Bola (matemática)

Uma esfera é uma bola em $\mathbb{R}^3$.

Em matemática, uma bola é o espaço interior a uma esfera. Ela pode ser tanto uma bola fechada (incluindo os pontos de fronteira) ou pode ser uma bola aberta. (excluindo-os)

Estes conceitos são definidos não apenas no espaço euclidiano tridimensional mas também em dimensões menores e maiores, e para espaços métricos em geral. Uma bola no plano euclidiano, por exemplo, é a mesma coisa que um círculo, a área limitada por uma circunferência.

Nos contextos matemáticos em que o termo bola é usado, assume-se geralmente que uma esfera consiste somente dos pontos de fronteira (por exemplo, uma superfície esférica no espaço tridimensional). Em outros contextos, tais como a geometria euclidiana e situações informais, algumas vezes o termo esfera se refere à bola como um todo.

Bolas em espaços métricos

Num espaço métrico $(X,d)\,\!$, a bola aberta de raio $\delta\,\!$ centrada num ponto $x\,\!$ é o conjunto de pontos cuja distância a $x\,\!$ é inferior a $\delta\,\!$, isto é, $B(x,\delta)=\{y\in X:d(x,y)<\delta\}\,\!$;

A bola fechada de raio $\delta\,\!$ centrada num ponto $x\,\!$ é o conjunto de pontos à distância de $x\,\!$ não superior a $\delta\,\!$, isto é, $B(x,\delta)=\{y\in X:d(x,y)\le\delta\}\,\!$.

Ou seja, a diferença entre a bola aberta e a fechada é que na fechada os pontos de fronteira estão incluídos.

Exemplos

• Em $\mathbb{R}$, uma bola é um intervalo.
• Em $\mathbb{R}^2$, uma bola é um círculo. Também se utiliza o termo "disco" neste caso .
• Em $\mathbb{R}^3$, uma bola é uma esfera.
• Qualquer espaço vetorial normado é um espaço métrico fazendo d(x,y) igual à norma de (x-y). Nesse caso a B(a,r) vai ser o conjunto de vetores u que satisfazem norma de (a-u) menor que r.
• Uma bola não precisa ser redonda; em $\mathbb{R}^2$ com a métrica $d((x_1,y_1), (x_2,y_2)) = \mbox{max}( |x_1 - x_2|, |y_1 - y_2| )$, uma bola é um quadrado.
• Toda bola no espaço métrico é uma vizinhança no espaço topológico gerado pelo espaço métrico. Reciprocamente, toda vizinhança de um ponto contém uma bola centrada neste ponto.

Propriedades

Ver artigo principal: Espaço topológico

Em qualquer espaço métrico $(X,d)\,\!$:

• Toda bola aberta é um aberto de X .
• Toda bola fechada é um fechado de X .