Teorema de Ehrenfest

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Question book.svg
Este artigo não cita fontes confiáveis e independentes (desde agosto de 2013). Por favor, adicione referências e insira-as corretamente no texto ou no rodapé. Conteúdo sem fontes poderá ser removido.
Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico)
Translation Latin Alphabet.svg
Este artigo ou secção está a ser traduzido de en:Ehrenfest theorem. Ajude e colabore com a tradução.
Mecânica quântica
{\Delta x}\, {\Delta p} \ge \frac{\hbar}{2}
Princípio da Incerteza
Introducão a...

Formulação matemática

Conceitos fundamentais
Estado quântico · Função de onda
Superposição · Emaranhamento

· Incerteza
Exclusão · Dualidade
Decoerência · Teorema de Ehrenfest · Tunelamento

Portal A Wikipédia possui o portal:

O teorema de Ehrenfest, nomeado a partir de Paul Ehrenfest, físico e matemático austríaco, relaciona a derivada do tempo do valor esperado para um operador na mecânica quântica para o comutador deste operador com o hamiltoniano do sistema. Isto é:

\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,H] \rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle

onde A é algum operador da mecânica quântica e \langle A\rangle é seu valor esperado.

O Teorema de Ehrenfest é obviamente a Representação de Heisenberg da mecânica quântica, onde isto é apenas o valor esperado do momento da Equação de Heisenberg.

O teorema também é altamente relacionado com o Teorema de Liouville da mecânica hamiltoniana, que envolve os Parênteses de Poisson ao invés do comutador.

Derivação[editar | editar código-fonte]

Suponha que o sistema seja apresentado em um estado quântico \Phi. Se nós quisermos saber a derivada do tempo instantânea do valor esperado de A, que é, por definição:

 \frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{d}{dt}\int \Phi^* A \Phi~dx^3 = \int \left( \frac{\partial \Phi^*}{\partial t} \right) A\Phi~dx^3 + \int \Phi^* \left( \frac{\partial A}{\partial t}\right) \Phi~dx^3 +\int \Phi^* A \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) ~dx^3
 = \int \left( \frac{\partial \Phi^*}{\partial t} \right) A\Phi~dx^3 + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle + \int \Phi^* A \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) ~dx^3,

onde nós temos integrando por todo espaço. Se nós aplicarmos a Equação de Schrödinger, encontraremos isto:

\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \frac{1}{i\hbar}H\Phi

e isto:

\frac{\partial \Phi^*}{\partial t} = \frac{-1}{i\hbar}\Phi^*H^\dagger = \frac{-1}{i\hbar}\Phi^*H.

Perceba que H=H^\dagger porque o Hamiltoniano é um operador autoadjunto. Colocando isto na equação acima nós obteremos:

\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\int \Phi^* (AH-HA) \Phi~dx^3 + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,H]\rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle.

Diversas vezes (mas não sempre) o operador A é independente do tempo, então sua derivada será zero e nós poderemos ignorar o último termo da equação.

Exemplo geral[editar | editar código-fonte]

Pelo exemplo mais geral possível de uma partícula de grande massa se movendo em um vetor potencial, o Hamiltoniano é simplesmente:

 H(x,p,t) = \frac{p^2}{2m} + V(x,t)

onde x é simplesmente a localização da partícula. Suponha que nós quiséssemos saber a mudança instantânea do momento p. Utilizando o teorema de Ehrenfest, teremos:

 \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,H]\rangle + \left\langle \frac{\partial p}{\partial t}\right\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,V(x,t)]\rangle

já que o operador p comuta com ele mesmo e não obtém dependência com o tempo. Expandindo o lado direito da equação, substituindo p por -i\hbar \nabla, nós obteremos:

 \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \int \Phi^* V(x,t)\nabla\Phi~dx^3 - \int \Phi^* \nabla (V(x,t)\Phi)~dx^3.

Após adicionar a regra do produto ao segundo termo, teremos:

 \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \int \Phi^* V(x,t)\nabla\Phi~dx^3 - \int \Phi^* (\nabla V(x,t))\Phi ~dx^3 - \int \Phi^* V(x,t)\nabla\Phi~dx^3
 = - \int \Phi^* (\nabla V(x,t))\Phi ~dx^3
 = \langle -\nabla V(x,t)\rangle = \langle F \rangle,

mas nós reconheceremos isto como a segunda lei de Newton.

Similarmente nós poderemos obter a mudança de posição instantânea do valor esperado.

 \frac{d}{dt}\langle x\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [x,H]\rangle + \left\langle \frac{\partial x}{\partial t}\right\rangle =
 = \frac{1}{i\hbar}\langle [x,\frac{p^2}{2m} + V(x,t)]\rangle + 0 = \frac{1}{i\hbar}\langle [x,\frac{p^2}{2m}]\rangle =
 = \frac{1}{i\hbar}\langle [x,\frac{p^2}{2m} + V(x,t)]\rangle = \frac{1}{i\hbar 2 m}\langle [x,p] \frac{d}{dp} p^2\rangle =
 = \frac{1}{i\hbar 2 m}\langle i \hbar 2 p\rangle = \frac{1}{m}\langle p\rangle

Este resultado é novamente em acordo com a equação clássica.