Conexidade

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De cima para baixo: os espaços vermelho A, magenta B, amarelo C e laranja D são todos conexos, enquanto o espaço verde E (composto pelos subconjuntos E1, E2, E3 e E4) é desconexo. Para além disso, A e B são também simplesmente conexos (género 0), enquanto C e D não o são: C tem género 1 e D tem género 4.

Em topologia e ramos relacionados da matemática, conexidade (português brasileiro) ou conectividade (português europeu) é a propriedade de um espaço conexo, isto é, um espaço topológico que não pode ser representado como a união de dois ou mais conjuntos abertos disjuntos e não-vazios.

Podemos ainda dizer que um conjunto  X é conexo quando não admite outra cisão além da trivial. Neste caso se existirem conjuntos  A, B \subset X  tais que  X = A \cup B com  A \cap B = \varnothing então  A = \varnothing ou  B = \varnothing  .

Observemos que um subconjunto  X admite uma cisão não-trivial quando existem conjuntos abertos  A, B \subset X tais que  X = A \cup B com  A \cap B = \varnothing . Neste caso dizemos que  X é desconexo.

Estas definições são válidas inclusive para o caso particular de  X \subset \mathbb{R}^n .

Do ponto de vista da topologia dizemos que, um espaço topológico é desconexo se contém dois abertos complementares não vazios. Em caso contrário diz-se conexo.

Os subconjuntos \varnothing e  X são, ao mesmo tempo, abertos e fechados em qualquer topologia de  X . Se eles são os únicos conjuntos abertos e fechados, então  X é conexo. Por outro lado, se existe  A aberto e fechado com \varnothing\, \subset A \subset X, então  X é desconexo.

Definição Formal[editar | editar código-fonte]

Um espaço topológico  X é dito desconexo se for união de dois conjuntos disjuntos abertos não-vazios. Caso contrário,  X é dito conexo.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Todo conjunto  X \subset \mathbb{R}^n admite pelo menos a cisão trivial  X = X \cup \varnothing .
  • A união de qualquer família de subespaços conexos de  X , cuja intersecção é não vazia, é um subespaço conexo de  X '.
  • A imagem de um conjunto conexo por uma aplicação contínua é um conjunto conexo.
  • Todo conjunto homeomorfo a um conjunto conexo é também um conjunto conexo.

Componentes conexas[editar | editar código-fonte]

  • Uma componente conexa de um espaço topológico é um subespaço conexo maximal.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Um espaço conexo que não é conexo por arcos.
  • \R e \mathbb{C} são conexos.
  • \N, \Z e \mathbb{Q} são desconexos.
  • No \R^2, o gráfico da função
f(x) = \left\{\begin{matrix}
\mbox{sen} \frac {1} {x}, & \mbox{se } x \ne 0  \\
0, & \mbox{se } x = 0 \end{matrix}\right.

é conexo. Este é o contra-exemplo padrão de um espaço conexo que não é conexo por arcos.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

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