Matriz transposta

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Em matemática, matriz transposta é a matriz que se obtém da troca de linhas por colunas de uma dada matriz. Desta forma, transpor uma matriz é a operação que leva na obtenção de sua transposta. Neste artigo, a matriz transposta de uma matriz M será representada por M^\mathrm{T}. Outras formas de representação encontradas na literatura são M^t e M'.[1] [2] [3]

Definição[editar | editar código-fonte]

A transposta da matriz A = [a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n} é a matriz A^\mathrm{T} = [a_{i,j}]_{j,i=1}^{n,m}[1] [2] [3] , i.e.:

A = \begin{bmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \ldots & a_{2,n} \\
\vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots \\
a_{m,1} & a_{m,2} & \ldots & a_{m,n} \\
\end{bmatrix} \Leftrightarrow
A^\mathrm{T} = \begin{bmatrix}
a_{1,1} & a_{2,1} & \ldots & a_{m,1} \\
a_{1,2} & a_{2,2} & \ldots & a_{m,2} \\
\vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots \\
a_{1,n} & a_{2,n} & \ldots & a_{m,n} \\
\end{bmatrix}

A operação de transpor uma matriz é a operação unitária {}^\mathrm{T}:\mathbb{M}\to\mathbb{M} definida no conjunto das matrizes \mathbb{M} que associa a cada matriz A sua transposta A^\mathrm{T}.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Veja alguns exemplos:

  • \begin{bmatrix}
1 & 2  \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1   \\
2  \end{bmatrix}.
  • \begin{bmatrix}
1 & 2  \\
3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3  \\
2 & 4 \end{bmatrix}.

Construção[editar | editar código-fonte]

A reflexão dos elementos da matriz em relação à sua diagonal principal (elementos 1 e 4) produz a sua transposta.

A transposta de uma matriz A = [a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n} é construída por reflexão de seus elementos em relação à sua diagonal principal. Ou seja, o elemento da linha i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz A deve corresponder ao elemento da j-ésima linha e i-ésima coluna da matriz A^\mathrm{T}.[1]

Uma das formas práticas de construir a matriz A^\mathrm{T} é colocando em sua colunas as linhas da matriz A na mesma ordem. Ou, equivalentemente, colocando as colunas da matriz A nas linhas da matriz A^\mathrm{T} na mesma ordem.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Matrizes transpostas têm as seguintes propriedades:[1]

  1. \left( A^\mathrm{T} \right) ^\mathrm{T} = A
  2. (A+B) ^\mathrm{T} = A^\mathrm{T} + B^\mathrm{T}
  3. (c A)^\mathrm{T} = c A^\mathrm{T}
  4. \left( A B \right) ^\mathrm{T} = B^\mathrm{T} A^\mathrm{T}
  5. (A^\mathrm{T})^{-1} = (A^{-1})^\mathrm{T}, se A é uma matriz não singular.
  6. \det(A^\mathrm{T}) = \det(A)
  7. A multiplicação de uma matriz quadrada por sua transposta fornece uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva linha da matriz original. Por exemplo:
X=\begin{bmatrix} {\color{Red}a} & {\color{OliveGreen}b} \\ {\color{Red}c} & {\color{OliveGreen}d} \end{bmatrix} \Rightarrow XX^T = \begin{bmatrix} {\color{Red}a} & {\color{OliveGreen}b} \\ {\color{Red}c} & {\color{OliveGreen}d} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\color{Red}a} & {\color{Red}c} \\ {\color{OliveGreen}b} & {\color{OliveGreen}d} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} {\color{Red}a}^2+{\color{OliveGreen}b}^2 & {\color{Red}a}{\color{Red}c}+{\color{OliveGreen}b}{\color{OliveGreen}d} \\ {\color{Red}c}{\color{Red}a}+{\color{OliveGreen}d}{\color{OliveGreen}b} & {\color{Red}c}^2+{\color{OliveGreen}d}^2 \end{bmatrix}
  1. A multiplicação da transposta de uma matriz quadrada por si mesma fornece uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva coluna da matriz original. Por exemplo:
X=\begin{bmatrix} {\color{Red}a} & {\color{OliveGreen}b} \\ {\color{Red}c} & {\color{OliveGreen}d} \end{bmatrix} \Rightarrow   X^TX = \begin{bmatrix} {\color{Red}a} & {\color{Red}c} \\ {\color{OliveGreen}b} & {\color{OliveGreen}d} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\color{Red}a} & {\color{OliveGreen}b} \\ {\color{Red}c} & {\color{OliveGreen}d} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{Red}a}^2+{\color{Red}c}^2 & {\color{Red}a}{\color{OliveGreen}b}+{\color{Red}c}{\color{OliveGreen}d} \\ {\color{Red}a}{\color{OliveGreen}b}+{\color{Red}c}{\color{OliveGreen}d} & {\color{OliveGreen}b}^2+{\color{OliveGreen}d}^2 \end{bmatrix}
Demonstração.
1. \left( A^\mathrm{T} \right) ^\mathrm{T} = A \quad \,

Seja A = [a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}. Então, A^\mathrm{T} = [a_{i,j}]_{j,i=1}^{n,m} e, portanto, \left(A^\mathrm{T}\right)^\mathrm{T} = [a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n} = A.


2. (A+B) ^\mathrm{T} = A^\mathrm{T} + B^\mathrm{T}

Sejam A = [a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n} e B = [b_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}. Então:

\left(A + B\right)^\mathrm{T} = \left([a_{i,j} + b_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}\right)^\mathrm{T} = [a_{i,j} + b_{i,j}]_{j,i=1}^{n,m} = A^\mathrm{T} + B^\mathrm{T}.


3. (c A)^\mathrm{T} = c A^\mathrm{T}

Seja A = [a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}. Então:

(cA)^\mathrm{T} = \left(c[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}\right)^\mathrm{T} = \left([ca_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}\right)^\mathrm{T} = [ca_{i,j}]_{j,i=1}^{n,m} = c[a_{i,j}]_{j,i=1}^{n,m} = cA^\mathrm{T}.


4. \left( A B \right) ^\mathrm{T} = B^\mathrm{T} A^\mathrm{T}

Sejam A = [a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n} e B = [b_{i,j}]_{i,j=1}^{n,p}. Então:

\begin{align}\left(AB\right)^\mathrm{T}
&= \left([a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n} [b_{i,j}]_{i,j=1}^{n,p} \right)^\mathrm{T}\\
&= \left(\left[\sum_{k=1}^n a_{i,k} b_{k,j}\right]_{i,j=1}^{m,p}\right)^\mathrm{T}\\
&= \left[\sum_{k=1}^n a_{i,k} b_{k,j}\right]_{j,i=1}^{p,m}\\
&= \left[\sum_{k=1}^n b_{k,j} a_{i,k}\right]_{j,i=1}^{p,m}\\
&= [b_{i,j}]_{j,i=1}^{p,n} [a_{i,j}]_{j,i}^{n,m}\\
&= B^\mathrm{T} A^\mathrm{T}
\end{align}


5. (A^\mathrm{T})^{-1} = (A^{-1})^\mathrm{T}, se A é uma matriz não singular.

Se A é uma matriz não singular, então AA^{-1} = A^{-1}A = I. Daí, segue que:

I = I^\mathrm{T} = \left(AA^{-1}\right)^\mathrm{T} = A^\mathrm{T} \left(A^{-1}\right)^\mathrm{T}

e

I = I^\mathrm{T} = \left(A^{-1}A\right)^\mathrm{T} = \left(A^{-1}\right)^\mathrm{T}A^\mathrm{T}

ou seja, a inversa de A^\mathrm{T} é a transposta de A^{-1}, como queríamos demonstrar.


6. \det(A^\mathrm{T}) = \det(A)

Seja A = [a_{i,j}]_{i,j=1}^{n,n}. Por definição, o determinante de A é dado por:

\det(A) := \sum_{k=1}^{n!} \pm a_{1,s_{k,1}} a_{2,s_{k,2}} \cdots a_{n,s_{k,n}}

onde, s_{k,i} corresponde ao i-ésimo elemento da k-ésima permutação da sequência (1,2,\ldots ,n). E, o sinal no somatório é positivo se a permutação é par e negativo se a permutação for ímpar.

Observamos, que na definição de determinante, em cada termo da soma exatamente um único elemento de cada linha, sem repetir a coluna, é escolhido. Isso é equivalente a dizer que em cada termo da soma exatamente um único elemento de cada coluna, sem repetir a linha, é escolhido, i.e.:

\det(A) = \sum_{k=1}^{n!} \pm a_{s_{k,1},1} a_{s_{k,2},2} \cdots a_{s_{k,n},n} := \det(A^T) .


7. A multiplicação de uma matriz quadrada por sua transposta é uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva linha da matriz original.

Seja A = [a_{i,j}]_{i,j=1}^{n,n}. Então:

AA^\mathrm{T} = [a_{i,j}]_{i,j=1}^{n,n} [a_{i,j}]_{j,i=1}^{n,n} = \left[\sum_{k=1}^{n} a_{i,k} a_{j,k}\right]_{i,j=1}^{n,n}

donde vemos que os termos da diagonal (i=j) são as somas dos quadrados dos elementos da respectiva linha. Como queríamos demonstrar.


8. A multiplicação da transposta de uma matriz quadrada por si mesma fornece uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva coluna da matriz original.

Segue raciocínio análogo à demonstração da propriedade 7..


Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c d Kolman, B.. Álgebra linear com aplicações. 9. ed. [S.l.]: LTC, 2013. ISBN 9788521622086.
  2. a b Strang, Gilbert. Álgebra linear e suas aplicações. 4. ed. [S.l.]: Cengage, 2010. ISBN 9788522107445.
  3. a b Lay, David. Álgebra linear e suas aplicações. 4. ed. [S.l.]: LTC, 2013. ISBN 9788521622093.


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