Conexidade

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A é um espaço conexo e B é desconexo, tendo 4 componentes conexas

Uma cisão de um subconjunto $X \subset \mathbb{R}^n$ é uma decomposição $X = A \cup B$ , onde $A \cap B = \varnothing$ e os conjuntos $A, B$ são ambos abertos em $X$ .

Todo conjunto $X \subset \mathbb{R}^n$ admite pelo menos a cisão trivial $X = X \cup \varnothing$ .

Um conjunto $X \subset \mathbb{R}^n$ chama-se conexo quando não admite outra cisão além da trivial. Assim quando $X$ é conexo, se existirem conjuntos $A, B$ tais que $X = A \cup B$ com $A \cap B = \varnothing$ então $A = \varnothing$ ou $B = \varnothing$ .

Quando exitir uma cisão não-trivial $X = A \cup B$ , diremos que $X$ é desconexo.

Do ponto de vista da topologia dizemos que, um espaço topológico é desconexo se contém dois abertos complementares não vazios. Em caso contrário diz-se conexo.

Os subconjuntos $\varnothing\,$ e X são, ao mesmo tempo, abertos e fechados em qualquer topologia de X. Se eles são os únicos conjuntos abertos e fechados, então X é conexo. Por outro lado, se existe A aberto e fechado com $\varnothing\, \subset A \subset X\,$ , então X é desconexo.