Equação de Schrödinger

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Question book.svg
Esta página ou se(c)ção não cita fontes fiáveis e independentes (desde junho de 2011). Por favor, adicione referências e insira-as no texto ou no rodapé, conforme o livro de estilo. Conteúdo sem fontes poderá ser removido.
Encontre fontes: Google (notícias, livros, acadêmico)Yahoo!Bing.


Mecânica quântica
{\Delta x}\, {\Delta p} \ge \frac{\hbar}{2}
Princípio da Incerteza
Introducão a...

Formulação matemática

Equações
Equação de Schrödinger
Equação de Pauli
Equação de Klein–Gordon
Equação de Dirac
Portal A Wikipédia possui o portal:

Em física, a equação de Schrödinger, proposta pelo físico austríaco Erwin Schrödinger em 1925, descreve a evolução temporal do estado quântico de um sistema físico. Essa equação tem uma importância capital na teoria da mecânica quântica, e seu papel é similar ao da segunda Lei de Newton na Mecânica Clássica.

Pela formulação matemática da mecânica quântica, todo sistema é associado a um espaço de Hilbert complexo, tal que cada estado instantâneo do sistema é descrito por um vetor unitário nesse espaço. Este vetor de estados guarda as probabilidades para os resultados de todas as possíveis medições aplicadas ao sistema. Em geral, o estado de um sistema varia no tempo e o vetor de estados é uma função do tempo. A equação de Schrödinger provê uma descrição quantitativa da taxa de variação deste vetor.

Usando a notação de Dirac, o vetor de estados é dado, num tempo t por |ψ(t)>. A equação de Schrödinger é:

 H(t) \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar \frac{d} {dt} \left| \psi (t) \right\rangle

Nas equações, i é o número imaginário, ħ é a constante de Planck dividida por 2π e o Hamiltoniano H(t) é um operador auto-adjunto atuando no vetor de estados. O Hamiltoniano representa a energia total do sistema. Assim como a força na segunda Lei de Newton, ele não é definido pela equação e deve ser determinado pelas propriedades físicas do sistema.

Uma maneira mais didática de observar a Equação de Schrödinger é em sua forma independente do tempo e em uma dimensão. Para tanto, serão necessárias três relações:

Definição de Energia Mecânica:  E_m = E_c + V

Equação do Oscilador harmônico:  \quad \frac{d^{2}\psi}{dx^2}+ \left( \frac {2 \pi}{\lambda} \right)^2 \psi = 0

Relação de De Broglie:  \lambda = \frac {h}{p}

Onde \psi é a função de onda, \lambda é o comprimento de onda, h é a constante de Planck e p é o momento linear.

Da Relação de De Broglie, temos que  \lambda = \frac {h}{mv} , que pode ser substituída na equação do Oscilador Harmônico:

 \quad \frac{d^{2}\psi}{dx^2}+ \left( \frac {2 \pi mv}{h} \right)^2 \psi = 0 \to \quad \frac{d^{2}\psi}{dx^2} = \frac {-4 (\pi)^2 m^2 v^2}{h^2}\psi \to \frac {-h^2}{4(\pi)^2 m^2}\quad \frac{d^{2}\psi}{dx^2} = v^2 \psi

Rearranjando a equação de energia, temos que  v^2 = \frac {2 (E_m - V)}{m}, substituindo v^2 na equação anterior:

 \frac {-h^2}{4(\pi)^2 m} \quad \frac{d^{2}\psi}{dx^2} = 2(E_m - V) \psi , definindo  \hbar\ = \frac {h}{2\pi}, temos:

 \frac {-\hbar^2}{2m}\quad \frac{d^{2}\psi}{dx^2}+V\psi = E\psi

Que é a Equação Independente do Tempo de Schrödinger e também pode ser escrita na notação de operadores:

\widehat {H}\psi = E\psi, em que \widehat {H}\psi é o Operador Hamiltoniano operando sobre a função de onda.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ícone de esboço Este artigo sobre física é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.