Matriz transposta

Matriz transposta, em matemática, é o resultado da troca de linhas por colunas em uma determinada matriz.

Uma matriz simétrica é toda a matriz que é igual à sua transposta.

Neste artigo, a matriz transposta de uma matriz $M$ será representada por $M^\mathrm{T}$. Outras formas de representação encontradas na literatura são $M^t$ e $M'$.

Exemplos

• $\begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}.$

• $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}.$

• $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}. \;$

• A matriz identidade é simétrica. Portanto, a matriz transposta da matriz identidade é a própria matriz identidade.

Construção

Uma matriz transposta é construída da seguinte maneira:

1. Seja uma matriz $A$, tal que:
2.  : $A = { \left( a_{x,y} \right) }_{m,n}\,$
3. Seja uma matriz $B$ a transposta de $A$:
4.  : $B = A^\mathrm{T}\,$
5. A matriz $B$ possui as dimensões inversas de $A$, sendo definida por:
6.  : $B = { \left( b_{p,q} \right) }_{n,m}\,$
7. Cada item da matriz $B$ é definido por:
8.  : $b_{p,q} = a_{q,p}\,$

Propriedades

• $\left( A^\mathrm{T} \right) ^\mathrm{T} = A \quad \,$
• $(A+B) ^\mathrm{T} = A^\mathrm{T} + B^\mathrm{T} \,$
• $\left( A B \right) ^\mathrm{T} = B^\mathrm{T} A^\mathrm{T} \,$
• $(c A)^\mathrm{T} = c A^\mathrm{T} \,$
• $\det(A^\mathrm{T}) = \det(A) \,$
• A matriz transposta de uma matriz invertível qualquer é também invertível, sendo a inversa da transposta igual à transposta da inversa: $(A^\mathrm{T})^{-1} = (A^{-1})^\mathrm{T}\,$]
• A multiplicação de uma matriz quadrada por sua transposta gera soma de quadrados na diagonal.

Por exemplo:

Seja a matriz $X=\begin{bmatrix} {\color{Red}a} & {\color{OliveGreen}b} \\ {\color{Red}c} & {\color{OliveGreen}d} \end{bmatrix}$. Então,

$XX^T=XX^'= \begin{bmatrix} {\color{Red}a} & {\color{OliveGreen}b} \\ {\color{Red}c} & {\color{OliveGreen}d} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\color{Red}a} & {\color{Red}c} \\ {\color{OliveGreen}b} & {\color{OliveGreen}d} \end{bmatrix} =$$\begin{bmatrix} {\color{Red}a}^2+{\color{OliveGreen}b}^2 & {\color{Red}a}{\color{Red}c}+{\color{OliveGreen}b}{\color{OliveGreen}d} \\ {\color{Red}a}{\color{Red}c}+{\color{OliveGreen}b}{\color{OliveGreen}d} & {\color{Red}c}^2+{\color{OliveGreen}d}^2 \end{bmatrix}$

De forma equivalente,

$X^TX=X^'X= \begin{bmatrix} {\color{Red}a} & {\color{Red}c} \\ {\color{OliveGreen}b} & {\color{OliveGreen}d} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\color{Red}a} & {\color{OliveGreen}b} \\ {\color{Red}c} & {\color{OliveGreen}d} \end{bmatrix}=$$\begin{bmatrix} {\color{Red}a}^2+{\color{Red}c}^2 & {\color{Red}a}{\color{OliveGreen}b}+{\color{Red}c}{\color{OliveGreen}d} \\ {\color{Red}a}{\color{OliveGreen}b}+{\color{Red}c}{\color{OliveGreen}d} & {\color{OliveGreen}b}^2+{\color{OliveGreen}d}^2 \end{bmatrix}$