Equação diofantina

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Na matemática, uma equação Diofantina é uma equação polinomial que permite a duas ou mais variáveis assumirem apenas valores inteiros. Um equação linear Diofantina é uma equação entre duas somas de monômios de grau zero ou um.

Problemas Diofantinos possuem menos equações que variáveis desconhecidas e se resumem a achar inteiros que deverão funcionar corretamente para todas as equações. Numa linguagem um pouco mais técnica, elas definem uma curva algébrica, uma superfície algébrica ou um objeto mais genérico e então é pedido para se achar os retículos.

A palavra Diofantina se refere ao matemático helenístico do século III, Diofanto de Alexandria, o qual estudou tais equações e foi um dos primeiros matemáticos a introduzir o uso de símbolos na álgebra. O estudo matemático de problemas Diofantinos propostos por Diofanto agora é chamado de análise Diofantina.

Apesar de equações individuais apresentarem um certo nível de desafio e terem sido consideradas ao longo da história, a formulação de teorias gerais para as equações Diofantinas (além da teoria da forma quadrática) foram realizadas apenas no século XX.

Exemplos de equações Diofantinas[editar | editar código-fonte]

Nas equações Diofantinas a seguir, x, y e z são desconhecidos e as outras letras são constantes dadas.
ax+by=1 Exemplo de uma equação linear Diofantina.
x^n+y^n=z^n Para n = 2, existem mais infinitas soluções em (x, y, z): O Terno pitagórico. Para valores maiores de n, O Último Teorema de Fermat diz que não há soluções positivas (x, y, z).
x^2-ny^2=\pm 1 Esta é a equação de Pell, nomeada em homenagem ao matemático inglês John Pell. Foi estudada por Brahmagupta no século VII e por Fermat no século XVII.
\frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} A conjectura de Erdõs-Straus diz que para todo positivo n ≥ 2, existe uma solução x, y e z, todos inteiros positivos. Apesar de que geralmente não enunciado em sua forma polinomial, este exemplo é similar a equação polinomial 4xyz = yzn + xzn + xyn = n(yz + xz + xy).

Análise Diofantina[editar | editar código-fonte]

Questões comuns[editar | editar código-fonte]

Perguntas feitas em uma típica analise Diofantina incluem:

  1. Existe alguma solução?
  2. Existe alguma solução além daquelas achadas facilmente por inspeção?
  3. Existe uma quantidade finita ou infinita de soluções?
  4. Todas as soluções podem ser achadas em teoria?
  5. É possível computar todas as soluções?

Estes tipos de problemas tradicionais comumente ficam por séculos sem solução até alguns matemáticos começarem a entender sua profundidade (em alguns casos), ao invés de tratá-los como quebra-cabeças.

Problema comum[editar | editar código-fonte]

Um pai tem 1 ano a menos que o dobro da idade do filho, e que os dígitos AB que formam a idade do pai são revertidos na idade do filho, isto é, BA, leva a equação 19B – 8A = 1. Resolvendo o problema obtemos 37 anos para o filho e 73 para o pai.

Séculos XVII e XVIII[editar | editar código-fonte]

Em 1637, Pierre de Fermat rasurou no canto da folha de seu livro de Aritmética: “É possível separar um cubo em dois cubos, ou a quarta potência em duas quarta potências, ou qualquer potência maior que dois em duas potências iguais?” Escrito em língua moderna, “A equação an + bn = cn não possui soluções para n maior que 2.” E então, ele escreveu, intrigado: “Eu considerei uma prova maravilhosa para esta proposição, porém a margem deste livro é muito pequena para contê-la.” Tal prova foi procurada por matemáticos por anos, sendo apenas encontrada em 1994, pelo matemático britânico Andrew Wiles. A equação ficou conhecida como o Último teorema de Fermat.

Em 1657, Fermat tentou solucionar a equação Diofantina 61x2 + 1 = y2 (resolvida por Brahmagupta aproximadamente 1000 anos antes). A equação foi eventualmente solucionada por Euler no início do século XVIII. Euler também resolveu outras várias equações Diofantinas.

O décimo problema de Hilbert[editar | editar código-fonte]

No ano de 1900, David Hilbert propôs a solubilidade de todos os problemas Diofantinos como o décimo de seus celebrados problemas. Em 1970, o teorema de Matiyasevich estabeleceu um resultado negativo: No geral, problemas Diofantinos são insolúveis.

A Geometria Diofantina, a qual é uma aplicação dos conceitos da geometria algébrica neste campo, tem continuado a crescer como resultado; já que tentar resolver equações arbitrárias não funciona, deve-se pensar em equações que também possuem significado geométrico. A ideia central da geometria Diofantina é de um ponto racional, dito a solução para um problema polinomial ou para um sistema de equações polinomiais, que é um vetor presente no campo K, quando K não é fechado algebricamente.

Estudos recentes[editar | editar código-fonte]

Uma das soluções é através do princípio de Hasse. A descida infinita é um método tradicional, que vem sendo extensivamente usado.

A profundidade do estudo das equações Diofantinas é mostrada pela caracterização de conjuntos Diofantinos, descritos equivalentemente como conjuntos enumeravelmente recursivos. Em outras palavras, o problema geral da análise Diofantina é abençoado ou amaldiçoado com universalidade, e na maioria das vezes não é resolvido caso não expresso de outras maneiras.

O campo de estudo da aproximação Diofantina lida com o caso de desigualdade Diofantina. Nesta área, as variáveis deveriam ser integrais, porém alguns coeficientes podem vir a ser números irracionais. O sinal de igualdade então é substituído por limites superiores e inferiores.

O mais conhecido problema no campo é a conjectura conhecida como O Último teorema de Fermat, o qual foi solucionado por Andrew Wiles[1] , apesar de que este utilizou-se de ferramentas desenvolvidas no último século, em vez da teoria dos números disponível na época de formulação do problema. Alguns outros resultados significantes, como o teorema de Falting, utilizam-se de conjecturas antigas.

Equações Diofantinas infinitas[editar | editar código-fonte]

Um exemplo de uma equações diofantina infinita é:


N = A^2+2B^2+3C^2+4D^2+5E^2+....

a qual pode ser expressada da seguinte forma: "De quantas formas pode um inteiro N ser escrito como a soma de um quadrado mais a soma do dobro de um quadrado mais a soma do triplo de um quadrado e assim sucessivamente?" O número de vezes as quais isso pode ser feito para cada N forma uma sequência de inteiros. Equações Diofantinas infinitas são relacionadas com funções teta e retículos dimensionais infinitos. A equação sempre possui uma solução para qualquer N' positivo. Compare isso com:


N = A^2+4B^2+9C^2+16D^2+25E^2+....

a qual nem sempre possui uma solução para um N positivo.

Equações diofantinas lineares[editar | editar código-fonte]

Equações diofantinas lineares assumem a forma ax + by = c. Se c for o maior divisor comum de a e b, então esta equação torna-se uma identidade de Bézout, o que a caracteriza com uma quantidade infinita de soluções, as quais podem ser encontradas aplicando-se o Algoritmo de Euclides estendido. Há ainda uma quantidade infinita de soluções se c for um múltiplo do maior divisor comum de a e b. Caso contrário, a equação Diofantina ax + by = c não possui solução.

Equações Diofantinas exponencias[editar | editar código-fonte]

Se uma equação Diofantina possui uma variável adicional ou variáveis ocorrendo como expoentes, ela é classificada como uma equação Diofantina exponencial. Um exemplo é a equação de Ramanujan-Nagell, 2n − 7 = x2; Tais equações não possuem uma teoria central; casos particulares como a conjectura de Catalan foram combatidas. Apesar disso, a maioria dos problemas são resolvidos usando-se métodos ad-hoc ou até mesmo através de tentativa e erro.

Notas[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]