Quaterniões

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Conjuntos de números

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}\sub\cdots

Naturais \mathbb{N}
Inteiros \mathbb{Z}
Racionais \mathbb{Q}
Reais \mathbb{R}
Imaginários
Complexos \mathbb{C}
Números hiper-reais
Números hipercomplexos

Quaterniões \mathbb{H}
Octoniões \mathbb{O}
Sedeniões \mathbb{S}
Complexos hiperbólicos \mathbb{R}^{1,1}
Quaterniões hiperbólicos
Bicomplexos
Biquaterniões
Coquaterniões
Tessarines

Os Quaterniões (português europeu) ou Quatérnios (português brasileiro) são uma extensão \mathbb{H} do conjunto dos números complexos \mathbb{C}. Mais precisamente, o conjunto \mathbb{H} é uma álgebra associativa formada pelos números da forma u + xi + yj + zk\,\!, onde u, x, y, z \in \mathbb{R} e i\,\!, j\,\! e k\,\! são unidades imaginárias (i^2 = j^2 = k^2 = -1\,\!). Além disso, temos que ij = k, jk = i, ki = j, ji = -k, kj = -i, ik = -j\,\!, de forma que a multiplicação não é comutativa. A soma e o produto entre quaterniões podem ser calculadas usando-se as demais propriedades da álgebra, tais como a regra distributiva e associativa.[1] [2]

u\!\, é chamada de parte escalar do quaternião e xi + yj + zk\,\! é chamada de parte vetorial. Também dizemos que u\!\, é a parte real e xi + yj + zk\,\! é a parte imaginária do quaternião. Aos números u\!\,, x\,\!, y\,\! e z\,\! denominamos coeficientes.

Conceitos[editar | editar código-fonte]

Numa conta deve-se fazer sempre 1° a multiplicação depois a soma; divisão; subtração etc...

Quaternião escalar[editar | editar código-fonte]

Um quaternião escalar é aquele em que a parte vetorial é nula ( q = \,\! u\,\! ).

Quaternião vetorial[editar | editar código-fonte]

Um quaternião vetorial é aquele em que a parte escalar é nula ( q = xi + yj + zk\,\! ).

Conjugado de um quaternião[editar | editar código-fonte]

O conjugado de um quaternião é esse mesmo quaternião com os sinais da parte vetorial invertidos.

Assim, dado o número quaterniônico q = u + xi + yj + zk\,\!, seu conjugado é então

\overline {q} = u - xi - yj - zk\,\!.

Módulo[editar | editar código-fonte]

O módulo de um número quaterniônico é igual a raiz quadrada da soma do quadrado de seus coeficientes. Assim, dado o número q = u + xi + yj + zk\,\!, seu módulo é então:

\left|q\right| = \sqrt{u^2 + x^2 + y^2 + z^2}

Operações elementares[editar | editar código-fonte]

Adição e subtração[editar | editar código-fonte]

Na soma ou subtração de quaterniões, somamos ou subtraímos os coeficientes das bases correspondentes, conforme o caso. Assim, dados os números:

q = u + xi + yj + zk\,\!

e

p = a + bi + cj + dk\,\!

temos:

  • q + p =\,\! (u + a) + (x + b)i + (y + c)j + (z + d)k\,\,
  • q - p =\,\! (u - a) + (x - b)i + (y - c)j + (z - d)k\,\,

Multiplicação[editar | editar código-fonte]

Produto interno ou escalar[editar | editar código-fonte]

Dados os quaterniões q = u + xi + yj + zk\,\! e p = a + bi + cj + dk\,\!, o produto interno entre eles é dado por:

qp = pq = au + bx + cy + dz\,\!

Como se pode notar, o produto interno tem como resultado uma quantidade escalar (um número real).

Produto externo ou vetorial[editar | editar código-fonte]

Sejam q = u + xi + yj + zk\,\! e p = a + bi + cj + dk\,\! números quaterniônicos, então o produto exterior qp\,\! (usualmente, qp \ne pq \,\!) é definido como:

 qp =\,\! (u + xi + yj + zk)\,\! (a + bi + cj + dk)\,\!

= ua + ubi + ucj + udk
+ xia + xibi + xicj + xidk
+ yja + yjbi + yjcj + yjdk
+ zka + zkbi + zkcj + zkdk\,\!

= ua + ubi + ucj + udk
+ xai * xb * xck * xdj * yaj * ybk - yc + ydi
+ zak + zbj - zci - zd\,\!

= (ua - xb - yc - zd) + (ub + xa + yd - zc)i + (uc - xd + ya + zb)j + (ud + xc - yb + za)k\,\!

E importante notar que esse produto não é comutativo, isto é, existem q e p tais que qp \ne pq\,\!.

Divisão[editar | editar código-fonte]

A não-comutatividade dos quaterniões permite dois tipos de divisão p^{-1}q\,\! e qp^{-1}\,\!. Isso significa que a notação q \over p\,\! não pode ser usada a menos que p\,\! ou q\,\! seja um escalar.


Representação através de matrizes[editar | editar código-fonte]

Há pelo menos duas formas de se representar quaterniões como matrizes, de tal forma que a adição e a multiplicação de quaterniões correspondem à adição da matriz e à multiplicação de matrizes (isto é, homomorfismo matriz-quaternião).

Uma dessas formas é usar matrizes complexas 2×2 , e a outra é usar matrizes reais 4×4 . Na primeira forma, o quaternião a + b i + c j + d k é representado como

\begin{pmatrix} a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix}

Essa representação tem diversas propriedades agradáveis.

  • Os números complexos (c = d = 0) correspondem às matrizes diagonais.
  • O quadrado do valor absoluto de um quaternião é a determinante da matriz correspondente.
  • O conjugado de um quaternião corresponde à matriz transposta conjugada da matriz.

. Na segunda forma, o quaternião a + b i + c j + d k é representado como

\begin{pmatrix}
 \;\; a & -b & \;\; -c & -d \\ 
 \;\; b & \;\; a & -d & c \\
 \;\; c & \;\; d & \;\; a & -b \\
 \;\; d & \;\; -c & \;\; b & \;\; a 
\end{pmatrix}

Nessa representação, o conjugado de um quaternião corresponde a matriz transposta da matriz. A quarta potência do valor absoluto de um quaternião é a determinante da matriz correspondente.

Construção de Cayley-Dickson[editar | editar código-fonte]

De acordo com a construção de Cayley-Dickson, um quaternião é um par ordenado de números complexos. Seja j uma nova raiz de −1, diferente de i e −i, e seja u e v um par de números complexos, então

 q = u + j v \,

é um quaternião.

Se u = a + i b e v = c + i d, então

 q = a + i b + j c + j i d \,.

Além disso, seja

 j i = - i j \,,

tal que

 q = a + i b + j c + i j (-d) \,,

e também seja o produto dos quaterniões associativo.

Com estas regras, nós podemos agora derivar a tabela da multiplicação para i, j e ij, os componentes imaginários de um quaternião:

 i i = -1, \,
 i j = (i j), \,
 i (i j) = (i i) j = -j, \,
 j i = - (i j), \,
 j j = -1, \,
 j (i j) = - j (j i) = - (j j) i = i, \,
 (i j) i = - (j i) i = -j (i i) = j, \,
 (i j) j = i (j j) = -i, \,
 (i j) (i j) = -(i j) (j i) = -i (j j) i = i i = -1. \,

Note que a díade i j se comporta exatamente como o k na definição.

Para todo o número complexo v = c + i d, seu produto com j têm a seguinte propriedade:

 j v = v^* j \,

Já que

 j v = j c + j i d = j c - (i j) d = (c - i d) j = v^* j \,.

Seja p um quaternião com componentes complexos w e z:

 p = w + j z \,.

Então o produto qp é

 q p = (u + j v) (w + j z) = u w + u j z + j v w + j v j z \,

Visto que o produto de números complexos é comutativo, temos

 (u + j v) (w + j z) = (u w - z v^*) + j (u^* z + w v) \,

que é precisamente como a multiplicação de quaterniões é definida pela construção de Cayley-Dickson.

Note que se u = a + i b, v = c + i d, e p = a + i b + j c + kd então a construção de p de u e v é de preferência

 p = u + v j = u + j v^* \,.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Rotações de vetores em 3D[editar | editar código-fonte]

A rotação de vetores em 3D pode ser compactamente representada através de quaterniões.

Sejam v e w vetores, w \ne 0\,, e \alpha\, um ângulo. Então a rotação de v, no sentido anti-horário, em torno do eixo dado por w é dada por:

R(v) = q v q^{-1}\,

em que q é o quaternião (de módulo 1)

q = \cos \frac {\alpha}{2} + \sin \frac {\alpha}{2} \ \frac {v} {\|v\|}\,

Referências

Ver também[editar | editar código-fonte]