Número natural

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Conjuntos de números

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}\sub\cdots

Naturais \mathbb{N}
Inteiros \mathbb{Z}
Racionais \mathbb{Q}
Reais \mathbb{R}
Imaginários
Complexos \mathbb{C}
Números hiper-reais
Números hipercomplexos

Quaterniões \mathbb{H}
Octoniões \mathbb{O}
Sedeniões \mathbb{S}
Complexos hiperbólicos \mathbb{R}^{1,1}
Quaterniões hiperbólicos
Bicomplexos
Biquaterniões
Coquaterniões
Tessarines

Um número natural é um número inteiro não-negativo \{0,~1,~2,~\ldots\}. Em alguns contextos, número natural é definido como um número inteiro positivo, não sendo o zero considerado como um número natural \{1,~2,~3,~\ldots\}. O conjunto dos números naturais é, comumente, denotado pelo símbolo \mathbb{N}. O símbolo \mathbb{N}^* é usado para explicitar que o zero não está sendo incluído, i.e. \mathbb{N}^* = \mathbb{N}-\{0\}. [1] [2]

O uso mais comum de um número natural é a contagem ("Há 4 quadros na parede") ou a ordenação ("Esta é a 2ª maior cidade do país"). Propriedades dos números naturais como, por exemplo, divisibilidade e a distribuição dos números primos, são estudadas na teoria dos números. Propriedades que dizem respeito a contagens e combinações são estudadas pela combinatória.[3] [4]

Uma construção do conjunto dos números naturais que não depende do conjunto dos números inteiros foi desenvolvida por Giuseppe Peano no século XIX e costuma ser chamada de Axiomática de Peano.

Notação[editar | editar código-fonte]

Os números naturais podem ser usados para contar (uma maçã, duas maçãs, três maçãs...).

Os matemáticos usam \mathbb{N} para se referir ao conjunto de todos os números naturais. Este conjunto é infinito e contável por definição. Para declarar explicitamente que o zero foi excluído do conjunto, utiliza-se alguma notação mais específica. Exemplos:[3]

\mathbb{N}^{*} = \mathbb{N}-\{0\} = \{x \in \mathbb{N} | x \ne 0\} = \{0\}^c_\mathbb{N}

Nota: deve-se tomar o cuidado para não confundir 0 e \{0\}, pois 0 é o número zero, ao passo que \{0\} é o conjunto unitário cujo único elemento é o número zero.

A história dos números naturais e o estado do zero[editar | editar código-fonte]

Os números naturais tiveram suas origens nas palavras utilizadas para a contagem de objetos, começando com o número dois, e daí por diante. Uma abstração seguinte foi identificar o número um.[5]

O avanço seguinte na abstração foi o uso de numerais para representar os números. Isto permitiu o desenvolvimento de sistemas para o armazenamento de grandes números. Por exemplo, os babilônicos desenvolveram um sistema de atribuição de valor baseado essencialmente nos numerais de 1 a 10. Os egípcios antigos possuíam um sistema de numerais com hieróglifos distintos para 1, 10, e todas as potências de 10 até um milhão. Uma gravação em pedra encontrada em Karnak, datando de cerca de 1500 a.C. e atualmente no Louvre, em Paris, representa 276 como 2 centenas, 7 dezenas e 6 unidades; e uma representação similar para o número 4 622.[2] [4]

Um avanço muito posterior na abstração foi o desenvolvimento da ideia do zero como um número com seu próprio numeral.[6] Um dígito zero tem sido utilizado como notação de posição desde cerca de 700 a.C. pelos babilônicos, porém ele nunca foi utilizado como elemento final.[7] Os olmecas e a civilização maia utilizaram o zero como um número separado desde o século I a. C., aparentemente desenvolvido independentemente, porém seu uso não se difundiu na Mesoamérica. O conceito da forma como ele é utilizado atualmente se originou com o matemático indiano Brahmagupta em 628. Contudo, o zero foi utilizado como um número por todos os computus (calculadoras da idade média) começando com Dionysius Exiguus em 525, porém no geral nenhum numeral romano foi utilizado para escrevê-lo. Ao invés disto, a palavra latina para "nenhum", "nullae", foi empregada.

O primeiro estudo esquemático dos números como abstração (ou seja, como entidades abstratas) é comumente atribuído aos filósofos gregos Pitágoras e Arquimedes. Entretanto, estudos independentes também ocorreram por volta do mesmo período na Índia, China, e Mesoamérica.

No século XIX, uma definição do conjunto teórico dos números naturais foi desenvolvida. Com esta definição, era mais conveniente incluir o zero (correspondente ao conjunto vazio) como um número natural. Esta convenção é seguida pelos teorizadores de conjuntos, logicistas, e cientistas da computação. Outros matemáticos, principalmente os teorizadores dos números, comumente preferem seguir a tradição antiga e excluir o zero dos números naturais.

Uma construção consistente do Conjunto dos Números Naturais foi desenvolvida no século XIX por Giuseppe Peano. Essa construção, comumente chamada de Axiomas de Peano, é uma estrutura simples e elegante, servindo como um bom exemplo, de construção de conjuntos numéricos.

Propriedades algébricas[editar | editar código-fonte]

adição [2] multiplicação
Fechamento ou Fecho: a + b ~ é um número natural a * b ~ é um número natural
Associatividade: a + (b + c) = (a + b) + c a * (b * c) = (a * b) * c
Comutatividade: a + b = b + a a * b = b * a
Existência de um Elemento neutro: a + 0 = a a * 1 = a
Distributividade: a * (b + c) = (a * b) + (a * c)
Nenhum divisor de zero: Se ab = 0, então ou a = 0 ou b = 0 (ou os dois)

Referências

  1. Números Naturais
  2. a b c Os números naturais
  3. a b Antonio González Carlomán, Didáctica del número natural, Universidad de Oviedo, 1984 ISBN 8-474-68094-8 (em espanhol)
  4. a b Georges Ifrah, HISTORIA UNIVERSAL DOS ALGARISMOS - TOMO I a inteligência dos homens contada pelos números e pelo cálculo NOVA FRONTEIRA ISBN 978-852-090-841-9 Sinopse
  5. Russell, Bertrand (2007), "1. A série dos números naturais" (em português) (Livro), Introdução à filosofia matemática, Zahar, ISBN 8-571-10970-2 .
  6. Célia Maria Carolino Pires, Números Naturais e Operações , Editora Melhoramentos, 2013 ISBN 8-506-07233-6
  7. "Zero", MCS, UK: ST-And, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Zero.html, "...uma tábua encontrada em Kish... com uma data estimada em cerca de 700 a.C., utiliza três ganchos para representar um espaço vazio na notação posicional. Outras tábuas datadas da mesma época utilizam um único gancho para representar um espaço vazio." .

Ver também[editar | editar código-fonte]

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  1. Georges Ifrah, HISTORIA UNIVERSAL DOS ALGARISMOS - TOMO II a inteligência dos homens contada pelos números e pelo cálculo NOVA FRONTEIRA ISBN 8-520-91046-7 Consórcio Eletrônico de Bibliotecas


Ligações externas[editar | editar código-fonte]


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