Produto de matrizes

Em matemática, o produto de duas matrizes é definido somente quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. Se A é uma matriz m-por-n e B é uma matriz n-por-p, então seu produto é uma matriz m-por-p definida como AB (ou por A · B). O produto é dado por

$(AB)_{ij} = \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj}.$

para cada par i e j com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ p.

Calculando directamente a partir da definição

A figura à esquerda mostra como calcular o elemento (1,2) e o elemento (3,3) de AB se A é uma matriz 4×2, e B é uma matriz 2×3. Elementos de cada matriz são postos par a par na direcção das setas; cada par é multiplicado e os produtos são somados. A posição do número resultante em AB corresponde ao da seta e coluna que foi considerada.

$(AB)_{1,2} = \sum_{r=1}^2 a_{1,r}b_{r,2} = a_{1,1}b_{1,2}+a_{1,2}b_{2,2}$

$(AB)_{3,3} = \sum_{r=1}^2 a_{3,r}b_{r,3} = a_{3,1}b_{1,3}+a_{3,2}b_{2,3}$

Propriedades

• Multiplicação de matrizes não é em geral comutativa, ou seja, AB ≠ BA(exceto em casos especiais). Eis um exemplo:

$\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{array}\right]$

• Embora multiplicação de matrizes não seja comutativa, os determinantes de AB e BA são sempre iguais (se A e B são matrizes quadradas de dimensões iguais). Veja o artigo sobre determinantes para esclarecimento.
• O produto é associativo, ou seja:

$\left(AB\right)C=A\left(BC\right)\,$

• O produto distribui sob a soma:

$\left(A+B\right)C=AC+BC\,$

$C\left(A+B\right)=CA+CB\,$

• Propriedade de matrizes transpostas: $\left (AB \right )^T = B^TA^T$.

Definições importantes de matrizes derivadas das propriedades da multiplicação

• Uma matriz A é inversível se tiver uma inversa $A^{-1}$ de tal maneira que sua multiplicação resulte na matriz identidade, ou seja, $A*A^{-1}=I_n$

Algoritmos para a multiplicar matrizes eficientemente

Problemas não resolvidos em ciência da computação

Qual é o algoritmo mais rápido para a multiplicação de matrizes?

O tempo de execução da multiplicação de matrizes quadradas, se efetuada de forma intuitiva, é $O( n^3 )$. O tempo de execução para a multiplicação de matrizes retangulares (uma matriz m×p e outra p×n) é O(mnp), no entanto, existem algoritmos mais eficientes, tais como o algoritmo de Strassen, concebido por Volker Strassen em 1969, e chamado frequentemente de "multiplicação rápida de matrizes". Ele baseia-se em uma forma de multiplicar matrizes 2×2 que exige apenas 7 multiplicações (em vez das 8 usuais), em troca de fazer algumas oprerações de adição e subtração. A aplicação recursiva desse método produz um algoritmo cujo custo multiplicativo é $O( n^{\log_{2}7}) \approx O(n^{2.807})$. O algoritmo de Strassen é mais complexo se comparado com o algoritmo intuitivo, e ele carece de estabilidade numérica. Mesmo assim, está disponível em diversas bibliotecas, tais como BLAS, em que sua eficiência é significativamente maior para matrizes de dimensão n > 100, e é muito útil para matrizes grandes sobre domínios exatos tais como corpos finitos, em que a estabilidade numérica não é um problema.

Referências

• Press, William H.; Flannery, Brian P.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. (2007), Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8 .

Ligações externas

• Multiplicação de matrizes - implementações em várias linguagens de programação, no Rosetta Code