Somatório

Um somatório é um operador matemático que nos permite representar facilmente somas de um grande número de termos, até infinitos. É representado com a letra grega sigma ( $\Sigma$ ), e é definido por:

$\sum_{i=m}^n f(i) = f(m)+f(m+1)+\cdots+ f(n-1) + f(n)$

A variável $i$ é o índice do somatório que designa um valor inicial chamado limite inferior, $m$.

A variável $i$ percorre os valores inteiros até alcançar o limite superior, $n$.

Por exemplo se quisermos expressar a soma dos cinco primeiros números naturais podemos representa-lo assim:

$\sum^{5}_{i = 1} i = 1+2+3+4+5=15$

Aplicações

Os somatórios são úteis para expressar somas arbitrarias de números, por exemplo em fórmulas. Se queremos representar a «fórmula» para achar a média aritmética de $n$ números, teremos a seguinte expressão:

$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n f(i)$

Algumas propriedades

1. $\sum^n_{i = m} \alpha f(i) = \alpha \sum^n_{i = m} f(i)$
2. $\sum^n_{i = m} [f(i)\pm g(i)] = \sum^n_{i = m} f(i)\pm \sum^n_{i = m} g(i)$
3. $\sum^m_{i = m} f(i) = f(m)$
4. $\sum^n_{i = a} f(i) = \sum^p_{i = a} f(i)+\sum^n_{i = p+1} f(i)$
5. $\sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p)$
6. $\sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{-m}_{i = -n} f(-i)$
7. $\sum^n_{i = m} [f(i+1)-f(i)]=f(n+1)-f(m)$
8. $\sum^n_{i = m} \sum^l_{j = k} f(i)g(j) = \sum^n_{i = m} f(i)\sum^l_{j = k} g(j)$
9. $\left|\sum^n_{i = m} f(i)\right| \leq \sum^n_{i = m} |f(i)|$

Alguns somatórios de funções polinomiais

1. $\sum^n_{i = m} 1 = n+1-m$
2. $\sum^n_{i = 1} i = 1 + 2 + 3 +\ldots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$
3. $\sum^n_{i = 1} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n ( n + 1 )(2n+1)}{6}$
4. $\sum^n_{i = 1} i^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \left(\frac{n ( n + 1 )}{2}\right)^2$
5. $\sum^n_{i = 1} i^4 = 1^4 + 2^4 + 3^4 + \ldots + n^4 = \frac{n ( n + 1 )(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$

Alguns somatórios de funções exponenciais

1. $\sum^n_{i = m} x^i = x + x^2 + x^3 + \ldots + x^n = \frac{x^{n+1}-x^m}{x-1}$

Ver também

• Adição
• Série
• Integral