Sistema de equações lineares

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Um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares aplicadas num mesmo conjunto, igualmente finito, de variáveis[1] .

Deve-se observar que, em primeiro lugar, a equação linear é, necessariamente, uma equação polinomial. Em matemática pura, a teoria de sistemas lineares é um ramo da álgebra linear. Também na matemática aplicada, podemos encontrar vários usos dos sistemas lineares. Exemplos são a física, a economia, a engenharia, a biologia, a geografia, a navegação, a aviação, a cartografia, a demografia, a astronomia[2] .

Algoritmos computacionais para achar soluções são hoje uma parte importante da álgebra linear aplicada. Tais métodos têm uma grande importância para tornar mais eficientes e rápidas as soluções dos sistemas[3] .

O sistema linear também pode ser conceituado como um sistema de equações do primeiro grau, ou seja, um sistema no qual as equações possuem apenas polinômios em que cada parcela tem apenas uma incógnita. Em outras palavras, num sistema linear, não há potência diferente de um ou zero tampouco pode haver multiplicação entre incógnitas.

Em contraponto aos sistemas lineares, há os sistemas não lineares, que são simplesmente sistemas de equações que não cumprem os requisitos para a linearindade. Um sistema de equações não-lineares pode ser resolvido, dentre outras técnicas, por aproximação para um sistema linear, uma técnica útil quando se usa a solução computadorizada. Para tal aproximação, se usa a teoria das sequências.

Conceito[editar | editar código-fonte]

O sistema linear está ligado de certo modo à álgebra linear e o entendimento mais profundo dos sistemas é dependente do domínio desta matéria[4] .

Sendo assim, é importante o entendimento dos espaços vetoriais, dos isomorfismos, das transformações lineares, da interpolação de Lagrange, da decomposição de um polinômio em fatores primos, de anéis comutativos, do teorema da decomposição primária, da forma de Jordan e das formas bilineares.

Um sistema linear, partindo da premissa de que tem resultado existente e determinado e não há dependência entre as equações, deve ter o mesmo número de equações e de incógnitas. O número de variáveis (incógnitas) também é chamado de quantidade de dimensões do problema. O número de dimensões está relacionado ao espaço vetorial. Por outro lado, os números que são subsumidos às incógnitas das equações podem ser de vários universos. Em geral, se resolvem sistemas para números reais, mas também existem sistemas para números complexos e ainda para outros tipos de números. Assim, para n dimensões no conjunto dos números reais, diz-se que se trabalha no conjunto n.

Para que o resultado de um sistema seja existente e determinado, não pode haver redundância, o que é chamado também dependência entre as matrizes que representam as equações.

Histórico[editar | editar código-fonte]

A história dos sistemas de equações lineares começa no oriente. Em 1683, num trabalho do japonês Seki Kowa, surge a ideia de determinante[5] (como polinômio que se associa a um quadrado de números).

O uso de determinantes no Ocidente começou dez anos depois num trabalho de Leibniz, ligado também a sistemas lineares.

A conhecida regra de Cramer é na verdade uma descoberta do escocês Colin Maclaurin (1698-1746), datando provavelmente de 1729, embora só publicada postumamente em 1748 no seu Treatise of algebra.

O suíço Gabriel Cramer (1704-1752) não aparece nesse episódio de maneira totalmente gratuita. Cramer também chegou à regra independentemente.

O francês Étienne Bézout (1730-1783), autor de textos matemáticos de sucesso em seu tempo, tratou do assunto, sendo complementado posteriormente por Laplace, em Pesquisas sobre o cálculo integral e o sistema do mundo.

O termo determinante, com o sentido atual, surgiu em 1812 num trabalho de Cauchy sobre o assunto. Neste artigo, apresentado à Academia de Ciências, sugeriu a notação que hoje é aceita como convenção.

Já o alemão Jacobi fez a leitura dessa teoria da forma como atualmente se estuda.

Técnicas de resolução[editar | editar código-fonte]

Existem vários métodos equivalentes de resolução de sistemas.

Método da substituição[editar | editar código-fonte]

O método da substituição consiste em isolar uma incógnita em qualquer uma das equações, obtendo igualdade com um polinômio. Então deve-se substituir essa mesma incógnita em outra das equações pelo polinômio ao qual ela foi igualada.

Método da comparação[editar | editar código-fonte]

Consiste em compararmos as duas equações do sistema, após termos isolado a mesma variável (x ou y) nas duas equações. e as equações ficam mais detalhadas.

Fatorizações de matrizes[editar | editar código-fonte]

Os métodos mais utilizados computacionalmente para resolver sistemas lineares envolvem fatorizações de matrizes. O mais conhecido, a eliminação de Gauss, origina a fatoração LU. Resolver o sistema Ax=b é equivalente a resolver os sistemas mais simples Ly=b e Ux=6.

Regra de Cramer[editar | editar código-fonte]

A Regra de Cramer é uma fórmula explícita para a solução de um sistema de equações lineares, com cada variável dada por um quociente de dois determinantes. Por exemplo, a solução para o sistema

\begin{alignat}{7}
 x &\; + &\; 3y &\; - &\; 2z &\; = &\; 5 \\
3x &\; + &\; 5y &\; + &\; 6z &\; = &\; 7 \\
2x &\; + &\; 4y &\; + &\; 3z &\; = &\; 8 
\end{alignat}

é dada pela


x=\frac
{\,\left| \begin{matrix}5&3&-2\\7&5&6\\8&4&3\end{matrix} \right|\,}
{\,\left| \begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix} \right|\,}
,\;\;\;\;y=\frac
{\,\left| \begin{matrix}1&5&-2\\3&7&6\\2&8&3\end{matrix} \right|\,}
{\,\left| \begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix} \right|\,}
,\;\;\;\;z=\frac
{\,\left| \begin{matrix}1&3&5\\3&5&7\\2&4&8\end{matrix} \right|\,}
{\,\left| \begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix} \right|\,}.

Para cada variável, o denominador é a determinante da matriz de coeficientes, enquanto o numerador é o determinante de uma matriz na qual cada coluna foi substituída pelo vetor de termos constantes.

Embora a regra de Cramer é importante teoricamente, tem pouco valor prático para grandes matrizes, uma vez que o cálculo de grandes determinantes é um pouco complicado. (Na verdade, grandes determinantes são mais facilmente calculados usando a Eliminação de Gauss.)

Além disso, a regra de Cramer tem pobres propriedades numéricas, tornando-a inadequada para resolver até mesmo pequenos sistemas de forma confiável, a menos que as operações forem executadas em aritmética racional com precisão ilimitada.

Sistemas Lineares[editar | editar código-fonte]

As equações do oscilador linear são um exemplo de um sistema dinâmico linear. Um sistema linear de segunda ordem, é um sistema com duas variáveis de estado, x e y, com derivadas que são combinações lineares dessas duas variáveis[6]


  {\left\{
    \begin{array}{l}
      \dot{x} = a\,x + b\,y\\
      \dot{y} = c\,x + d\,y
    \end{array}
  \right.}

onde a, b, c e d são constantes

Uma forma mais geral de um sistema linear, com variáveis u e v é:


  \left\{
    \begin{array}{l}
      \dot{u} = a\,u + b\,v + e\\
      \dot{v} = c\,u + d\,v + f
    \end{array}
  \right.

mas com a substituição de variáveis u=x-h, v=y-k, o sistema reduz-se ao sistema se as variáveis h e k

forem solução das equações:


  \left\{
    \begin{array}{l}
      a\,h + b\,k = e\\
      c\,h + d\,k = f
    \end{array}
  \right.

O sistema pode ser escrito como uma única equação matricial:

{\dot{\mathbf{X}} = \mathbf{A}\mathbf{X}}

onde \mathbf{X} representa as coordenadas de um vetor no plano xy, escritas em forma de coluna:

\mathbf{X} = \left[\begin{array}{r}x \\ y\end{array}\right]

e \mathbf{A} é a matriz do sistema

\mathbf{A} = \left[\begin{array}{rr}a&b \\ c&d\end{array}\right]

Num instante qualquer, o estado do sistema é representado por um vetor \mathbf{X} que define a posição de um ponto no espaço de fase. Nesse instante o produto \mathbf{A}\mathbf{X} é outro vetor (representado como matriz com uma coluna e duas linhas) que define a velocidade de fase nesse ponto.

Pontos fixos[editar | editar código-fonte]

Os pontos fixos do sistema linear são os pontos onde todas as derivadas são nulas. Assim, os pontos fixos serão as soluções do sistema de equações lineares homogêneas [6]

\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{0}

aplicando a regra de Cramer, concluímos que se o determinante da matriz \mathbf{A} for diferente de zero, existirá um único ponto fixo, na origem.

Se o determinante da matriz \mathbf{A} for nulo, dizemos que a matriz é singular, e nesse caso existirão infinitos pontos fixos, todos sobre uma reta que passa pela origem. [6]

Vetores e valores próprios[editar | editar código-fonte]

Um vetor próprio da matriz \mathbf{A} é um vetor \mathbf{v} (matriz com uma coluna e duas linhas), diferente de zero, que verifica a seguinte propriedade [6]

\mathbf{A}\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}

onde \lambda é uma constante, designada de valor próprio.

A interpretação geométrica da equação acima é que o produto \mathbf{A}\mathbf{v} transforma o vetor \mathbf{v} em outro vetor que está na mesma direção do vetor \mathbf{v}.

Isso implica que se o estado inicial do sistema linear for igual a um vetor próprio da matriz \mathbf{A}, a velocidade de fase será paralela ao estado. [6]

O estado evoluirá afastando-se ou aproximando-se da origem em linha recta, dependendo se o sinal do valor próprio for positivo ou negativo. [6]

Se k for uma constante qualquer, verifica-se que:

\mathbf{A}(k\,\mathbf{v}) = k\,\mathbf{A}\mathbf{v}

e se \mathbf{v} for um vetor próprio, correspondente ao valor próprio \lambda, usando a equação do valor próprio obtém-se

\mathbf{A}(k\,\mathbf{v}) = \lambda(k\,\mathbf{v})

isso indica que qualquer vetor na mesma direção de um vetor próprio \mathbf{v} também é vetor próprio, correspondente ao mesmo valor próprio \lambda.

Outra propriedade fácil de demonstrar é que dois vetores próprios, correspondentes a dois valores próprios diferentes, serão linearmente independentes.

Como no espaço a duas dimensões xy um conjunto de vetores linearmente independentes só pode conter, no máximo, dois vetores, a matriz \mathbf{A} só pode ter, no máximo, dois valores próprios diferentes.

Para encontrar os vetores e valores próprios, procuramos as componentes x e y dum vetor \mathbf{v} que verifiquem a equação do valor próprio; equação essa que pode ser rescrita na forma


  \mathbf{A}\,\left[\begin{array}{r}x \\ y\end{array}\right]
- \lambda\,\mathbf{I}\,\left[\begin{array}{r}x \\ y\end{array}\right]

= \left[\begin{array}{r}0 \\ 0\end{array}\right]

onde \mathbf{I} é a matriz identidade (com 1 na diagonal e 0 zero fora da diagonal).

A equação anterior pode ainda ser escrita como um sistema linear de equações:


  (\mathbf{A} - \lambda\,\mathbf{I})\,
   \left[\begin{array}{r}x \\ y\end{array}\right]
   = \left[\begin{array}{r}0 \\ 0\end{array}\right]

trata-se de um sistema linear homogêneo, que poderá ter, ou uma única solução, x=y=0, o um número infinito de soluções, com x\neq 0, y\neq 0. Este segundo caso só acontece quando o determinante da matriz entre parêntesis for igual a zero.

Resumindo, para encontrar os valores próprios da matriz \mathbf{A} constrói-se o determinante

|\mathbf{A} - \lambda\,\mathbf{I}|

e encontram-se os valores de \lambda que fazem com que esse determinante seja nulo. [6]

Valores próprios reais[editar | editar código-fonte]

Se as raízes da equação característica forem dois números reais diferentes, \lambda_1 e \lambda_2, existem dois valores próprios diferentes, e é possível encontrar dois vetores próprios, linearmente independentes, \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 correspondentes a esses dois valores próprios. [6]

Esses dois vetores linearmente independentes constituem uma base do espaço xy. [6]

Nomeadamente, para qualquer vetor \mathbf{X} no plano de fase, existem duas constantes u e s, tal que:

\mathbf{X} = u\,\mathbf{v}_1 + s\,\mathbf{v}_2

O sistema de evolução conduz a:


  \dot{\mathbf{X}} = \dot{u}\,\mathbf{v}_1 + \dot{s}\,\mathbf{v}_2
  = \mathbf{A}(u\,\mathbf{v}_1 + s\,\mathbf{v}_2)
  = \lambda_1\,u\,\mathbf{v}_1 + \lambda_2\,s\,\mathbf{v}_2

que implica


  \left\{
    \begin{array}{l}
      \dot{u} = \lambda_1\, u\\
      \dot{s} = \lambda_2\, s
    \end{array}
  \right.

Assim, o sistema linear original, foi substituído por um outro sistema linear mais simples. A grande vantagem do sistema apresentado acima é que cada equação é independente da outra, e podem ser resolvidas separadamente. Isto é, em vez de um sistema linear de segunda ordem, temos realmente dois sistemas lineares, independentes, de primeira ordem. [6]

É fácil ver que a solução do sistema acima é


  \left\{
    \begin{array}{l}
      u = u_0\, e^{\lambda_1 t}\\
      s = s_0\, e^{\lambda_2 t}
    \end{array}
  \right.

onde u_0 e s_0 são os valores de u e s num instante inicial t=0.

As variáveis u e s representam as coordenadas do vetor de estado, num sistema de coordenadas em que os vetores próprios definem a direção dos eixos coordenados. Nesse novo sistema de coordenadas a matriz \mathbf{A} transforma-se numa matriz diagonal:


  \mathbf{A} \rightarrow \left[
    \begin{array}{rr}
      \lambda_1&0 \\
      0&\lambda_2
    \end{array}
  \right]

Na direção do vetor próprio \mathbf{v}_1, o estado do sistema aproxima-se da origem, em linha recta, se \lambda_1 for negativo, ou afasta-se da origem, em linha recta, se \lambda_1 for positivo. Algo semelhante acontece na direção de \mathbf{v}_2, de acordo com o sinal de \lambda_2. [6]

Assim, o único ponto fixo, na origem, poderá ser um,

  • nó repulsivo (instável): Se os dois valores próprios forem reais e positivos, \lambda_1 >0, \lambda_2 >0. As trajetórias no espaço de fase saem da origem.
  • nó atrativo (estável): Se os valores próprios forem reais e negativos, \lambda_1 <0, \lambda_2 <0. As trajetórias no espaço de fase acabam todas na origem.
  • ponto de sela (instável): Se os valores próprios forem reais, mas com sinais opostos. \lambda_1 <0, \lambda_2 >0 (ou ao contrário). As trajetórias no espaço de fase são hipérboles com centro na origem.

Raízes complexas[editar | editar código-fonte]

Se as raízes da equação característica forem complexas, não existem valores nem vectores próprios da matriz \mathbf{A}, pois estamos a trabalhar com matrizes de números reais. [6]

Nesses casos, existem necessariamente duas raízes complexas da equação característica, que são os dois números complexos conjugados

\lambda = \alpha \pm i\,\beta

onde \alpha e \beta são números reais. [6]

Nesse caso, não existe nenhum ponto no espaço de fase em que o estado do sistema se aproxime ou se afaste em linha recta do ponto fixo na origem. Não existe nenhuma transformação de coordenadas que transforme a matriz \mathbf{A} numa matriz diagonal. No entanto, podemos fazer uma mudança para um novo sistema de coordenadas u e s, que transforma a matriz numa forma mais simples, designada de forma canônica:


  \mathbf{A} \rightarrow
  \left[\begin{array}{rr}\alpha&\beta \\ -\beta&\alpha\end{array}\right]

Se introduzirmos coordenadas polares (r, \theta), definidas por

u = r\cos\theta \qquad s = r\mathrm{sen}\,\theta

as derivadas das variáveis de estado deverão ser substituidas por


\begin{align}
  \dot{u} &=& \dot{r}\cos\theta - r\dot{\theta}\mathrm{sen}\,\theta\\
  \dot{s} &=& \dot{r}\mathrm{sen}\,\theta + r\dot{\theta}\cos\theta
\end{align}

e o sistema fica numa forma muito simples

\dot{r} = \alpha r \qquad \dot{\theta} = -\beta

É fácil ver que a solução geral do sistema acima é

r = C_1\,e^{\alpha t} \qquad \theta = C_2 - \beta t

onde C_1 e C_2 são duas constantes.

Assim, no espaço de fase o estado do sistema roda à volta da origem, enquanto a distância até a origem aumenta, se \alpha for positiva, ou diminui, se \alpha for negativa, ou permanece constante, se \alpha for nula. Em função das coordenadas iniciais, antes de passar a matriz para a forma canônica, as trajetórias no espaço de fase serão espirais ou elipses com centro na origem. [6]

O ponto fixo na origem pode ser classificado em alguma das categorias seguintes:

  • foco atrativo (estável), se \alpha for negativa. As trajetórias de fase são espirais que se aproximam da origem.
  • foco repulsivo (instável), se \alpha for positiva. As trajetórias de fase são espirais que saem da origem.
  • centro (estável), se \alpha for nula; isto é, se os valores próprios forem imaginários puros. As trajetórias no espaço de fase serão elipses com centro na origem.

Classificação dos sistemas de segunda ordem[editar | editar código-fonte]

A equação que define os valores e vectores próprios da matriz do sistema é [6]


\left[\begin{array}{rr}a&b \\ c&d\end{array}\right]\left[\begin{array}{r}x \\ y\end{array}\right] = \lambda\left[\begin{array}{r}x \\ y\end{array}\right]

que é equivalente ao sistema homogêneo:


\left[\begin{array}{cc}a-\lambda &b \\ c&d-\lambda\end{array}\right]\left[\begin{array}{r}x \\ y\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}0 \\ 0\end{array}\right]

existem vectores próprios unicamente se o determinante for nulo:

\left|\begin{array}{cc}a-\lambda &b \\ c&d-\lambda\end{array}\right| = \lambda^2 - (a+d) \lambda + ad - bc = 0

As duas raízes desse polinómio característico são os valores próprios:

\lambda = \alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - D}

onde \alpha é Dsão, respectivamente, metade do traço e o determinante da matriz do sistema:

\alpha = \frac{a + d}{2} \qquad D = ad - bc

Se o determinante D for negativo, existirão dois valores próprios reais, com sinais diferentes. Assim, a origem é um ponto de sela.

Se o determinante for positivo, mas menor que \alpha^2, os dois valores próprios serão reais, diferentes, mas com o mesmo sinal. A origem será um nó. Se \alpha for positivo, o nó será repulsivo (instável). Se \alpha for negativo, o nó será atrativo (estável).

Finalmente, se o determinante D for positivo, e maior do que \alpha^2, os valores próprios serão complexos.

A origem será um um centro, se \alpha for nulo, um foco estável se \alpha for negativo, ou um foco instável, se \alpha for positivo.

Os resultados anteriores podem ser resumidos na gráfico da figura acima, onde a abcissa representa o traço da matriz, dividido por 2, e a ordenada representa o determinante da matriz. O eixo horizontal delimita os sistemas onde a origem é um ponto de sela dos restantes sistemas. No semiplano superior, a parábola D=\alpha^2 separa os sistemas com um foco ou um nó na origem, dos sistemas com um nó. O nó ou o foco será estável ao lado esquerdo do eixo vertical, ou instável no lado direito. [6]

Sistemas Lineares Físicos[editar | editar código-fonte]

Equações de evolução[editar | editar código-fonte]

A velocidade de fase de uma partícula que se desloca em uma dimensão tem duas componentes que são as derivada da posição e da componente da velocidade, em função do tempo:


\begin{align}
\dfrac{\mathrm{d}\,x}{\mathrm{d}\,t} &= v_x & \dfrac{\mathrm{d}\,v_x}{\mathrm{d}\,t} &= f(t,x,v_x)
\end{align}

em que f(x,v_x,t) é uma função conhecida, que determina a aceleração para quaisquer valores da posição, velocidade e tempo. Estas duas equações são as equações de evolução, que permitem calcular o estado da partícula, (x, v_x), a partir de um estado inicial. No caso de um sistema autônomo, a função f não depende de t.

As duas equações de evolução surgiram de uma única equação de segunda ordem, a equação de movimento:

\dfrac{\mathrm{d}^2\,x}{\mathrm{d}\,t^2} = f\left(t,x,\dfrac{\mathrm{d}\,x}{\mathrm{d}\,t}\right)

que foi escrita como duas equações de primeira ordem.

Sistemas autônomos gerais[editar | editar código-fonte]

Nos Sistemas dinâmicos mais gerais, as equações de evolução podem ser mais complicadas que as equações.[6] Num sistema dinâmico autônomo, com duas variáveis dinâmicas x_1 e x_2, as equações de evolução têm a forma geral:


\begin{align}
\dfrac{\mathrm{d}\,x_1}{\mathrm{d}\,t} &= f_1(x_1,x_2) & \dfrac{\mathrm{d}\,x_2}{\mathrm{d}\,t} &= f_2(x_1,x_2)
\end{align}

as duas funções f_1 e f_2 definem as componentes da velocidade de fase:

\vec{u} = f_1\,\vec{e}_1 + f_2\,\vec{e}_2

Classificação dos pontos de equilíbrio[editar | editar código-fonte]

A forma geral de um sistema dinâmico linear é:

\dfrac{\mathrm{d}\,\vec{r}}{\mathrm{d}\,t} = \hat{A}\,\vec{r}

em que \vec{r} é a posição do sistema no espaço de fase e \hat{A} é um operador linear.

Num espaço de fase com duas variáveis de estado x_1 e x_2, a representação matricial da equação acima é:


  \left[
    \begin{array}{c}\dot{x_1}\\[4pt] \dot{x_2}\end{array}
  \right] =
  \left[
    \begin{array}{cc}A_{11} & A_{12}\\[4pt] A_{21} & A_{22}\end{array}
  \right]
  \left[
    \begin{array}{c}x_1\\[4pt] x_2\end{array}
  \right]

Se o determinante da matriz \det(\hat{A}) = |A_{ij}|for diferente de zero, existirá um único ponto de equilíbrio, na origem: x_1=x_2=0. [6]

A existência de valores próprios da matriz [A_{ij}] implica existência de direções em que o estado aproxima-se ou afasta-se em linha reta do ponto de equilíbrio.

Os valores próprios da matriz [A_{ij}] são os valores \lambda que verificam a equação \hat{A}\,\vec{r} = \lambda\,\vec{r}.

No espaço de fase com duas variáveis, essa equação conduz a:


\left|\begin{array}{cc}A_{11}-\lambda & A_{12}\\[4pt] A_{21} & A_{22}-\lambda\end{array}
  \right| = 0

Calculando o determinante, obtêm-se a seguinte equação quadrática, designada de equação caraterística:

\lambda^2 - \mathrm{tr}(\hat{A})\,\lambda + \det(\hat{A}) = 0

onde \mathrm{tr}(\hat{A})= A_{11} + A_{22} é o traço da matriz e \det(\hat{A}) = A_{11}A_{22} - A_{12}A_{21} é o determinante.

As duas raízes da equação caraterística são:


  \lambda = \dfrac{\mathrm{tr}(\hat{A})}{2} \pm
  \sqrt{\left[\dfrac{\mathrm{tr}(\hat{A})}{2}\right]^2 - \det(\hat{A})}

Se as raízes forem números complexos, significará que não existem vetores próprios no espaço de fase (x_1$, x_2). Se existir uma única raiz real, existirá pelo menos um vetor próprio no espaço de fase e se existirem duas raízes reais diferentes, existirão dois vetores próprios linearmente independentes no espaço de fase.

Pontos de sela[editar | editar código-fonte]

Quando o determinante \det(\hat{A})for negativo, a expressão:

\left[\dfrac{\mathrm{tr}(\hat{A})}{2}\right]^2 - \det(\hat{A})

Será necessariamente positiva, e

\sqrt{\left[\dfrac{\mathrm{tr}(\hat{A})}{2}\right]^2 - \det(\hat{A})} > \left|\dfrac{\mathrm{tr}(\hat{A})}{2}\right|

isso implica que existem dois valores próprios reais, \lambda_1 e \lambda_2, com sinais diferentes, um deles positivo e o outro negativo.

A esses dois valores próprios correspondem dois vetores próprios linearmente independentes, que definem duas direções no espaço de fase onde o sistema evolui ao longo de uma reta (ver figura abaixo). Na direção correspondente ao valor próprio negativo, o sinal negativo implica que o estado se aproxima da origem. Na direção associada ao valor próprio positivo, o sinal positivo implica que o estado se afasta da origem.[6]

Ponto de sela: existem duas direções em que o estado evolui em linha reta,num dos casos afastando-se da origem e no outro caso aproximando-se.

As outras órbitas do sistema serão todas curvas que se aproximam da origem durante algum tempo, mas acabam sempre por se afastar até o infinito. A denominação desse tipo de ponto de equilíbrio é ponto de sela. Trata-se de pontos de equilíbrio instáveis.[6]

Nós estáveis e instáveis[editar | editar código-fonte]

Quando o determinante \det(\hat{A})for positivo, mas menor que:

\left[\dfrac{\mathrm{tr}(\hat{A})}{2}\right]^2

Existirão ainda duas soluções reais da equação das duas raízes da equação caraterística , ambas com o mesmo sinal de \mathrm{tr}(\hat{A}).

Quando existem dois valores próprios reais, diferentes, com o mesmo sinal, o ponto de equilíbrio é um nó, estável (esquerda) ou instável (direita).

Se os dois valores próprios forem negativos, existirão duas direções no espaço de fase em que o estado se aproxima do ponto de equilíbrio (lado esquerdo da figura); devido à continuidade das órbitas do sistema, qualquer outra órbita será uma curva que se aproxima do ponto de equilíbrio. A denominação do ponto de equilíbrio é nó estável, ou atrativo.

Se os dois valores próprios forem positivos, existirão duas direções no espaço de fase em que o estado se afasta do ponto de equilíbrio. Qualquer que for o estado inicial, o sistema sempre se afastará do ponto de equilíbrio (lado direito da figura ao lado). A denominação do ponto é nó instável , ou repulsivo (lado direito da figura).

Focos e centros[editar | editar código-fonte]

Quando o determinante \det(\hat{A}) for maior que:

\left[\dfrac{\mathrm{tr}(\hat{A})}{2}\right]^2

não existirão soluções reais da equação característica. Isso quer dizer que o estado do sistema nunca evoluirá em linha reta. Qualquer órbita do sistema será uma curva.

Quando os valores próprios são complexos, o ponto de equilíbrio é um foco,estável (esquerda) ou instável (direita).

O sinal da parte real das soluções complexas da equação característica determina se as órbitas se aproximam ou afastam do ponto de equilíbrio. Se a parte real das raízes for negativa (matriz com traço negativo), as órbitas do sistema serão espirais que se aproximam do ponto de equilíbrio (lado esquerdo da figura ao lado) e o ponto de equilíbrio é designado de foco estável, ou atrativo.[6]

Se a parte real das raízes for positiva (matriz com traço positivo), as órbitas do sistema afastam-se do ponto de equilíbrio, formando espirais (lado direito da figura ao lado) e o ponto de equilíbrio é designado de foco instável, ou repulsivo.

Se o traço da matriz for nulo, as soluções da equação característica são dois números imaginários puros, com a mesma parte imaginária mas com sinais opostos. Nesse caso todas as órbitas do sistema são ciclos e o ponto de equilíbrio, estável, designa-se por centro.[6]

A figura a seguir apresenta um sumário dos diferentes tipos de ponto de equilíbrio, em função do traço e o determinante da matriz do sistema.

Tipos de ponto de equilíbrio de um sistema linear com duas variáveis de estado.

Nós próprios e impróprios[editar | editar código-fonte]

Quando o determinante da matriz é exatamente igual ao seu traço ao quadrado, dividido por quatro (pontos na parábola na figura ao lado), existe unicamente um valor próprio real.

Essa situação conduz a dois tipos diferentes de ponto de equilíbrio. Se a matriz for diagonal, os valores na sua diagonal serão necessariamente iguais ao valor próprio e qualquer vetor do espaço de fase é vetor próprio da matriz. Isso implica que todas as órbitas do sistema serão retas que se afastam da origem, se o valor próprio for positivo (ver lado esquerdo na figura ao lado), ou que se aproximam da origem, se o valor próprio for negativo. O ponto de equilíbrio designa-se nó próprio}, estável ou instável, dependendo do sinal do valor próprio.[6]

Retratos de fase de um nó próprio instável (esquerda) e de um nó impróprio estável (direita).

A segunda situação possível, se a matriz não for diagonal, é a existência de um único vetor próprio e o ponto de equilíbrio é designado de nó impróprio. Existe unicamente uma direção no espaço de fase em que o estado evolui em linha reta; todas as outras órbitas do sistema acumulam-se nessa direção. Se o valor próprio for negativo, o nó impróprio é estável (lado direito na figura ao lado) e se o valor próprio for positivo será um nó impróprio instável.

Uma forma conveniente de identificar o tipo de equilíbrio num sistema linear é a seguinte: se a matriz for diagonal, os números na diagonal são os valores próprios. Se os dois valores próprios na diagonal forem iguais, o ponto será um nó próprio, repulsivo se o valor próprio for positivo, ou atrativo se o valor próprio for negativo; nesse caso qualquer vetor no plano de fase é vetor próprio.[6]

Osciladores lineares[editar | editar código-fonte]

Esfera suspensa por uma mola vertical.

A figura ao lado mostra uma mola numa posição vertical com um extremo fixo. Quando uma esfera de massa m é pendurada no outro extremo, a mola estica-se uma distância d, ficando numa posição de equilíbrio onde o peso da esfera é igual e oposto à força exercida pela mola. [6]

Como a força exercida pela mola é proporcional à elongação da mola,

mg = kd

onde k é a constante elástica da mola. Assim, a distância d é igual a mg/k. Se y representa a posição do extremo livre da mola, com origem na posição de equilíbrio, sendo medida no sentido que se indica na figura , a elongação da mola será (d - y). [6] A força resultante do peso e da força da mola é

{F_r = k(d - y) - mg = -ky}

como se mostra no gráfico.

A aceleração da esfera, \ddot{y}, obtem-se a partir da segunda lei de Newton, utilizando a equação para a força resultante,

\ddot{y} = -\frac{k}{m} y

Para que fique explícito o fato de que as duas constantes k e m são positivas, podemos escrever a equação na forma

{\ddot{y} = -\omega^2 y}

onde

{\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\;}.

O espaço de fase é formado pela posição y e a velocidade v=\dot{y}. No entanto, para usar as mesmas unidades nos dois eixos do espaço de fase, vamos definir uma variável proporcional à velocidade, mas com unidades de distância: x = v/\omega. Em função das variáveis de estado x e y, o sistema autônomo de primeira ordem, equivalente à equação


  \left\{
    \begin{array}{l}
      \dot{x} = -\omega\,y\\
      \dot{y} = \omega\,x
     \end{array}
   \right.

Num ponto do espaço de fase com vetor posição

\vec{r} = x\,\hat{e}_x + y\,\hat{e}_y

a velocidade de fase é igual a,

\vec{u} = -\omega\,y\,\hat{e}_x + \omega\,x\,\hat{e}_y

portanto, a velocidade de fase é sempre perpendicular ao vetor posição, e terá módulo igual a

|\vec{u}| = r\,\omega

onde ré a distância até à origem. Assim, concluímos que a evolução do estado, no espaço de fase, descreve um movimento circular uniforme, com velocidade angular igual a \omega (ver figura acima). Nomeadamente,


\begin{align}
  x &=& A\,\cos(\omega\,t + \varphi_0)\\
  y &=& A\,\mathrm{sen}\,(\omega\,t + \varphi_0)
\end{align}

onde A é a distância entre o estado e a origem do espaço de fase, e \varphi_0 é o ângulo entre a posição inicial, no espaço de fase, e o semieixo positivo dos x.

Evolução do oscilador harmônico simples, no espaço de fase e no domínio do tempo.

A velocidade v do oscilador é igual a \omega\,x; isto é

v = \omega\,A\,\cos(\omega\,t + \varphi_0)

As funções obtidas para o deslocamento y(t) e a velocidade v(t) correspondem a um movimento harmônico simples com amplitude A, frequência angular \omega e constante de fase \varphi_0.

A figura ao lado mostra a evolução de y e x=v/\omega e a trajetória do sistema no espaço de fase.

A amplitude e a constante de fase dependem das condições iniciais do problema; isto é, do ponto onde se encontrar o estado inicial no espaço de fase. [6]

Para uma constante \omega qualquer, é fácil ver que a função y(t) completa uma oscilação completa quando \omega t aumentar em 2\pi, e o valor máximo de v será \omega\,A.

Assim, o período P, que é o tempo que o oscilador demora a completar uma oscilação, verifica a equação

P= \frac{2\pi}{\omega}

A frequência angular \omega tem unidades de inverso do tempo, e é definida pela equação

A equação da trajetória no espaço de fase é a equação do círculo com raio igual a A

x^2 + y^2 = A^2

Substituindo x=v/\omegae a definição de \omega obtemos a equação da conservação da energia mecânica:

\frac{1}{2}m v^2 + \frac{1}{2}k y^2  = \frac{1}{2}k A^2

Osciladores amortecidos[editar | editar código-fonte]

O oscilador harmônico simples é um sistema idealizado, pois na prática existem forças dissipativas. Um exemplo é o sistema de amortecimento de um automóvel (figura ao lado). Cada roda está ligada à carroçaria por meio de uma mola elástica; no interior de cada mola há um cilindro (amortecedor) com um pistão que se desloca dentro de óleo.[6]

Representação de um Amortecedor

Se y for a altura do ponto da carroçaria onde está apoiado o amortecedor, medida desde a posição de equilíbrio y = 0, a força vertical resultante sobre a carroçaria é:

F_y = - k\,y  - C\,v

em que k e C são constantes positivas; k é a constante elástica da mola e C depende do tamanho do pistão e do coeficiente de viscosidade do óleo dentro do amortecedor.

Essa força conduz ao seguinte sistema linear:


  \left[
    \begin{array}{c}\dot{y}\\[4pt] \dot{v_y}\end{array}
  \right] =
  \left[
    \begin{array}{cc}0 & 1\\[4pt] -\Omega^2 & -\alpha^2\end{array}
  \right]
  \left[
    \begin{array}{c}y\\[4pt] v_y\end{array}
  \right]

onde \Omega é a frequência angular, \sqrt{k/m}, e \alpha é igual a

\sqrt{C/m}.

O traço da matriz do sistema é -\alpha^2, negativo, e o determinante é \Omega^2, positivo. Portanto, o sistema estará em alguma região do segundo quadrante na figura Tipos de ponto de equilíbrio.

Isso implica que o sistema será sempre estável e acabará sempre por ficar em repouso com y=0 e v_y=0.

No entanto, a forma como o sistema se aproximará do ponto de equilíbrio dependerá do tipo de ponto de equilíbrio. Se o amortecimento for fraco,

\alpha^4 < 4\,\Omega^2

os valores próprios serão complexos e estaremos na região dos focos estáveis na figura Tipos de ponto de equilíbrio. A evolução de y em função do tempo será um movimento oscilatório com amplitude decrescente, como se mostra na figura abaixo.

Variação da altura y em função do tempo, para os três tipos de amortecimento.

No caso em que:

\alpha^4 = 4\,\Omega^2

diz-se que há amortecimento crítico. Nesse caso existe um único valor próprio real. Como a matriz não é diagonal, o ponto de equilíbrio é um nó impróprio estável. A evolução de y em função de t é apresentada na figura acima.

Finalmente, no caso de amortecimento forte,

\alpha^4 > 4\,\Omega^2

existem dois valores próprios diferentes e negativos. O ponto de equilíbrio é um nó estável e y aproxima-se mais rapidamente do ponto de equilíbrio (figura acima).

O sistema de suspensão deverá garantir que não existam oscilações, que tornariam o automóvel muito instável. Assim, o amortecimento deverá ser suficientemente forte para que o ponto de equilíbrio seja um nó.

Com o uso, a sujidade e as impurezas no óleo dentro dos amortecedores do automóvel fazem com que o coeficiente de viscosidade diminua; há também perdas de óleo. Esses fatores reduzem o valor da constante \alpha por baixo do valor crítico. Se, empurrando a carroçaria do automóvel para baixo, o automóvel oscila ligeiramente, é preciso trocar os amortecedores por outros novos.[6]

Referências

  1. Poole, David. Álgebra linear. 1 ed. São Paulo: Pioneira Thompson Learning, 2005.
  2. Aberdeen, Stan. Use of Linear Equations. Ehow. Página visitada em 16 de janeiro de 2012.
  3. Calculadora online que soluciona sistemas de equações lineares.
  4. Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray. Álgebra Linear. 1 ed. São Paulo: Polígono, 1971.
  5. Domingues, Hygino H.. Origem dos Sistemas Lineares e Determinantes. Só Matemática. Página visitada em 16 de janeiro de 2012.
  6. a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z aa ab ac [ Dinâmica e Sistemas Dinâmicos. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0) ISBN 978-972-99396-1-7. Acesso em 28 jun. 2013.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]