Somatório

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Um somatório é um operador matemático que nos permite representar facilmente somas de um grande número de termos, até infinitos. É representado com a letra grega sigma ( \Sigma ), e é definido por:


   \sum_{i=m}^n f(i) = f(m)+f(m+1)+\cdots+ f(n-1) + f(n)

A variável i é o índice do somatório que designa um valor inicial chamado limite inferior, m.

A variável i percorre os valores inteiros até alcançar o limite superior, n.

Por exemplo se quisermos expressar a soma dos cinco primeiros números naturais podemos representa-lo assim:

\sum^{5}_{i = 1} i = 1+2+3+4+5=15


Aplicações[editar | editar código-fonte]

Os somatórios são úteis para expressar somas arbitrarias de números, por exemplo em fórmulas. Se queremos representar a «fórmula» para achar a média aritmética de n números, teremos a seguinte expressão:

\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n f(i)

Algumas propriedades[editar | editar código-fonte]

  1. 
   \sum^n_{i = m} \alpha f(i) = \alpha \sum^n_{i = m} f(i)
  2. 
   \sum^n_{i = m} [f(i)\pm g(i)] = \sum^n_{i = m} f(i)\pm \sum^n_{i = m} g(i)
  3. 
   \sum^m_{i = m} f(i) = f(m)
  4. 
   \sum^n_{i = a} f(i) = \sum^p_{i = a} f(i)+\sum^n_{i = p+1} f(i)
  5. 
   \sum^n_{i = m} f(i) = \sum^{n+p}_{i = m+p} f(i-p)
  6. 
   \sum^n_{i = m} [f(i+1)-f(i)]=f(n+1)-f(m)
  7. 
   \sum^n_{i = m} \sum^l_{j = k} f(i)g(j) = \sum^n_{i = m} f(i)\sum^l_{j = k} g(j)
  8. 
   \left|\sum^n_{i = m} f(i)\right| \leq  \sum^n_{i = m} |f(i)|

Alguns somatórios de funções polinomiais[editar | editar código-fonte]

  1. 
   \sum^n_{i = m} 1 = n+1-m
  2. 
   \sum^n_{i = 1} i = 1 + 2 + 3 +\ldots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2} 
(Progressão aritmética)
  3. 
   \sum^n_{i = 1} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n ( n + 1 )(2n+1)}{6}
  4. 
   \sum^n_{i = 1} i^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \left(\frac{n ( n + 1 )}{2}\right)^2
  5. 
   \sum^n_{i = 1} i^4 = 1^4 + 2^4 + 3^4 + \ldots + n^4 = \frac{n ( n + 1 )(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}

Alguns somatórios de funções exponenciais[editar | editar código-fonte]

  1. 
   \sum^n_{i = 1} x^i = x + x^2 + x^3 + \ldots + x^n = \frac{x(x^{n}-1)}{x-1}
(Progressão geométrica)
  1. 
   \sum^n_{i = m} x^i = x^{m} + x^{m+1} + x^{m+2} + \ldots + x^{n} = \frac{x(x^{n}-x^{m-1})}{x-1}

Ver também[editar | editar código-fonte]