Geometria algébrica

Esta superfície de Togliatti é uma superfície algébrica de grau cinco

A geometria algébrica é uma área da matemática que combina técnicas de álgebra abstrata, especialmente de álgebra comutativa, com a linguagem e os problemas da geometria. Ela ocupa um papel central na matemática moderna e possui várias conexões conceituais com áreas tão diversas quanto análise complexa, topologia e teoria de números. Inicialmente um estudo dos sistemas de equações polinomiais em várias variáveis, o objeto de estudo da geometria algébrica começa onde a resolução de equações termina, e torna-se ainda mais importante compreender as propriedades intrínsecas da totalidade de soluções de um sistema de equações, do que encontrar alguma solução; isso leva alguns das águas mais profundas em toda a matemática, tanto conceitualmente quanto em termos de técnica.

Os objetos de estudo fundamentais em geometria algébrica são as variedades algébricas, manifestações geométricas das soluções de sistemas de equações polinômiais. As curvas algébricas planas, que incluem retas, círculos, parábolas, lemniscatas, e ovais de Cassini, formam uma das classes mais estudadas de variedades algébricas. Um ponto do plano pertence a uma curva algébrica se suas coordenadas satisfazem uma equação polinomial dada. Questões básicas envolvem a posição relativa entre curvas distintas e as relações entre as curvas dadas por equações diferentes

História

Ela começou principalmente com a escola italiana (Giuseppe Veronese, Gino Fano, Corrado Segre, etc.) nos anos 1910 e 1920. Depois foi elevada a um nível mais abstrato por Kunihiko Kodaira e Donald Spencer, que inventaram a geometria algébrica complexa.

Uma mudança crucial foi a introdução do conceito dos feixes por Jean Leray e depois Roger Godement. Foi Jean-Pierre Serre quem relacionou a geometria algébrica à geometria analítica no seu famoso artigo GAGA (Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique) em 1955, generalizando um resultado por Chow. Mas a maior revolução foi a linguagem dos esquemas, no famoso EGA (elementos da geometria algébrica) por Alexander Grothendieck em 1959. O conceito dos esquemas ajudou muito a provar as conjecturas de Weil em 1978 por Pierre Deligne. A linguagem da geometria algébrica também ajudou a provar o último teorema de Fermat (por Andrew Wiles em 1993/1994).

Um caso particular da geometria algébrica é a geometria aritmética que relaciona-a à teoria dos números, e.g. o estudo das curvas elípticas.

Referências

Livros clássicos, anteriores ao uso de esquemas:

• W. V. D. Hodge; Daniel Pedoe. Methods of Algebraic Geometry: Volume 1. [S.l.]: Cambridge University Press, 1994. ISBN 0-521-46900-7
• W. V. D. Hodge; Daniel Pedoe. Methods of Algebraic Geometry: Volume 2. [S.l.]: Cambridge University Press, 1994. ISBN 0-521-46901-5
• W. V. D. Hodge; Daniel Pedoe. Methods of Algebraic Geometry: Volume 3. [S.l.]: Cambridge University Press, 1994. ISBN 0-521-46775-6

Livros texto modernos que não utilizam a linguagem de esquemas:

• David A. Cox; John Little, Donal O'Shea. Ideals, Varieties, and Algorithms. second ed. [S.l.]: Springer-Verlag, 1997. ISBN 0-387-94680-2
• Phillip Griffiths; Joe Harris. Principles of Algebraic Geometry. [S.l.]: Wiley-Interscience, 1994. ISBN 0-471-05059-8
• Joe Harris. Algebraic Geometry: A First Course. [S.l.]: Springer-Verlag, 1995. ISBN 0-387-97716-3
• David Mumford. Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties. 2nd ed. [S.l.]: Springer-Verlag, 1995. ISBN 3-540-58657-1
• Miles Reid. Undergraduate Algebraic Geometry. [S.l.]: Cambridge University Press, 1988. ISBN 0-521-35662-8
• Igor Shafarevich. Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space. 2nd ed. [S.l.]: Springer-Verlag, 1995. ISBN 0-387-54812-2

Livros texto e referências para esquemas:

• David Eisenbud; Joe Harris. The Geometry of Schemes. [S.l.]: Springer-Verlag, 1998. ISBN 0-387-98637-5
• Alexander Grothendieck. Éléments de géométrie algébrique. [S.l.]: Publications Mathématiques de l'IHÉS, 1960.
• Alexander Grothendieck. Éléments de géométrie algébrique. 2nd ed. [S.l.]: Springer-Verlag, 1971. vol. 1. ISBN 3-540-05113-9
• Robin Hartshorne. Algebraic Geometry. [S.l.]: Springer-Verlag, 1977. ISBN 0-387-90244-9
• David Mumford. The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians. 2nd ed. [S.l.]: Springer-Verlag, 1999. ISBN 3-540-63293-X

• Igor Shafarevich. Basic Algebraic Geometry II: Schemes and complex manifolds.. 2nd ed. [S.l.]: Springer-Verlag, 1995. ISBN 3-540-57554-5

Na internet:

• Kevin R. Coombes: Algebraic Geometry: A Total Hypertext Online System. Em construção. Atualmente é de pouca utilidade para o estudo individual.
• Algebraic geometry no PlanetMath
• Algebraic Equations and Systems of Algebraic Equations no EqWorld: The World of Mathematical Equations