Matriz transposta

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Matriz transposta, em matemática, é o resultado da troca de linhas por colunas em uma determinada matriz.

Uma matriz simétrica é toda a matriz que é igual à sua transposta.

Neste artigo, a matriz transposta de uma matriz M será representada por M^\mathrm{T}. Outras formas de representação encontradas na literatura são M^t e M'.1

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • \begin{bmatrix}
1 & 2  \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1   \\
2  \end{bmatrix}.
  • \begin{bmatrix}
1 & 2  \\
3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3  \\
2 & 4 \end{bmatrix}.
  • A matriz identidade é simétrica. Portanto, a matriz transposta da matriz identidade é a própria matriz identidade.

Construção[editar | editar código-fonte]

A reflexão dos elementos da matriz em relação à sua diagonal principal também produz a matriz transposta. Nesta animação, a reflexão é representada por uma rotação ao redor do eixo que corre pela diagonal principal.

Uma matriz transposta é construída da seguinte maneira:

  1. Seja uma matriz A, tal que:
  2.  : A = { \left( a_{x,y} \right) }_{m,n}\,
  3. Seja uma matriz B a transposta de A:
  4.  : B = A^\mathrm{T}\,
  5. A matriz B possui as dimensões inversas de A, sendo definida por:
  6.  : B = { \left( b_{p,q} \right) }_{n,m}\,
  7. Cada item da matriz B é definido por:
  8.  : b_{p,q} = a_{q,p}\,

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • \left( A^\mathrm{T} \right) ^\mathrm{T} = A \quad \,
  • (A+B) ^\mathrm{T} = A^\mathrm{T} + B^\mathrm{T} \,
  • \left( A B \right) ^\mathrm{T} = B^\mathrm{T} A^\mathrm{T} \,
  • (c A)^\mathrm{T} = c A^\mathrm{T} \,
  • \det(A^\mathrm{T}) = \det(A) \,
  • A matriz transposta de uma matriz inversível qualquer é também inversível, sendo a inversa da transposta igual à transposta da inversa: (A^\mathrm{T})^{-1} = (A^{-1})^\mathrm{T}\,
  • A multiplicação de uma matriz quadrada por sua transposta gera soma de quadrados na diagonal.

Por exemplo:

Seja a matriz X=\begin{bmatrix} {\color{Red}a} & {\color{OliveGreen}b} \\ {\color{Red}c} & {\color{OliveGreen}d} \end{bmatrix}. Então,

XX^T=XX^'= \begin{bmatrix} {\color{Red}a} & {\color{OliveGreen}b} \\ {\color{Red}c} & {\color{OliveGreen}d} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\color{Red}a} & {\color{Red}c} \\ {\color{OliveGreen}b} & {\color{OliveGreen}d} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} {\color{Red}a}^2+{\color{OliveGreen}b}^2 & {\color{Red}a}{\color{Red}c}+{\color{OliveGreen}b}{\color{OliveGreen}d} \\ {\color{Red}c}{\color{Red}a}+{\color{OliveGreen}d}{\color{OliveGreen}b} & {\color{Red}c}^2+{\color{OliveGreen}d}^2 \end{bmatrix}

De forma equivalente,

X^TX=X^'X= \begin{bmatrix} {\color{Red}a} & {\color{Red}c} \\ {\color{OliveGreen}b} & {\color{OliveGreen}d} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\color{Red}a} & {\color{OliveGreen}b} \\ {\color{Red}c} & {\color{OliveGreen}d} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{Red}a}^2+{\color{Red}c}^2 & {\color{Red}a}{\color{OliveGreen}b}+{\color{Red}c}{\color{OliveGreen}d} \\ {\color{Red}a}{\color{OliveGreen}b}+{\color{Red}c}{\color{OliveGreen}d} & {\color{OliveGreen}b}^2+{\color{OliveGreen}d}^2 \end{bmatrix}

Referências

  1. O programa MATLAB, por exemplo, usa M' para a transposta, conforme sua documentação


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