Bola (matemática)

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Uma esfera é uma bola em \mathbb{R}^3.

Em matemática, uma bola é o espaço interior a uma esfera. Ela pode ser tanto uma bola fechada (incluindo os pontos de fronteira) ou pode ser uma bola aberta. (excluindo-os)

Estes conceitos são definidos não apenas no espaço euclidiano tridimensional mas também em dimensões menores e maiores, e para espaços métricos em geral. Uma bola no plano euclidiano, por exemplo, é a mesma coisa que um círculo, a área limitada por uma circunferência.

Nos contextos matemáticos em que o termo bola é usado, assume-se geralmente que uma esfera consiste somente dos pontos de fronteira (por exemplo, uma superfície esférica no espaço tridimensional). Em outros contextos, tais como a geometria euclidiana e situações informais, algumas vezes o termo esfera se refere à bola como um todo.

Bolas em espaços métricos[editar | editar código-fonte]

Num espaço métrico (X,d)\,\!, a bola aberta de raio \delta\,\! centrada num ponto x\,\! é o conjunto de pontos cuja distância a x\,\! é inferior a \delta\,\!, isto é, B(x,\delta)=\{y\in X:d(x,y)<\delta\}\,\!;

A bola fechada de raio \delta\,\! centrada num ponto x\,\! é o conjunto de pontos à distância de x\,\! não superior a \delta\,\!, isto é, B(x,\delta)=\{y\in X:d(x,y)\le\delta\}\,\!.

Ou seja, a diferença entre a bola aberta e a fechada é que na fechada os pontos de fronteira estão incluídos.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Exemplos de Bolas nas normas \|\boldsymbol{x}\|_1, \|\boldsymbol{x}\|_2 e \|\boldsymbol{x}\|_\infty .
  • Em \mathbb{R}, uma bola é um intervalo.
  • Em \mathbb{R}^2, uma bola é um círculo. Também se utiliza o termo "disco" neste caso[1] .
  • Em \mathbb{R}^3, uma bola é uma esfera.
  • Qualquer espaço vetorial normado é um espaço métrico fazendo d(x,y) igual à norma de (x-y). Nesse caso a B(a,r) vai ser o conjunto de vetores u que satisfazem norma de (a-u) menor que r.
  • Em \mathbb{R}^2 com a métrica d((x_1,y_1), (x_2,y_2)) =\|(x_1,y_1)- (x_2,y_2)\|_\infty= \mbox{max}( |x_1 - x_2|, |y_1 - y_2| ), uma bola é um quadrado.
  • Em \mathbb{R}^2 com a métrica d((x_1,y_1), (x_2,y_2)) =\|(x_1,y_1)- (x_2,y_2)\|_1= |x_2-x_1|+|y_2-y_1|, uma bola é um losango.
  • Toda bola no espaço métrico é uma vizinhança no espaço topológico gerado pelo espaço métrico. Reciprocamente, toda vizinhança de um ponto contém uma bola centrada neste ponto.

Esferas e Bolas Unitária no espaço Euclidiano[editar | editar código-fonte]

No Espaço Euclidiano n dimensional, a esfera unitária é um conjunto de pontos (x_1, \ldots, x_n) que satisfaz a equação

 x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n ^2 = 1

e a bola fechada unitária é o conjunto de pontos que satisfaz a inequação

 x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n ^2 \le 1.

Fórmulas de área e volume[editar | editar código-fonte]

O volume de uma bola unitária n-dimensional no Espaço euclideano, que denotamos Vn, pode ser expressa em termos da função gama por

V_n = \frac{\pi ^ {n/2}}{\Gamma(1+n/2)} = \begin{cases}
{\pi^{n/2}}/{(n/2)!} & \mathrm{se~}n \ge 0\mathrm{~e~par,} \\
~\\
{\pi^{\lfloor n/2 \rfloor}2^{\lceil n/2 \rceil}}/{n!!} & \mathrm{se~}n \ge 0\mathrm{~ e~impar,}
\end{cases}

onde n!! é o duplo fatorial.

A hipervolume da esfera unitária (n<meta typeof="mw:DiffMarker">–1)-dimensional (i.e., a "área" da superfície de uma bola n-dimensional), que denotamos por An, pode ser expressa da forma

A_n = n V_n = \frac{n \pi ^ {n/2}}{\Gamma(1+n/2)} = \frac{2 \pi ^ {n/2}}{\Gamma(n/2)}\,,

onde a última igualdade vale para n > 0.

As áreas de superfícies e os volumes para alguns valores de n são dados abaixo:

n A_n (área da superfície) V_n (volume)
0 0(1/0!)\pi^0 0 (1/0!)\pi^0 1
1 1(2^1/1!!)\pi^0 2 (2^1/1!!)\pi^0 2
2 2(1/1!)\pi^1 = 2 \pi 6.283 (1/1!)\pi^1 = \pi 3.141
3 3(2^2/3!!)\pi^1  = 4 \pi 12.57 (2^2/3!!)\pi^1  = (4/3)\pi 4.189
4 4(1/2!)\pi^2 = 2 \pi^2 19.74 (1/2!)\pi^2 = (1/2)\pi^2 4.935
5 5(2^3/5!!)\pi^2 = (8/3)\pi^2 26.32 (2^3/5!!)\pi^2 = (8/15)\pi^2 5.264
6 6(1/3!)\pi^3 = \pi^3 31.01 (1/3!)\pi^3 = (1/6)\pi^3 5.168
7 7(2^4/7!!) \pi^3 = (16/15)\pi^3 33.07 (2^4/7!!) \pi^3 = (16/105)\pi^3 4.725
8 8(1/4!)\pi^4 = (1/3)\pi^4 32.47 (1/4!)\pi^4 = (1/24)\pi^4 4.059
9 9(2^5/9!!) \pi^4 = (32/105)\pi^4 29.69 (2^5/9!!) \pi^4 = (32/945)\pi^4 3.299
10 10(1/5!)\pi^5 = (1/12)\pi^5 25.50 (1/5!)\pi^5 = (1/120)\pi^5 2.550

onde os decimais para n ≥ 2 são arredondados na precisão que são apresentados.

Recursão[editar | editar código-fonte]

Os valores de An satisfazem a recursão:

A_0 = 0
A_1 = 2
A_2 = 2\pi
A_n = \frac{2 \pi}{n-2} A_{n-2} para n > 2.

Os valores de Vn satisfazem a recursão:

V_0 = 1
V_1 = 2
V_n = \frac{2 \pi}{n} V_{n-2} para n > 1.

Dimensão Fracional[editar | editar código-fonte]

As fórmulas para An e Vn podem ser calculadas para qualquer real n ≥ 0.

hipervolume da esféra (x–1)-dimensional (isto é, a "área" da superfície da bola unitária x-dimensional) como uma função contínua de x.
Volume da Bola em x- dimensional como uma função contínua de x.

Outros raios[editar | editar código-fonte]

A área da superfície de uma esfera (n–1)-dimensional com raio r é An rn−1 e o volume de uma bola n-dimensional com raio r é Vn rn. Particularmente, a área é A = 4πr 2 para a superfície de uma bola tridimensional de raio r. O Volume é V = 4πr 3 / 3 para a bola tridimensional de raio r.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Em qualquer espaço métrico (X,d)\,\!:

Referências

  1. a b c SANTOS, José Carlos. Introdução à Topologia. Departamento de Matemática - Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Junho de 2010, 171 páginas. Disponível em: <http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/PDF/Topologia.pdf>. Acesso em: 12 jan. 2010. Página 11
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