Fecho

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Em topologia, o fecho ou aderência de um subespaço topológico S de X é o menor fechado de X que contém S.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

O fecho do conjunto X, denotado por \overline{X}, é o conjunto formado pelos pontos aderentes a X 1 .

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • O fecho de todo conjunto X de números reais (ou seja,  X \subseteq\mathbb{R}) é um conjunto fechado, isto é, \overline{\overline{X}}=\overline{X}. No entanto, há dois casos especiais, em que  X =\mathbb{R} ou X =\varnothing. Isso porque  \mathbb{R} e \varnothing são conjuntos ao mesmo tempo fechados e abertos2 .
  • O fecho de S é a intersecção de todos os fechados que contêm S;
  • O fecho de um conjunto X (\overline{X}) é obtido acrescentando-se a X os seus pontos de acumulação, ou seja, é a união de dois conjuntos, X e  X ' (=conjunto dos pontos aderentes): \overline{X}=X \cup X' 3 .

O fecho de S é a união de S com a sua fronteira.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • o fecho do conjunto \mathbb{Q} dos números racionais é a reta \mathbb{R}. Também o fecho do conjunto (\mathbb{R}-\mathbb{Q}) dos números irracionais é \mathbb{R}. \mathbb{Q} e (\mathbb{R}-\mathbb{Q}) não são conjuntos fechados 4 .


Referências

  1. LIMA, Elon Lages. Curso de análise volume 1. Rio de Janeiro, 11ª edição, 2004. Página 170.
  2. LIMA, Elon Lages. Curso de análise volume 1. Rio de Janeiro, 11ª edição, 2004. Página 172.
  3. LIMA, Elon Lages. Curso de análise volume 1. Rio de Janeiro, 11ª edição, 2004. Página 177.
  4. LIMA, Elon Lages. Curso de análise volume 1. Rio de Janeiro, 11ª edição, 2004. Página 171.
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