Equação diofantina

Em matemática, uma equação diofantina é uma equação polinomial indeterminada em que as incógnitas só podem assumir valores inteiros. As equações diofantinas possuem menos equações do que incógnitas e sua resolução envolve a busca de números inteiros que satisfaçam todas as equações. Em linguagem mais técnica, elas definem uma curva algébrica, superfície algébrica, ou algum objeto mais geral, e procuram-se quais de seus pontos estão sobre um reticulado.

Exemplos

Nas equações diofantinas a seguir, x, y, e z são incógnitas e as demais letras denotam constantes.

• $x^n + y^n = z^n$: se n = 2, há infinitas soluções (x, y, z), denominadas ternas pitagóricas, como por exemplo (3,4,5), (4,3,5) e (12,5,13). No entanto, para valores maiores de n, o Último Teorema de Fermat garante que não há soluções inteiras (x, y, z) não nulas para a equação
• $y^2 = x^3 + 17$, que possui exatamente 8 soluções inteiras (x, y). Os valores de x são -2, -1, 2, 4, 8, 43 e 52, e os de y podem ser encontrados a partir destes. Aqui o difícil será mostrar que estas são as únicas soluções possíveis.
• Equações algébricas que possibilitem calcular todos os números inteiros positivos que possam ser escritos como a soma de quatro quadrados perfeitos, como por exemplo: 47 = 36 + 9 + 1 + 1. Para "facilitar", os quadrados perfeitos podem ser repetidos, como no exemplo dado; pode-se ainda, adoptar o 0 como um quadrado perfeito, como em: 10 = 9 + 1 + 0 + 0 ao invés de 10 = 4 + 4 + 1 + 1. Sabe-se que muitos números inteiros positivos não podem ser escritos desta forma, e é isto que torna solução deste problema bastante mais complexa.^{[carece de fontes]} Este fato poderia motivar a seguinte pergunta: quantos são os números inteiros positivos menores que 10.000, que não podem ser escritos como a soma de quatro quadrados perfeitos? Este problema pode ser ainda apresentado como exigindo a utilização de apenas dois quadrados perfeitos ou utilizando três quadrados perfeitos. É evidente que agora, a solução tornar-se-ia ainda mais difícil. ^{[carece de fontes]}