Teorema de Liouville (mecânica hamiltoniana)

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O teorema de Liouville é um resultado da mecânica hamiltoniana sobre a evolução temporal de um sistema mecânico. Considera-se um conjunto de partículas com condições iniciais próximas que podem ser representadas no espaço de fases por uma região conexa, a qual, apesar de se expandir e contrair a medida que cada partícula evolua, manterá invariante seu volume.

Há também resultados matemáticos relacionados em topologia simplética e teoria ergódica.

Consideremos uma região do espaço fásico que evolua com o tempo ao deslocar-se sobre sua trajetória. Cada um de seus pontos transforma-se ao longo do tempo em uma região de localizada forma diferente, a qual se situa em outra parte do espaço fásico. O teorema de Liouville afirma que, apesar da translação e a alteração de forma, o "volume" total desta região permanecerá invariante. Além disso, devido à continuidade da evolução temporal, se a região for conexa inicialmente, seguirá sendo conexa todo o tempo.

Quase todas as demostrações usam o fato de que a evolução temporal de uma "nuvem" de pontos no espaço fásico é de fato uma transformação canônica que alterará a forma e posição de tal nuvem, ainda que mantenha seu volume total.

Demonstração direta[editar | editar código-fonte]

Uma forma de ver provada que a evolução temporal é uma transformação canônica, fato relativamente perceptível, e a partir daí calcular diretamente o determinante de tal alteração de coordenadas, é provar que de fato o determinante de tal transformação é igual a 1, o qual prova a invariância do volume.

Demonstração baseada na forma simplética[editar | editar código-fonte]

Outra forma de provar o teorema é ter em conta que a forma de volume {\eta}_\Gamma\; do espaço fásico é o n-ésimo produto da forma simplética, e que está de acordo com o teorema de Darboux, expressando-se como produto de pares de variáveis canonicamente conjugadas:

{\eta}_\Gamma = \bigwedge_{i=1}^n \omega = \omega\land \dots \land \omega =
dp_1\land\dots \land dp_n\land dq_1 \land \dots \land dq_n =
dP_1\land\dots \land dP_n\land dQ_1 \land \dots \land dQ_n

De onde segue que o determinante da transformação é igual a 1 e, portanto:

\forall V\subset\Gamma: \quad
\int_V d^n\mathbf{q}d^n\mathbf{p} = \int_{\phi_\tau(V)} d^n\mathbf{Q}d^n\mathbf{P}

Essa última expressão é essencialmente o enunciado do teorema de Liouville.

Equação de Liouville[editar | editar código-fonte]

O teorema de Liouville pode ser reescrito em termos do colchete de Poisson. Essa forma alternativa, conhecida como equação de Liouville, vem a ser dada por:

\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\{\,\rho,H\,\}

ou em termos do operador de Liouville, também chamado "Liouvilliano":

\hat{\mathbf{L}}=\sum_{i=1}^{d}\left[\frac{\partial H}{\partial p_{i}}\frac{\partial}{\partial q^{i}}-\frac{\partial H}{\partial q^{i}}\frac{\partial }{\partial p_{i}}\right],

que leva à forma:

\frac{\partial \rho }{\partial t}+{\hat{\mathbf{L}}}\rho =0.

Mecânica quântica[editar | editar código-fonte]

Em mecânica quântica existe um resultado análogo ao teorema de Liouville que descreve a evolução de um estado misto. De fato, pode-se chegar à versão mecânico-quântica deste resultado mediante a simples quantização canônica. Aplicando esse procedimento formal, chegamos ao análogo quântico do teorema de Liouville:

\frac{\partial}{\partial t}\rho=-\frac{i}{\hbar}[H,\rho]

Onde ρ é a matriz densidade. Quando se aplica o resultado ao valor esperado de um observável, a correspondente equação dada pelo teorema de Ehrenfest toma a forma:

\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{i}{\hbar}\langle [H,A] \rangle

Onde A\, é um observável.

Referências[editar | editar código-fonte]

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(em espanhol)

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