Equação diferencial

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Soluções de uma equação diferencial (a negro) e as respectivas condições iniciais (a vermelho).

Em matemática, uma equação diferencial é uma equação cuja incógnita é uma função que aparece na equação sob a forma das respectivas derivadas. As equações diferenciais são essenciais para o campo da Física.

As equações diferenciais dividem-se em dois tipos:

Uma equação diferencial ordinária (EDO) contém apenas funções de uma variável e derivadas daquela mesma variável.
Uma equação diferencial parcial (EDP) contém funções com mais do que uma variável e suas derivadas parciais.

As equações diferenciais são usadas para construir modelos matemáticos de fenómenos físicos tais como na dinâmica de fluidos e em mecânica celeste. Deste modo, o estudo de equações diferenciais é um campo extenso na matemática pura e na matemática aplicada.

Equações diferenciais têm propriedades intrinsecamente interessantes tais como:

solução pode existir ou não
caso exista, a solução é única ou não.

As equações diferenciais têm inúmeras aplicações práticas em medicina, engenharia, química, biologia e outras diversas áreas do conhecimento. As soluções destas equações são usadas, por exemplo, para projetar pontes, automóveis, aviões e circuitos elétricos.

[editar] Exemplo

Equações diferenciais são extremamente importantes para as ciências, pois nos informam como a variação de uma grandeza afeta outras grandezas relacionadas. A lei mais importante de Física Clássica, a segunda lei de Newton:

$\vec{F} = m \vec{a}$

é na verdade uma equação diferencial de segunda ordem:

$\vec{F}(\vec{r},t) = m \frac{d^{2} \vec{r} }{dt^2}$

Equações diferenciais fazem parte de nosso dia a dia, mesmo que não nos demos conta disto.

No entanto as equaçoes diferenciais são mais difíceis de resolver do que as equações algébricas comuns. À exceção das equações separáveis, a resolução de cada tipo diferente de equação sem que se conheça a técnica é uma obra homérica. Por isso cada avanço no campo das EDs em geral é creditado a um matemático diferente (a exceção de Leonhard Euler...)