ISBN 978-0-38790040-7
  10. Navarro, Joaquin. A Nova Matemática. Rio de Janeiro: Salvat, 1979. 143 pp. p. 21-62;84. ISBN 84-401-0534-7

Ver também[editar | editar código-fonte]