Série (matemática)

 Nota: Se procura Somas finitas, veja Adição#Somas úteis.

Em matemática, o conceito de série, ou ainda, série infinita, surgiu da tentativa de generalizar o conceito de soma para uma sequência de infinitos termos.

Esta generalização, longe de acontecer de forma impune, traz diversas dificuldades:

• nem sempre é possível definir um valor resultante da soma para uma série;
• não é possível em geral trocar a ordem dos termos da série;
• algumas séries possuem soma infinita.

Embora a ideia de soma infinita seja bastante antiga, uma formulação matemática rigorosa só veio a surgir no século XVIII, com o advento da análise real, que denota e define uma série de termos $a_1,a_2,a_3,\ldots\,$ da seguinte forma:

$\sum_{n=1}^{\infty}a_n:= \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N} a_n\,$

A teoria das séries divergentes generaliza este conceito de soma para alguns casos quando este limite não existe.

Um primeiro exemplo

Considere a dízima periódica que resulta da divisão de 1 por 3:

$\frac{1}{3}= 0,3333\ldots$

Esta dízima pode ser reinterpretada como a soma da série:

$0,3+0,03+0,003+0,0003+0,00003+\ldots\,$

E neste caso, dizemos que a soma desta série é $\frac{1}{3}$

Notação

Cauchy formaliza o estudo das séries.

Se forem $a_1, a_2, a_3,\ldots,a_n,\ldots\,$ os termos da sequência que desejamos somar. A soma $S$ da série será:

$S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n\,$

No exemplo anterior, temos $a_n=3\cdot 10^{-n}$, que forma uma progressão geométrica de razão $10^{-1}$.

Chamamos de soma parcial até o termo N, $S_N$ a soma dos N primeiros termos de uma série:

$S_N=\sum_{n=1}^N a_n = a_1+a_2+\ldots+a_N$

Definição

Define-se a soma $S$ de uma série infinita, o limite das somas parciais quando este limite existe:

$S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N a_n =\lim_{N\to\infty}S_N$

Quando este limite existe, definímos ainda o resíduo de ordem n da série, pela seguinte série:

$R_N=\sum_{n=N+1}^{\infty}a_n$

Esta definição nos permite escrever:

$S=S_N+R_N\,$ para todo $N\ge 1$

A soma parcial pode, portanto, ser interpretada como uma aproximação para a soma da série, enquanto que o resíduo é o erro desta aproximação.

É claro que:

$\lim_{N\to\infty}R_N = \lim_{N\to\infty}(S-S_N)=S-S=0$

Aspectos históricos

Aquiles

A consideração de somas infinitas é um problema estreitamente ligado ao problema da passagem ao limite. A falta por longo período de conceitos adequados e de uma teoria razoável levou os matemáticos a numerosas especulações e paradoxos a respeito da natureza das séries infinitas, a exemplo do paradoxo de Zenão.

O paradoxo de Zenão segundo Aristóteles em Fisica VI, 239 b 9 ss consiste basicamente em decompor o movimento em um número infinito de partes. Pressupondo de que é impossível realizar infinitos movimentos em tempo finito, o deslocamento torna-se impossível. O experimento mental tradicional propõe uma competição entre o herói Aquiles e uma tartaruga. A tartaruga parte com uma vantagem inicial. É impossível que Aquiles alcance a tartaruga, porque, quando Aquiles atinge a posição inicial da tartaruga (A), ela já avançou para o ponto (B). Quando Aquiles chega ao ponto B, a tartaruga já está em C e assim até o infinito.

O matemático e astrônomo Madhava foi o primeiro, no século XIV, a considerar tais séries. Seus trabalhos receberam continuidade por seus sucessores da escola de Kerala, região ao sul da Índia e foram registrados no livro Yuktibhasa. Madhava se dedica ao estudo das funções trigonométricas, propondo-lhe desenvolvimento em séries de Taylor e em séries trigonométrica. Ele utiliza esses conceitos para o cálculo de aproximações (notavelmente para estimar o valor numérico da constante $\pi$) e estabelece estimativas para o erro assumido. Também introduz os primeiros critérios de convergência.

No século XVII, James Gregory redescobre vários desses resultados, em especial o desenvolvimento de séries trigonométricas em séries de Taylor e sua série que permita calcular o valor numérico de $\pi$. Em 1715, Brook Taylor, ao publicar a construção geral das séries que recebem seu nome, estabelece uma frutífera ligação da teoria de séries infinitas com o cálculo diferencial.

No século XVIII, Leonhard Euler estabelece numerosas relações sobre séries, calcula diversas somas notáveis e introduz o conceito de série hipergeométrica.

A teoria das séries infinitas se estabelece finalmente com o advento da análise matemática ao longo dos séculos XVIII e XIX com os trabalhos sobretudo de Augustin Louis Cauchy.

Classificação quanto à convergência

Nome		Limite $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ existe?	Limite $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ existe?	Exemplo deste tipo de série
Série convergente (seus termos formam uma sequência dita somável)	absolutamente convergente	Sim e é finito	Sim e é finito	$\sum_{n=1}^{\infty} a^n, \forall |a| <1$
	condicionalmente convergente	Sim e é finito	Sim, mas é infinito	A soma $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ converge, mas se a tomarmos em módulo teremos uma soma divergente
Série divergente		Sim, mas é infinito	-----	Os somatórios $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ e $\sum_{n=1}^{\infty}n$ divergem.
Série oscilante		Não	------

• Obs.: Alguns autores, sobretudo fora do escopo da análise real ou na teoria das séries divergentes, definem como série divergente toda aquela que não é convergente.

Convergência e divergência de séries

Diversos são os teoremas para provar que determinada série numérica converge ou diverge, esses costumam ser chamados de testes (ou critérios), eis alguns exemplos:

Termos positivos

Teste da integral

Ver artigo principal: Teste da integral

O teste da integral é um método para estabelecer a convergência de um série comparando a soma de seus termos à integral de uma função adequada.

Seja $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ uma série de números positivos e $f(x):[1,\infty]\to\mathbb{R}$ uma função com as seguintes propriedades:

• $f(x)\geq 0\,$;
• $f(x)\,$ é decrescente;
• $f(n)=a_n\,$.

Então $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ converge se e somente se $\int_{1}^{\infty}f(x)$ converge.

Teste da comparação do limite (2º Critério de Comparação)

Ver artigo principal: Teste da comparação do limite

O teste da comparação do limite é uma generalização do teste da comparação. Sejam $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ e $\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$ séries de termos positivos. Então:

• Se $\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n}{b_n}=C$, sendo $C$ um número e $0<C<\infty$, temos:

ambas as séries divergem ou ambas as séries convergem.

Obs.: Se $C=0$, então:

Se ${b_n}$ é convergente → ${a_n}$ é convergente.

Este teste admite uma ligeira modificação através do uso do limite superior:

• Se $\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}<\infty$, temos que:

Se ${b_n}$ é convergente → ${a_n}$ é convergente.

Critério da comparação de razões

Ver artigo principal: Critério da comparação de razões

O critério da comparação de razões serve como base para muitos dos critérios utilizados para estudar convergência e divergência de séries. Este é sugerido pela lógica da progressão geométrica.

Sejam as séries de termos positivos $\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}$ e $\sum_{k=1}^{\infty}b_{k}$, imaginemos que existe um número natural $p$ tal que, para $k\geq p$, temos:

• $\frac{a_{k+1}}{a_k}\leq\frac{b_{k+1}}{b_k}$

Então

• $\sum_{k=1}^{\infty}b_{k}$ convergente ⇒ $\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}$ convergente;
• $\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}$ divergente ⇒ $\sum_{k=1}^{\infty}b_{k}$ divergente;

Teste da divergência

Ver artigo principal: Teste da divergência

O teste da divergência ou teste do termo geral estabelece que uma série numérica não pode convergir se o seu termo geral não converge para zero. Ou seja:

Se $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ converge, então seu termo geral $a_n$ converge para zero.

Observe cuidadosamente que a recíproca não é verdadeira, um contra-exemplo simples é a série harmônica:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$

onde o termo geral $\frac{1}{n}$ tende a zero, mas a soma diverge.

Teste da comparação (1º Critério de Comparação)

Ver artigo principal: Teste da comparação

O teste da comparação estabelece um critério para convergência de séries de termos positivos, ou para a convergência absoluta. Sejam as séries:

• $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$
• $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$

Então se $0\leq a_n\leq b_n$ e se a segunda série converge a primeira também converge (e a soma não é superior). Ou ainda, se a primeira diverge a segunda também deve divergir. Podemos também estabelecer que se $|a_n|\leq b_n$, então a primeira série converge contanto que a segunda também convirja.

Teste da razão (critério de d'Alembert)

Ver artigo principal: Teste da razão

O teste da razão ou teste de d'Alembert é um teste para saber a convergência ou não de uma série comparando-a com a série geométrica.

Seja $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ uma série de termos não nulos.

E suponha que exista o limite $\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L$

Então

• $L<1 \!$, a série é absolutamente convergente (portanto convergente);
• $L>1 \!$ ou $L = \infty\!$ ou $\! L = 1^+ \!$, a série é divergente;
• $L=1^- \!$, o teste é inconclusivo.

Teste da raiz (critério de Cauchy)

Ver artigo principal: Teste da raiz

O teste da raiz ou teste de Cauchy é outro teorema que permite estabelacer a convergência de uma série. Ele pode também ser aplicado para estudar a convergência de uma série de funções e permite estabelecer o raio de convergência de uma série de Taylor.

Seja $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ uma série numérica e a constante $k$ definida pelo limite:

• $k=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$

Então:

• Se $k <1$, a série converge absolutamente
• Se $k > 1$ ou $k = 1^+$, a série não converge
• Se $k = 1^-$, nada se pode concluir

No caso de o limite não existir, este teste ainda é válido, substituindo a definição de $k$ por:

• $k=\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$

Séries de termos quaisquer

Teste da série alternada (critério de Leibniz)

Ver artigo principal: Teste da série alternada

ou Critério de Leibniz

Testes de Abel e Dirichlet

Ver artigo principal: Teste de Abel e Teste de Dirichlet

O teste de Abel e o teste de Dirichlet demonstram a convergência de séries numéricas que podem ser escritas na forma:

$\sum_{n=1}^{\infty}a_n b_n$

quando os coeficiente $b_n\,$ forma uma sequência monotônica com limite $b_\infty\,$.

O teste de Abel garante a convergência de $\sum_{n=1}^{\infty}a_n b_n$ quando $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ é convergente. Já o teste de Dirichet se aplica quando $b_\infty=0\,$, mas exige apenas que as somas parcial sejam limitadas:

$\left|\sum_{n=1}^{N}a_n\right|\leq M$

Tipos importantes de séries

Série geométrica

Ver artigo principal: Série geométrica

A série geométrica formada pelos termos de uma progressão geométrica:

$\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}$

Da teoria das progressões geométricas, temos que:

$\sum_{n=1}^{N}r^{n} = \frac{r-r^{N+1}}{1-r} = \frac{r}{1-r}- \frac{r^{N+1}}{1-r}$

É facil ver que se $|r|<1$ então esta série é convergente e sua soma é dada por:

$\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}=\frac{r}{1-r}$

ou, como é mais usual:

$\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=\frac{1}{1-r}$

Série harmônica

Ver artigo principal: Série harmônica (matemática)

A série harmônica formada pelos termos de uma progressão harmônica:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$

Esta série é divergente, o que pode ser provado com a seguinte astúcia:

$\frac{1}{n}=\int_{n}^{n+1}\frac{1}{n}dx > \int_{n}^{n+1}\frac{1}{x}dx = \ln(n+1)-\ln(n)$

e substitua nas somas parciais:

$\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}>\sum_{n=1}^N\left(\ln(n+1)-\ln(n)\right) = \left(\ln(2)-\ln(1)\right)+ \left(\ln(3)-\ln(2)\right)+ \ldots+ \left(\ln(N+1)-\ln(N)\right)$

Simplificando os termos repetidos temos:

$\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}>\ln(N+1)\to\infty,~~N\to\infty$

Série alternada

Chama-se série alternada toda a série da forma: $S=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n\, ~~a_n\ge 0$ Um exemplo de série alternada é: $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n} = \ln(2)$, que a despeito da série harmônica, converge. Para verificar a convergência de séries alternadas, existe o teste da série alternada.

Série telescópica

Ver artigo principal: Série telescópica

Chame-se série telescópica toda série cujos termos $a_n\,$ possam ser escritos como:

$a_n= b_{n}-b_{n+1}\,$, onde $b_n$ é outra progressão numérica.

Um exemplo de série telescópica é

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$

Observe que aqui

$a_n=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=b_{n}-b_{n+1}$

É fácil ver que:$S_N=\sum_{n=1}^N(b_{n}-b_{n+1})=b_1-b_{N+1}$ e, portanto: $\sum_{n=1}^\infty a_n$ é convergente se e somente se existe o limite $\lim_{n\to\infty}b_n$

Constantes definidas por séries

Algumas constantes matemáticas são mais frequentemente definidas diretamente através de uma série, este é o caso de:

• O número de Euler: $e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\,$
• A constante de Liouville, o primeiro número transcendente construído: $\gamma=\sum_{n=1}^{\infty}10^{-n!}\,$
• O número $\pi$: $\pi=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{4}{2n+1}\,$
• A constante de Brun, que vale aproximadamente 1,9021605823, é definida como a soma dos inversos dos pares de primos gêmeos:

$B_2 = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{29} + \frac{1}{31}\right) + \cdots$

Essa série é convergente, em contraste com a série dos inversos dos primos, que é divergente:

$B_1 = \frac{1}{2}+\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{17} + \frac{1}{19} + \cdots = \infty$

Rearranjo de termos

Sejam os termos $a_n\,$ de uma série. Definimos um rearranjo dos termos uma nova sequência com os mesmos termos $a_{\sigma(n)}\,$ onde $\sigma(n)\,$ é uma permutação.

• Pode-se mostrar que se uma série converge absolutamente, então pode-se rearranjar os termos sem alterar a soma.
• Se uma série de números reais é condionalmente convergente mas não absolutamente convergente, então cada cada soma pré-fixada $S\,$, existe um rearranjo de termos tal que a soma da série rearranjanda é $S\,$.

Funções definidas por séries

Um procedimento bastante comum em análise matemática é o de definir funções atráves de séries. Veja o exemplo:

$\zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^x}$

Se $x\,$ é um número real maior que $1\,$ então esta função está bem definida, o que pode ser mostrado pelo teste da integral (veja série harmônica). Um caso importante é $\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$. Se $x\,$ é um número complexo, esta função é a famosa função zeta de Riemann a respeito da qual há um dos mais importantes problemas em aberto da matemática moderna. Quanto os termos da série são potências, então a série é dita uma série de Taylor, por exemplo:

$S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\,$

Séries duplas

Defíne-se como série dupla o limite duplo a seguir:

$\sum_{i,j=1}^{\infty}a_{ij}:=\lim_{N_i,N_j\to\infty}\sum_{i=1}^{N_i}\sum_{j=1}^{N_j}a_{ij}\,$

Exemplos de séries duplas

• $\sum_{i,j=1}^{\infty}\frac{1}{2^i+3^j}\,$
• A função elíptica de Weierstrass é definida pela série dupla:

$\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}.$

Série iteradas

Chama-se série iterada aquela cujos termos são outras séries:

• $\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^\infty a_{ij}=\sum_{i=1}^{\infty}S_i,~~S_i=\sum_{j=1}^\infty a_{ij}\,$

Exemplos

• $\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{2^i+3^j}\,$

Também podemos construir séries de somas finitas:

• $\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{i}\frac{1}{2^i}=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{i}{2^i}\,$

Sequência dos termos de uma série

Seja $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\,$ uma sequência real ou complexa e $p\geq 1\,$, dizemos que $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\,$ pertence ao espaço l^p se:

$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|^p\,$ converge.

Generalizações em espaços normados

Seja $X\,$ um espaço normado, $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\subseteq X\,$, definimos de forma análoga:

$S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N a_n$, quando este limite existe.

A série é somável em norma se

$\sum_{n=1}^{\infty}\|a_n\|$ converge.

Nestes termos, $X\,$ é um espaço de Banach se e somente se todo série somável em norma for também convergente.

Exemplo

• O espaço de Hilbert das funções quadrado-somável no intervalo $[0,1]\,$, $L^2[0,1]\,$ munido de sua norma:

$\|f\|_{L^2}=\left(\int_{0}^{1}|f(t)|^2dt\right)^{1/2}$

é um dos espaços mais importantes da matemática aplicada à teoria do processamento de sinais analógicos. Neste espaço, todo elemento pode ser escrito como uma série de Fourier:

$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{i\pi n t}dt,~~c_n=\int_{0}^{1}f(t)e^{-i\pi n t}dt\,$

• Considere o espaço de Banach das funções contínuas definidas no intervalo $K=[0,1]\,$, munidas da norma do supremo. Convergência neste espaço equivale a convergência uniforme.

Referências

• Guidorizzi, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo, vol 4. 5^aedição. São Paulo: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 2002.
• Ávila, Geraldo Severo de Souza. Introdução à análise matemática. 2^aedição. São Paulo: Edgard Blucher, 1999.
• Bartle, Robert Gardner. The elements of real analysis. 2^aedição. New York: Wiley, 1976.
• Rezende, Antonio. Curso de filosofia 5^aedição. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Editor / SEAF, 1992.
• Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis. 3^aedição. Auckland: Mcgraw-Hill, 1976.
• Simmons, George F.. Cálculo com geometria analítica, vol 2. 1^aedição. São Paulo: McGraw-Hill Ltda, 1987.