Produto de matrizes

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
NoFonti.svg
Este artigo ou se(c)ção cita fontes confiáveis e independentes, mas que não cobrem todo o conteúdo (desde novembro de 2011). Por favor, adicione mais referências e insira-as corretamente no texto ou no rodapé. Material sem fontes poderá ser removido.
Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico)

Em matemática, o produto de duas matrizes é definido somente quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. Se A é uma matriz m-por-n e B é uma matriz n-por-p, então seu produto é uma matriz m-por-p definida como AB (ou por A · B). O produto é dado por

 (AB)_{ij} = \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj}.

para cada par i e j com 1 ≤ im e 1 ≤ jp.

Calculando directamente a partir da definição[editar | editar código-fonte]

Matrix multiplication diagram.PNG

A figura à esquerda mostra como calcular o elemento (1,2) e o elemento (3,3) de AB se A é uma matriz 4×2, e B é uma matriz 2×3. Elementos de cada matriz são postos par a par na direcção das setas; cada par é multiplicado e os produtos são somados. A posição do número resultante em AB corresponde ao da seta e coluna que foi considerada.

(AB)_{1,2} = \sum_{r=1}^2 a_{1,r}b_{r,2} = a_{1,1}b_{1,2}+a_{1,2}b_{2,2}
(AB)_{3,3} = \sum_{r=1}^2 a_{3,r}b_{r,3} = a_{3,1}b_{1,3}+a_{3,2}b_{2,3}

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Multiplicação de matrizes não é em geral comutativa, ou seja, ABBA(exceto em casos especiais). Eis um exemplo:
\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 2
\end{array}\right]
\cdot
\left[\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right] =
\left[\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
2 & 0
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right]
\cdot
\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 2
\end{array}\right] =
\left[\begin{array}{cc}
0 & 2 \\
1 & 0
\end{array}\right]
  • Embora multiplicação de matrizes não seja comutativa, os determinantes de AB e BA são sempre iguais (se A e B são matrizes quadradas de dimensões iguais). Veja o artigo sobre determinantes para esclarecimento.
  • O produto é associativo, ou seja:
\left(AB\right)C=A\left(BC\right)\,
  • O produto distribui sob a soma:
\left(A+B\right)C=AC+BC\,
C\left(A+B\right)=CA+CB\,

Definições importantes de matrizes derivadas das propriedades da multiplicação[editar | editar código-fonte]

  • Uma matriz A é inversível se tiver uma inversa A^{-1} de tal maneira que sua multiplicação resulte na matriz identidade, ou seja, A*A^{-1}=I_n

Algoritmos para a multiplicar matrizes eficientemente[editar | editar código-fonte]

Problemas não resolvidos em ciência da computação
Qual é o algoritmo mais rápido para a multiplicação de matrizes?

O tempo de execução da multiplicação de matrizes quadradas, se efetuada de forma intuitiva, é O( n^3 ). O tempo de execução para a multiplicação de matrizes retangulares (uma matriz m×p e outra p×n) é O(mnp), no entanto, existem algoritmos mais eficientes, tais como o algoritmo de Strassen, concebido por Volker Strassen em 1969, e chamado frequentemente de "multiplicação rápida de matrizes". Ele baseia-se em uma forma de multiplicar matrizes 2×2 que exige apenas 7 multiplicações (em vez das 8 usuais), em troca de fazer algumas oprerações de adição e subtração. A aplicação recursiva desse método produz um algoritmo cujo custo multiplicativo é O( n^{\log_{2}7}) \approx O(n^{2.807}). O algoritmo de Strassen é mais complexo se comparado com o algoritmo intuitivo, e ele carece de estabilidade numérica. Mesmo assim, está disponível em diversas bibliotecas, tais como BLAS, em que sua eficiência é significativamente maior para matrizes de dimensão n > 100,[1] e é muito útil para matrizes grandes sobre domínios exatos tais como corpos finitos, em que a estabilidade numérica não é um problema.

Notas e referências

  1. Press 2007, p. 108.

Referências[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]


Ícone de esboço Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.