Conexidade

A é um espaço conexo e B é desconexo, tendo 4 componentes conexas

Um espaço topológico diz-se desconexo se contém dois abertos complementares não vazios. Em caso contrário diz-se conexo.

Os subconjuntos $\varnothing\,$ e X são, ao mesmo tempo, abertos e fechados em qualquer topologia de X. Se eles são os únicos conjuntos abertos e fechados, então X é conexo. Por outro lado, se existe A aberto e fechado com $\varnothing\, \subset A \subset X\,$, então X é desconexo.

Propriedades

• A união de qualquer família de subespaços conexos de X, cuja intersecção é não vazia, é um subespaço conexo de X.

Componentes conexas

• Uma componente conexa de um espaço topológico é um subespaço conexo maximal.

Exemplos

Um espaço conexo que não é conexo por arcos.

• $\R$ e $\mathbb{C}$ são conexos.
• $\N$, $\Z$ e $\mathbb{Q}$ são desconexos.
• No $\R^2\,$, o gráfico da função

$f(x) = \left\{\begin{matrix} \mbox{sen} \frac {1} {x}, & \mbox{se } x \ne 0 \\ 0, & \mbox{se } x = 0 \end{matrix}\right.$

é conexo. Este é o contra-exemplo padrão de um espaço conexo que não é conexo por arcos.

Ver também

• conexidade por arcos
• conexidade simples.