Homomorfismo

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Em álgebra abstrata, um homomorfismo é uma aplicação entre duas estruturas algébricas (como por exemplo grupos, anéis, espaços vetoriais). A palavra homomorfismo vem da Língua grega: ὁμός (homos) significando "mesmo" e μορφή (morphe) significando "formato". Isomorfismo, automorfismo e endomorfismo são tipos de homomorfismo

As funções consideradas naturais entre duas estruturas algébricas do mesmo tipo, como os anéis, são aquelas que preservam as operações, ou seja, transformam uma soma de elementos no anel domínio na soma de suas imagens e transformam um produto de elementos no anel domínio do produto de suas imagens. Essas funções são chamadas de homomorfismos.

Definição e ilustração[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

A definição de homomorfismo depende do tipo de estrutura algébrica a ser observada. Definições particulares de homomorfismo incluem o que segue:

O tema comum é que o homomorfismo é uma função entre dois objetos algébricos que respeita a estrutura algébrica.

Por exemplo, um grupo é um objeto algébrico consistente de umaconjunto que junto com uma única operação binária, satisfaça certos axiomas. Se (G,*) and (H,*') são grupos, um homomorfismo de (G,*) até (H,*') é uma função ƒ(G,*) → (H,*') de tal modo que f(g_1 * g_2) = f(g_1) *' f(g_2) para qualquer elemento g1g2 ∈ G.

Quando uma estrutura algebrica inclui mais do que uma operação, é necessário homomofismos para preservar cada operação. Por exemplo, um anel possui tanto adição quanto multiplicação, e um homomorfismo do anel (R,+,*,0,1) para o anel (R',+',*',0',1') é uma função de tal modo que

f(r+s) = f(r) +' f(s)\qquad\text{and}\qquad f(r*s) = f(r)*'f(s)

para qualquer elemento r e s do domínio do anel.

A noção de homomorfismo pode ser dada uma definição formal no contexto de algebra universal, campo que estuda as ideias comuns a todas as estruturas algébricas. Neste cenário, um homomorfismo ƒA → B é uma função entre duas estruturas algébricas do mesmo tipo de tal modo que

f(\mu_A(a_1, \ldots, a_n)) = \mu_B(f(a_1), \ldots, f(a_n))

para cada n-ary operation μ e para todos os elementos a1,...,an ∈ A.

Exemplos básicos[editar | editar código-fonte]

Os números reais são um anel, tendo tanto adição quanto multiplicação. o conjunto de todos 2 × 2 matrizes também é um anel, sob adição de matrizes e produto de matrizes. Se nós definirmos uma função entre esses anéis como a seguir:

f(r) = \begin{pmatrix}
   r & 0 \\
   0 & r
\end{pmatrix}

onde r é um número real. Então ƒ é um homomorfismo de anéis, desde que ƒ preserve tanto adição:

f(r+s) = \begin{pmatrix}
  r+s & 0 \\
   0 & r+s
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
  r & 0 \\
   0 & r
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
   s & 0 \\
   0 & s
\end{pmatrix} = f(r) + f(s)

quanto a multiplicação:

f(rs) = \begin{pmatrix}
  rs & 0 \\
   0 & rs
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
   r & 0 \\
   0 & r
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
   s & 0 \\
   0 & s
\end{pmatrix} = f(r)\,f(s).

Por outro exemplo, o diferente de zero número complexos forma um grupo sobe a operação de multiplicação, assim como os números reais diferentes de zero. (Zero precisa ser excluído dos dois grupos desde que não tenha uma inverso multiplicativo, na qual é necessário para elementos do grupo.) Defina a função ƒ a partir do complexo dos números diferentes de zero para os números reais diferentes de zero

f(z) = |z|.

Que é, ƒ(z) é o função modular (ou modulo) do número complexo z. Então ƒ é um grupo de homomorfismo, desde que isso preserve a multiplicação:

f(z_1 z_2) = |z_1 z_2| = |z_1|\,|z_2| = f(z_1)\,f(z_2).

Note que ƒ não é possível estender para um homomorfismo de anéis (a partir dos números complexos para os números reais), já que ele não preserva a adição:

|z_1 + z_2| \ne |z_1| + |z_2|.

Discussão informal[editar | editar código-fonte]

Porque algebra abstrata estuda conjunto dotados com operações que geram interessantes estruturas ou propriedade no conjunto, funções que preservam as operações são especialmente importantes. Essas funções são conhecidas como homomorfismos.

Por exemplo, considere o conjunto dos números naturais com adição como a operação. A função que preserva adição deveria ter a propriedade: f(a + b) = f(a) + f(b). Por exemplo, f(x) = 3x é um homomorfismo tal, desde que f(a + b) = 3(a + b) = 3a + 3b = f(a) + f(b). Note que esse homomorfismo mapeia os números naturais de volta para si.

Homomorfismos não têm que mapear conjuntos que têm as mesmas operações. Por exemplo, operação que preserva as funções existe entre o conjunto dos números reais com adição e e o conjunto dos números positivos reais com a multiplicação. A função que preserva operação deveria ter essa propriedade: f(a + b) = f(a) * f(b), já que adição é uma operação no primeiro conjunto e multiplicação [e uma operação no segundo. Dada as leis de exponenciaçãos, f(x) = ex satisfaz essas condições: 2 + 3 = 5 traduz-se em e2 * e3 = e5.

Se nós estamos considerando operações múltiplas em um conjunto, então todas as operações devem ser preservadas para a função a ser considerada homomorfismo. Apesar de o conjunto poder ser o mesmo, a mesma função poderá ser um homomorfismo, em teoria dos grupos se diz (conjunto com uma única operação) mas não em teoria dos anéis (conjuntos com duas operações relacionadas), já que isso falha na preservação da operação adicional que a teoria dos aneis considera.

Relação à teoria da categoria[editar | editar código-fonte]

Uma vez que homomorfismos são morfismos, o seguinte tipos específicos de morfismos definido em qualquer categoria são definidos por homorfismos também. No entanto, as definições em teoria das categorias são um tanto técnica. No importante caso especial demodulos e homomorfismos, e por outras classes de homomorfismos, há descrições mais simples, como segue:

  • Um endomorfismo é um homomorfismo de um objeto para ele mesmo.
  • Um automorfismo é um endomorfismo que é também um isomorfismo, por exemplo, um isomorfismo de um objeto para ele mesmo.

Essas descrições pode ser usadas a fim de obter uma série de propriedades interessantes. Por exemplo, uma vez que a função é bijetiva se e somente se ela é tanto injetiva quando é subjetiva, um homomorfismo módulo é um isomorfismo se e somente se é tanto um monomorfismo quanto um epimorfismo.

Para endomorfismos e automorfismos, a descrição acima coincide com a teoria de definição categórica; as primeiras três descrições não. Por exemplo, a precisa definição para o homomorfismo f para ser iso não é apenas ser bijetivo, e assim ter uma inversa f−1, mas também esta inversa é um homomorfismo. Isso tem a importante consequência que dois objetos são completamente indistinguíveis na medida que a estrutura em questão é considerada, se existir um isomorfismo entre elas. Dois objetos são ditos isomorfico.

Na realidade, na definição algébrica (pelo menos dentro do contexto de álgebra universal) essa condição extra no isomorfismo é automaticamente satisfeita. No entanto, o mesmo não é verdadeiro para epimorfismos; por exemplo, a inclusão de Z como o (unitário) sub-anel de Q não é sobrejetora, mas uma epimorfia homomorfismo de anéis.[1] Essa inclusão, portanto, também é um exemplo de um homomorfismo anel que é tanto mono quanto epi, mas não iso.

Morphisms.svg
Relações entre diferentes tipos de modulo homomórfico.
H = conjunto de Homomorfismos, M = conjunto de Monomorfismos,
P = conjunto de Epimorfismos, S = conjunto de Isomorfismo,
N = conjunto de Endomorfismo, A = conjunto de Automorfismo.
Perceba que: M ∩ P = S, S ∩ N = A,
(M ∩ N) \ A and (P ∩ N) \ A contem somente homomorfismo de modulos infinitos para elas mesmas.

Núcleo de um homomorfismo[editar | editar código-fonte]

Qualquer homomorfismo f : XY define uma relação de equivalência ~ em X por a ~ b se e somente se f(a) = f(b). A relação ~ é chamada de núcleo de f. É um relação de congruência em X. O classe de equivalência X/~, (conjunto quociente), pode, então, ser dado um objeto estrutura na forma natural, por exemplo [x] * [y] = [x * y]. Nesse caso a imagem de X em Y sob o homomorfismo f é necessariamente isomorfismo para X/~; esse fato é um dos teoremas isomórficos. Note que em alguns casos (por exemplo grupos ou anéis), a única classe de equivalência K basta para especificar a estrutura do quociente; então nós podemos escrevê-la X/K. (X/K é usualmente lida como "X mod K".) Também nestes casos, é K, ao invés de ~, que é chamada de núcleo def (cf. subgrupo normal).

Homomorfismos de estruturas relacionais[editar | editar código-fonte]

Em teoria dos modelos, a noção de uma estrutura algebrica é generalizada para estruturas envolvendo tanto operações quanto relações. Sendo L uma assinatura composta por função e símbolos de relações, e A e B duas L-estruturas. Então o homomorfismo de A para B é um mapeamento h do domínio de A para o domínio de B de tal modo que

  • h(FA(a1,…,an)) = FB(h(a1),…,h(an)) para cada símbolo de função n-aria F em L,
  • RA(a1,…,an) implica RB(h(a1),…,h(an)) para cada símbolo de relação n-ary R in L.

Nos casos especiais com somente uma relação binária, nós obtemos a noção de um homomorfismo de grafos.

Homomorfismos e e-livre homomorfismo na teoria da línguagem formal[editar | editar código-fonte]

Homomorfismos são também usados no estudo de linguagem formals[2] (embora dentro deste contexto, muitas vezes eles são brevemente referidos aos morfismos[3] ). Dados alfabetos \Sigma_1 and \Sigma_2, a função h : \Sigma_1^*\Sigma_2^* de tal modo que h(uv)=h(u)h(v) para todo u e v em \Sigma_1^* é chamado de homomorfismo (ou simplesmente morfismo) em \Sigma_1^*.[4] Seja e denotando a palavra vazia. Se h é um homomorfismo em \Sigma_1^* e h(x) \ne e para todo x \ne e em \Sigma_1^*, então h é chamado de homomorfismo e-livre.

Esse tipo de homomorfismo pode ser pensado como (e é equivalente a) um homomorfismo monóide onde \Sigma^{*} o conjunto de todas as palavras ao longo de um alfabeto finito \Sigma é uma monóide (de fato é a monóide livre \Sigma) com operação de concatenação e a palavra vazia como a identificar

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Exercise 4 in section I.5, in Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, ISBN 0-387-90036-5
  2. Seymour Ginsburg, Algebraic and automata theoretic properties of formal languages, North-Holland, 1975, ISBN 0-7204-2506-9.
  3. T. Harju, J. Karhumӓki, Morfismos em Handbook of Formal Languages, Volume I, editado by G. Rozenberg, A. Salomaa, Springer, 1997, ISBN 3-540-61486-9.
  4. Em homomorfismos na linguagem formal, o * operação é a fecho de kleene operação. O \cdot e \circ são ambas concatenações, geralmente denotadas por justaposição.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]