Número hipercomplexo

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Conjuntos de números

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}\sub\cdots

Naturais \mathbb{N}
Inteiros \mathbb{Z}
Racionais \mathbb{Q}
Reais \mathbb{R}
Imaginários
Complexos \mathbb{C}
Números hiper-reais
Números hipercomplexos

Quaterniões \mathbb{H}
Octoniões \mathbb{O}
Sedeniões \mathbb{S}
Complexos hiperbólicos \mathbb{R}^{1,1}
Quaterniões hiperbólicos
Bicomplexos
Biquaterniões
Coquaterniões
Tessarines

Em matemática, números hipercomplexos são extensões dos números complexos construídos por meios da álgebra abstrata, tal como os quaterniões, coquaterniões, tessarinos, coquaternions, octoniões, split-octoniões, biquaternions e sedeniões.

A forma geral de um número hipercomplexo é dada por:

a_0 + a_1 \cdot i_1 + a_2 \cdot i_2 + ... + a_n \cdot i_n  (1)

onde n é um inteiro determinado e a_0, a_1, a_2, ..., a_n são números reais arbitrários e i_0, i_1, i_2, ..., i_n são tais que

a_0 + a_1 \cdot i_1 + a_2  \cdot  i_2 + ... + a_n \cdot i_n = b_0 + b_1 \cdot i_1 + b_2 \cdot i_2 + ... + b_n \cdot i_n

se e somente se:

a_0=b_0  a_1=b_1  a_2=b_2 ... a_n=b_n\,\!

A equação na forma (1) é chamada de número complexo de n-ésima ordem. Cada multiplicação de duas bases "ia" e "ib" é necessariamente um elemento do conjunto do número hipercomplexo que está sendo definido. Em outras palavras, dados dois números inteiros (de 1 a n) a e b, e números reais p0 até pn, podemos definir uma multiplicação tal que:

i_a \cdot i_b = p_0 + p_1 \cdot i_1 + p_2 \cdot i_2 + ... + p_n \cdot i_n

Logo, para números hipercomplexos de n-ésima ordem, n \cdot n \cdot (n+1), números de tais constantes devem ser definidas para se determinar a forma algébrica. (Exemplos: números reais (ordem 0) não requerem nenhum, números complexos (1ªordem) requerem 2, números quaternários (3ªordem) requerem no total 36 números).