Número hipercomplexo

Conjuntos de números
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}\sub\cdots$
Naturais $\mathbb{N}$ Inteiros $\mathbb{Z}$ Racionais $\mathbb{Q}$ Reais $\mathbb{R}$ Imaginários Complexos $\mathbb{C}$ Números hiper-reais Números hipercomplexos
Quaterniões $\mathbb{H}$ Octoniões $\mathbb{O}$ Sedeniões $\mathbb{S}$ Complexos hiperbólicos $\mathbb{R}^{1,1}$ Quaterniões hiperbólicos Bicomplexos Biquaterniões Coquaterniões Tessarines

Em matemática, números hipercomplexos são extensões dos números complexos construídos por meios da álgebra abstrata, tal como os quaterniões, coquaterniões, tessarinos, coquaternions, octoniões, split-octoniões, biquaternions e sedeniões.

A forma geral de um número hipercomplexo é dada por:

$a_0 + a_1 \cdot i_1 + a_2 \cdot i_2 + ... + a_n \cdot i_n (1)$

onde n é um inteiro determinado e $a_0, a_1, a_2, ..., a_n$ são números reais arbitrários e $i_0, i_1, i_2, ..., i_n$ são tais que

$a_0 + a_1 \cdot i_1 + a_2 \cdot i_2 + ... + a_n \cdot i_n = b_0 + b_1 \cdot i_1 + b_2 \cdot i_2 + ... + b_n \cdot i_n$

se e somente se:

$a_0=b_0 a_1=b_1 a_2=b_2 ... a_n=b_n\,\!$

A equação na forma (1) é chamada de número complexo de n-ésima ordem. Cada multiplicação de duas bases "ia" e "ib" é necessariamente um elemento do conjunto do número hipercomplexo que está sendo definido. Em outras palavras, dados dois números inteiros (de 1 a n) a e b, e números reais p0 até $pn$, podemos definir uma multiplicação tal que:

$i_a \cdot i_b = p_0 + p_1 \cdot i_1 + p_2 \cdot i_2 + ... + p_n \cdot i_n$

Logo, para números hipercomplexos de n-ésima ordem, $n \cdot n \cdot (n+1)$, números de tais constantes devem ser definidas para se determinar a forma algébrica. (Exemplos: números reais (ordem 0) não requerem nenhum, números complexos (1ªordem) requerem 2, números quaternários (3ªordem) requerem no total 36 números).