Equação de Schrödinger

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Mecânica quântica
{\Delta x}\, {\Delta p} \ge \frac{\hbar}{2}
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Na mecânica quântica, a equação de Schrödinger é uma equação diferencial parcial que descreve como o estado quântico de um sistema físico muda com o tempo. Foi formulada no final de 1925, e publicado em 1926, pelo físico austríaco Erwin Schrödinger.[1]

Na mecânica clássica, a equação de movimento é a segunda lei de Newton, (F = ma) utilizada para prever matematicamente o que o sistema fará a qualquer momento após as condições iniciais do sistema. Na mecânica quântica, o análogo da lei de Newton é a equação de Schrödinger para o sistema quântico (geralmente átomos, moléculas e partículas subatômicas sejam elas livres, ligadas ou localizadas). Não é uma equação algébrica simples, mas, em geral, uma equação diferencial parcial linear, que descreve o tempo de evolução da função de onda do sistema (também chamada de "função de estado").[2] :1–2

O conceito de uma função de onda é um postulado fundamental da mecânica quântica. A equação de Schrödinger também é muitas vezes apresentada como um postulado separado, mas alguns autores[3] :Capítulo 3 afirmam que pode ser derivada de princípios de simetria. Geralmente, "derivações" da equação demonstrando sua plausibilidade matemática para descrever dualidade onda-partícula.

Na interpretação padrão da mecânica quântica, a função de onda é a descrição mais completa que pode ser dada a um sistema físico. As soluções para a equação de Schrödinger descrevem não só sistemas moleculares, atômicas e subatômicas, mas também os sistemas macroscópicos, possivelmente, até mesmo todo o universo.[4] :292ff A equação de Schrödinger, em sua forma mais geral, é compatível tanto com a mecânica clássica ou a relatividade especial, mas a formulação original do próprio Schrödinger era não-relativista.

A equação de Schrödinger não é a única maneira de fazer previsões em mecânica quântica — outras formulações podem ser utilizadas, tais como a mecânica matricial de Werner Heisenberg, e o trajeto da integração funcional de Richard Feynman.

Equação[editar | editar código-fonte]

Usando a notação de Dirac, o vetor de estados é dado, num tempo t por |ψ(t)>. A equação de Schrödinger é:

 H(t) \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar \frac{d} {dt} \left| \psi (t) \right\rangle

Nas equações, i é o número imaginário, ħ é a constante de Planck dividida por 2π e o Hamiltoniano H(t) é um operador auto-adjunto atuando no vetor de estados. O Hamiltoniano representa a energia total do sistema. Assim como a força na segunda Lei de Newton, ele não é definido pela equação e deve ser determinado pelas propriedades físicas do sistema.

Uma maneira mais didática de observar a Equação de Schrödinger é em sua forma independente do tempo e em uma dimensão. Para tanto, serão necessárias três relações:

Definição de Energia Mecânica:  E_m = E_c + V

Equação do Oscilador harmônico:  \quad \frac{d^{2}\psi}{dx^2}+ \left( \frac {2 \pi}{\lambda} \right)^2 \psi = 0

Relação de De Broglie:  \lambda = \frac {h}{p}

Onde \psi é a função de onda, \lambda é o comprimento de onda, h é a constante de Planck e p é o momento linear.

Da Relação de De Broglie, temos que  \lambda = \frac {h}{mv} , que pode ser substituída na equação do Oscilador Harmônico:

 \quad \frac{d^{2}\psi}{dx^2}+ \left( \frac {2 \pi mv}{h} \right)^2 \psi = 0 \to \quad \frac{d^{2}\psi}{dx^2} = \frac {-4 (\pi)^2 m^2 v^2}{h^2}\psi \to \frac {-h^2}{4(\pi)^2 m^2}\quad \frac{d^{2}\psi}{dx^2} = v^2 \psi

Rearranjando a equação de energia, temos que  v^2 = \frac {2 (E_m - V)}{m}, substituindo v^2 na equação anterior:

 \frac {-h^2}{4(\pi)^2 m} \quad \frac{d^{2}\psi}{dx^2} = 2(E_m - V) \psi , definindo  \hbar\ = \frac {h}{2\pi}, temos:

 \frac {-\hbar^2}{2m}\quad \frac{d^{2}\psi}{dx^2}+V\psi = E\psi

Que é a Equação Independente do Tempo de Schrödinger e também pode ser escrita na notação de operadores:

\widehat {H}\psi = E\psi, em que \widehat {H}\psi é o Operador Hamiltoniano operando sobre a função de onda.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Schrödinger, E.. (1926). "An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules" (PDF) (em inglês). Physical Review 28 (6): 1049–1070. DOI:10.1103/PhysRev.28.1049. Bibcode1926PhRv...28.1049S.
  2. Griffiths, David J.. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) (em <código de língua não-reconhecido>). Upper Saddle River, Nova Jérsei: Prentice Hall, 2004. ISBN 0-13-111892-7.
  3. Ballentine, Leslie. Quantum Mechanics: A Modern Development (em <código de língua não-reconhecido>). Nova Jérsei: World Scientific Publishing Co., 1998. ISBN 9810241054.
  4. Laloe, Franck. Do We Really Understand Quantum Mechanics (em <código de língua não-reconhecido>). Cambridge: Cambridge University Press, 2012. ISBN 978-1-107-02501-1.
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