Bola (matemática)

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Uma esfera é uma bola em \mathbb{R}^3.

Em matemática, uma bola é o espaço interior a uma esfera. Ela pode ser tanto uma bola fechada (incluindo os pontos de fronteira) ou pode ser uma bola aberta. (excluindo-os)

Estes conceitos são definidos não apenas no espaço euclidiano tridimensional mas também em dimensões menores e maiores, e para espaços métricos em geral. Uma bola no plano euclidiano, por exemplo, é a mesma coisa que um círculo, a área limitada por uma circunferência.

Nos contextos matemáticos em que o termo bola é usado, assume-se geralmente que uma esfera consiste somente dos pontos de fronteira (por exemplo, uma superfície esférica no espaço tridimensional). Em outros contextos, tais como a geometria euclidiana e situações informais, algumas vezes o termo esfera se refere à bola como um todo.

Bolas em espaços métricos[editar | editar código-fonte]

Num espaço métrico (X,d)\,\!, a bola aberta de raio \delta\,\! centrada num ponto x\,\! é o conjunto de pontos cuja distância a x\,\! é inferior a \delta\,\!, isto é, B(x,\delta)=\{y\in X:d(x,y)<\delta\}\,\!;

A bola fechada de raio \delta\,\! centrada num ponto x\,\! é o conjunto de pontos à distância de x\,\! não superior a \delta\,\!, isto é, B(x,\delta)=\{y\in X:d(x,y)\le\delta\}\,\!.

Ou seja, a diferença entre a bola aberta e a fechada é que na fechada os pontos de fronteira estão incluídos.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Em \mathbb{R}, uma bola é um intervalo.
  • Em \mathbb{R}^2, uma bola é um círculo. Também se utiliza o termo "disco" neste caso[1] .
  • Em \mathbb{R}^3, uma bola é uma esfera.
  • Qualquer espaço vetorial normado é um espaço métrico fazendo d(x,y) igual à norma de (x-y). Nesse caso a B(a,r) vai ser o conjunto de vetores u que satisfazem norma de (a-u) menor que r.
  • Uma bola não precisa ser redonda; em \mathbb{R}^2 com a métrica d((x_1,y_1), (x_2,y_2)) = \mbox{max}( |x_1 - x_2|, |y_1 - y_2| ), uma bola é um quadrado.
  • Toda bola no espaço métrico é uma vizinhança no espaço topológico gerado pelo espaço métrico. Reciprocamente, toda vizinhança de um ponto contém uma bola centrada neste ponto.

Volume da Bola Unitária[editar | editar código-fonte]

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Em qualquer espaço métrico (X,d)\,\!:

Referências

  1. a b c SANTOS, José Carlos. Introdução à Topologia. Departamento de Matemática - Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Junho de 2010, 171 páginas. Disponível em: <http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/PDF/Topologia.pdf>. Acesso em: 12 jan. 2010. Página 11
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