Conjunto

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Na matemática, um conjunto é uma coleção de elementos. Nos conjuntos, a ordem e a quantidade de vezes que os elementos estão listados na coleção não é relevante. Em contraste, uma coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a ordem, é relevante, é chamada multiconjunto.

Índice

1 Introdução
2 Terminologia
3 Notação dos conjuntos
4 Exemplos de conjuntos compostos por números
5 Ver também

[editar] Introdução

Um conjunto é considerado um dos conceitos mais básicos da matemática, sendo o elemento principal da teoria dos conjuntos. Um conjunto é apenas uma coleção de entidades, chamadas de elementos. A notação padrão lista os elementos separados por vírgulas e delimitados por chaves (o uso de "parênteses" ou "colchetes" é incomum e, em determinados contextos, considerado incorreto) como os seguintes exemplos:

$\left\{1, 2, 3 \right\}\,\!$

$\left\{1, 2, 2, 1, 3, 2\right\}\,\!$

$\left\{ x\,|\,x \mbox{ é um número inteiro tal que } 0 < x < 4 \right\}$

Os três exemplos acima são maneiras diferentes de representar o mesmo conjunto.

É possível descrever o mesmo conjunto de diferentes maneiras: listando os seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos) ou definindo uma propriedade de seus elementos (o que, se for feito de forma descuidada, pode gerar problemas, tais como o paradoxo de Russell).

Dizemos que dois conjuntos são iguais se e somente se cada elemento de um é também elemento do outro.

[editar] Terminologia

Relações entre conjuntos.

[editar] Conceitos essenciais

Conjunto: representa uma coleção de objetos, sempre representado por letras maiúsculas;
Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto, geralmente representado por letras minúsculas;
Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto;

[editar] Pertence ou não pertence

Se $a$ é um elemento de $A$ , nós podemos dizer que o elemento $a$ pertence ao conjunto $A$ e podemos escrever $a \in A$ . Se $a$ não é um elemento de $A$ , nós podemos dizer que o elemento $a$ não pertence ao conjunto $A$ e podemos escrever $a \not\in A$ .

[editar] Subconjuntos próprios e impróprios

Ver artigo principal: Subconjunto

Se $A \,\!$ e $B \,\!$ são conjuntos e todo o elemento $x \,\!$ pertencente a $A \,\!$ também pertence a $B \,\!$ , então o conjunto $A \,\!$ é dito um subconjunto do conjunto $B \,\!$ , denotado por $A \subseteq B$ . Note que esta definição inclui o caso em que $A$ e $B$ possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto ( $A = B$ ). Se $A \subseteq B$ e ao menos um elemento pertencente a $B \,\!$ não pertence a $A \,\!$ , então $A \,\!$ é chamado de subconjunto próprio de $B \,\!$ , denotado por $A \subset B$ . Todo conjunto é subconjunto dele próprio, chamado de subconjunto impróprio.

[editar] Conjunto vazio

Ver artigo principal: Conjunto vazio

Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por { } ou $\emptyset$ .

Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não pertence ao conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

[editar] União, interseção e diferença

Ver artigo principal: União

A união (ou reunião) de dois conjuntos $A \,\!$ e $B \,\!$ é o conjunto $A \cup B$ composto dos elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos $A \,\!$ e $B \,\!$ .

A união de N conjuntos $S = S_1 \cup S_2 \cup S_3 \cdots \cup S_N = \cup_{i=1}^N S_i$ é o conjunto formado pelos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos $S_i \,\!$ .

Ver artigo principal: Interseção

A interseção de dois conjuntos $A \,\!$ e $B \,\!$ é o conjunto $A \cap B$ composto dos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos $A \,\!$ e $B \,\!$ .

A diferença entre dois conjuntos $A \,\!$ e $B \,\!$ é o conjunto de todos os elementos de $A \,\!$ que não pertencem a $B \,\!$ .

[editar] Cardinalidade

Ver artigo principal: Cardinalidade

Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou número cardinal n.

Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser $\aleph_0$ (aleph-0), $\aleph_1, \aleph_2 ...$ .

Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto $A$ é denotada por $| A |$ . Se para dois conjuntos A e B é possível fazer uma relação um-a-um entre seus elementos, então $| A | = | B |$ .

[editar] Conjunto potência ou de partes

Ver artigo principal: Conjunto de partes

O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado $A$ é chamado de conjunto potência (ou conjunto das partes) de $A$ , denotado por $P(A)\,\!$ . O conjunto potência é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção.

Sendo o conjunto dado A finito, com n elementos, prova-se que o número de subconjuntos ou o número de elementos do conjunto potência ou conjunto das partes de A é $2 n$ , ou seja, a cardinalidade do conjunto das partes de A é igual a $2 n$ . Como existe uma bijecção entre o conjunto das partes de A e o conjunto ${0,1} A$ , é usual representar-se P(A) por $2^A\,\!$ .

O Teorema de Cantor estabelece que $|A| < |P(A)|\,\!$ .

[editar] Produto cartesiano

Ver artigo principal: Produto cartesiano

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:

$A \times B= \{(a,b) : a \in A \and b \in B\}$

A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto

$A + B = A \times \{0\} \cup B \times \{1\}$ .

[editar] Notação dos conjuntos

Os conjuntos são representados de diversas formas:

A forma mais usual é a que apresenta os elementos entre duas chaves ({});
As propriedades ou descrições de um conjunto são representadas dentro das {}, após os elementos e separadas destes por :;
Diagrama de Venn-Euler: é a representação gráfica dos conjuntos, através de entidades geométricas.

[editar] Exemplos de conjuntos compostos por números

Nota: Nesta seção, a, b e c são números naturais, enquanto r e s são números reais.

Números naturais são usados para contar. O símbolo $\mathbb{N}$ usualmente representa este conjunto. Na literatura matemática, é possível encontrar textos que incluem o zero como número natural e textos que não incluem.
Números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b. O símbolo $\mathbb{Z}$ usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números).
Números racionais aparecem como soluções de equações como a + bx = c. O símbolo $\mathbb{Q}$ usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).
Números algébricos aparecem como soluções de equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números irracionais. O símbolo $\mathbb{A}$ ou $\bar{\mathbb{Q}}$ usualmente representa este conjunto.
Números reais incluem os números algébricos e os números transcendentais. O símbolo $\mathbb{R}$ usualmente representa este conjunto.
Números imaginários aparecem como soluções de equações como x ² + r = 0 onde r > 0. O símbolo $\mathbb{I}$ usualmente representa este conjunto.
Números complexos é a soma dos números reais e dos imaginários: $r + s\imath$ . Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero; então os conjuntos dos números reais e o dos imaginários são subconjuntos do conjunto dos números complexos. O símbolo $\mathbb{C}$ usualmente representa este conjunto.