Quaterniões

Conjuntos de números
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}\sub\cdots$
Naturais $\mathbb{N}$ Inteiros $\mathbb{Z}$ Racionais $\mathbb{Q}$ Reais $\mathbb{R}$ Imaginários Complexos $\mathbb{C}$ Números hiper-reais Números hipercomplexos
Quaterniões $\mathbb{H}$ Octoniões $\mathbb{O}$ Sedeniões $\mathbb{S}$ Complexos hiperbólicos $\mathbb{R}^{1,1}$ Quaterniões hiperbólicos Bicomplexos Biquaterniões Coquaterniões Tessarines

Os Quaterniões ^{(português europeu)} ou Quatérnios ^{(português brasileiro)} são uma extensão $\mathbb{H}$ do conjunto dos números complexos $\mathbb{C}$. Mais precisamente, o conjunto $\mathbb{H}$ é uma álgebra associativa formada pelos números da forma $u + xi + yj + zk\,\!$, onde $u, x, y, z \in \mathbb{R}$ e $i\,\!$, $j\,\!$ e $k\,\!$ são unidades imaginárias ($i^2 = j^2 = k^2 = -1\,\!$). Além disso, temos que $ij = k, jk = i, ki = j, ji = -k, kj = -i, ik = -j\,\!$, de forma que a multiplicação não é comutativa. A soma e o produto entre quaterniões podem ser calculadas usando-se as demais propriedades da álgebra, tais como a regra distributiva e associativa.

$u\!\,$ é chamada de parte escalar do quaternião e $xi + yj + zk\,\!$ é chamada de parte vetorial. Também dizemos que $u\!\,$ é a parte real e $xi + yj + zk\,\!$ é a parte imaginária do quaternião. Aos números $u\!\,$, $x\,\!$, $y\,\!$ e $z\,\!$ denominamos coeficientes.

Conceitos

Numa conta deve-se fazer sempre 1° a multiplicação depois a soma; divisão; subtração etc...

Quaternião escalar

Um quaternião escalar é aquele em que a parte vetorial é nula ( $q = \,\!$ $u\,\!$ ).

Quaternião vetorial

Um quaternião vetorial é aquele em que a parte escalar é nula ( $q = xi + yj + zk\,\!$ ).

Conjugado de um quaternião

O conjugado de um quaternião é esse mesmo quaternião com os sinais da parte vetorial invertidos.

Assim, dado o número quaterniônico $q = u + xi + yj + zk\,\!$, seu conjugado é então

$\overline {q} = u - xi - yj - zk\,\!$.

Módulo

O módulo de um número quaterniônico é igual a raiz quadrada da soma do quadrado de seus coeficientes. Assim, dado o número $q = u + xi + yj + zk\,\!$, seu módulo é então:

$\left|q\right| = \sqrt{u^2 + x^2 + y^2 + z^2}$

Operações elementares

Adição e subtração

Na soma ou subtração de quaterniões, somamos ou subtraímos os coeficientes das bases correspondentes, conforme o caso. Assim, dados os números:

$q = u + xi + yj + zk\,\!$

e

$p = a + bi + cj + dk\,\!$

temos:

• $q + p =\,\!$ $(u + a) + (x + b)i + (y + c)j + (z + d)k\,\,$

• $q - p =\,\!$ $(u - a) + (x - b)i + (y - c)j + (z - d)k\,\,$

Multiplicação

Produto interno ou escalar

Dados os quaterniões $q = u + xi + yj + zk\,\!$ e $p = a + bi + cj + dk\,\!$, o produto interno entre eles é dado por:

$qp = pq = au + bx + cy + dz\,\!$

Como se pode notar, o produto interno tem como resultado uma quantidade escalar (um número real).

Produto externo ou vetorial

Sejam $q = u + xi + yj + zk\,\!$ e $p = a + bi + cj + dk\,\!$ números quaterniônicos, então o produto exterior $qp\,\!$ (usualmente, $qp \ne pq \,\!$) é definido como:

$qp =\,\!$ $(u + xi + yj + zk)\,\!$ $(a + bi + cj + dk)\,\!$

$= ua + ubi + ucj + udk + xia + xibi + xicj + xidk + yja + yjbi + yjcj + yjdk + zka + zkbi + zkcj + zkdk\,\!$

$= ua + ubi + ucj + udk + xai * xb * xck * xdj * yaj * ybk - yc + ydi + zak + zbj - zci - zd\,\!$

$= (ua - xb - yc - zd) + (ub + xa + yd - zc)i + (uc - xd + ya + zb)j + (ud + xc - yb + za)k\,\!$

E importante notar que esse produto não é comutativo, isto é, existem q e p tais que $qp \ne pq\,\!$.

Divisão

A não-comutatividade dos quaterniões permite dois tipos de divisão $p^{-1}q\,\!$ e $qp^{-1}\,\!$. Isso significa que a notação $q \over p\,\!$ não pode ser usada a menos que $p\,\!$ ou $q\,\!$ seja um escalar.

Representação através de matrizes

Há pelo menos duas formas de se representar quaterniões como matrizes, de tal forma que a adição e a multiplicação de quaterniões correspondem à adição da matriz e à multiplicação de matrizes (isto é, homomorfismo matriz-quaternião).

Uma dessas formas é usar matrizes complexas 2×2 , e a outra é usar matrizes reais 4×4 . Na primeira forma, o quaternião a + b i + c j + d k é representado como

$\begin{pmatrix} a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix}$

Essa representação tem diversas propriedades agradáveis.

• Os números complexos (c = d = 0) correspondem às matrizes diagonais.
• O quadrado do valor absoluto de um quaternião é a determinante da matriz correspondente.
• O conjugado de um quaternião corresponde à matriz transposta conjugada da matriz.

• Restringindo-se aos quaterniões unitários, essa representação fornece o isomorfismo entre S³ e SU (2). O último grupo é importante em mecânica quântica no que se diz respeito à rotação. (Ver também matrizes de Pauli)

. Na segunda forma, o quaternião a + b i + c j + d k é representado como

$\begin{pmatrix} \;\; a & -b & \;\; -c & -d \\ \;\; b & \;\; a & -d & c \\ \;\; c & \;\; d & \;\; a & -b \\ \;\; d & \;\; -c & \;\; b & \;\; a \end{pmatrix}$

Nessa representação, o conjugado de um quaternião corresponde a matriz transposta da matriz. A quarta potência do valor absoluto de um quaternião é a determinante da matriz correspondente.

Construção de Cayley-Dickson

De acordo com a construção de Cayley-Dickson, um quaternião é um par ordenado de números complexos. Seja j uma nova raiz de −1, diferente de i e −i, e seja u e v um par de números complexos, então

$q = u + j v \,$

é um quaternião.

Se u = a + i b e v = c + i d, então

$q = a + i b + j c + j i d \,$.

Além disso, seja

$j i = - i j \,$,

tal que

$q = a + i b + j c + i j (-d) \,$,

e também seja o produto dos quaterniões associativo.

Com estas regras, nós podemos agora derivar a tabela da multiplicação para i, j e ij, os componentes imaginários de um quaternião:

$i i = -1, \,$

$i j = (i j), \,$

$i (i j) = (i i) j = -j, \,$

$j i = - (i j), \,$

$j j = -1, \,$

$j (i j) = - j (j i) = - (j j) i = i, \,$

$(i j) i = - (j i) i = -j (i i) = j, \,$

$(i j) j = i (j j) = -i, \,$

$(i j) (i j) = -(i j) (j i) = -i (j j) i = i i = -1. \,$

Note que a díade i j se comporta exatamente como o k na definição.

Para todo o número complexo v = c + i d, seu produto com j têm a seguinte propriedade:

$j v = v^* j \,$

Já que

$j v = j c + j i d = j c - (i j) d = (c - i d) j = v^* j \,$.

Seja p um quaternião com componentes complexos w e z:

$p = w + j z \,$.

Então o produto qp é

$q p = (u + j v) (w + j z) = u w + u j z + j v w + j v j z \,$

Visto que o produto de números complexos é comutativo, temos

$(u + j v) (w + j z) = (u w - z v^*) + j (u^* z + w v) \,$

que é precisamente como a multiplicação de quaterniões é definida pela construção de Cayley-Dickson.

Note que se u = a + i b, v = c + i d, e p = a + i b + j c + kd então a construção de p de u e v é de preferência

$p = u + v j = u + j v^* \,$.

Aplicações

Rotações de vetores em 3D

A rotação de vetores em 3D pode ser compactamente representada através de quaterniões.

Sejam v e w vetores, $w \ne 0\,$, e $\alpha\,$ um ângulo. Então a rotação de v, no sentido anti-horário, em torno do eixo dado por w é dada por:

$R(v) = q v q^{-1}\,$

em que q é o quaternião (de módulo 1)

$q = \cos \frac {\alpha}{2} + \sin \frac {\alpha}{2} \ \frac {v} {\|v\|}\,$

Ver também

• Quaterniões hiperbólicos
• Números complexos
• Números complexos hiperbólicos
• Octoniões