Série (matemática)

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Em matemática, o conceito de série, ou ainda, série infinita, surgiu da tentativa de generalizar o conceito de soma para uma sequência de infinitos termos.

Esta generalização, longe de acontecer de forma impune, traz diversas dificuldades:

  • nem sempre é possível definir um valor resultante da soma para uma série;
  • não é possível em geral trocar a ordem dos termos da série;
  • algumas séries possuem soma infinita.

Embora a ideia de soma infinita seja bastante antiga, uma formulação matemática rigorosa só veio a surgir no século XVIII, com o advento da análise real, que denota e define uma série de termos a_1,a_2,a_3,\ldots\, da seguinte forma:

\sum_{n=1}^{\infty}a_n:= \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N} a_n\,

A teoria das séries divergentes generaliza este conceito de soma para alguns casos quando este limite não existe.

Um primeiro exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere a dízima periódica que resulta da divisão de 1 por 3:

\frac{1}{3}= 0,3333\ldots

Esta dízima pode ser reinterpretada como a soma da série:

0,3+0,03+0,003+0,0003+0,00003+\ldots\,

E neste caso, dizemos que a soma desta série é \frac{1}{3}

Notação[editar | editar código-fonte]

Cauchy formaliza o estudo das séries.

Se forem a_1, a_2, a_3,\ldots,a_n,\ldots\, os termos da sequência que desejamos somar. A soma S da série será:

S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n\,

No exemplo anterior, temos a_n=3\cdot 10^{-n}, que forma uma progressão geométrica de razão 10^{-1}.

Chamamos de soma parcial até o termo N, S_N a soma dos N primeiros termos de uma série:

S_N=\sum_{n=1}^N a_n = a_1+a_2+\ldots+a_N

Definição[editar | editar código-fonte]

Define-se a soma S de uma série infinita, o limite das somas parciais quando este limite existe:

S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N a_n =\lim_{N\to\infty}S_N

Quando este limite existe, definímos ainda o resíduo de ordem n da série, pela seguinte série:

R_N=\sum_{n=N+1}^{\infty}a_n

Esta definição nos permite escrever:

S=S_N+R_N\, para todo N\ge 1

A soma parcial pode, portanto, ser interpretada como uma aproximação para a soma da série, enquanto que o resíduo é o erro desta aproximação.

É claro que:

\lim_{N\to\infty}R_N = \lim_{N\to\infty}(S-S_N)=S-S=0

Aspectos históricos[editar | editar código-fonte]

A consideração de somas infinitas é um problema estreitamente ligado ao problema da passagem ao limite. A falta por longo período de conceitos adequados e de uma teoria razoável levou os matemáticos a numerosas especulações e paradoxos a respeito da natureza das séries infinitas, a exemplo do paradoxo de Zenão.

O paradoxo de Zenão segundo Aristóteles em Fisica VI, 239 b 9 ss consiste basicamente em decompor o movimento em um número infinito de partes. Pressupondo de que é impossível realizar infinitos movimentos em tempo finito, o deslocamento torna-se impossível. O experimento mental tradicional propõe uma competição entre o herói Aquiles e uma tartaruga. A tartaruga parte com uma vantagem inicial. É impossível que Aquiles alcance a tartaruga, porque, quando Aquiles atinge a posição inicial da tartaruga (A), ela já avançou para o ponto (B). Quando Aquiles chega ao ponto B, a tartaruga já está em C e assim até o infinito.

O matemático e astrônomo Madhava foi o primeiro, no século XIV, a considerar tais séries. Seus trabalhos receberam continuidade por seus sucessores da escola de Kerala, região ao sul da Índia e foram registrados no livro Yuktibhasa. Madhava se dedica ao estudo das funções trigonométricas, propondo-lhe desenvolvimento em séries de Taylor e em séries trigonométrica. Ele utiliza esses conceitos para o cálculo de aproximações (notavelmente para estimar o valor numérico da constante \pi) e estabelece estimativas para o erro assumido. Também introduz os primeiros critérios de convergência.

No século XVII, James Gregory redescobre vários desses resultados, em especial o desenvolvimento de séries trigonométricas em séries de Taylor e sua série que permita calcular o valor numérico de \pi. Em 1715, Brook Taylor, ao publicar a construção geral das séries que recebem seu nome, estabelece uma frutífera ligação da teoria de séries infinitas com o cálculo diferencial.

No século XVIII, Leonhard Euler estabelece numerosas relações sobre séries, calcula diversas somas notáveis e introduz o conceito de série hipergeométrica.

A teoria das séries infinitas se estabelece finalmente com o advento da análise matemática ao longo dos séculos XVIII e XIX com os trabalhos sobretudo de Augustin Louis Cauchy.

Classificação quanto à convergência [1] [editar | editar código-fonte]

Nome Limite \sum_{n=1}^{\infty}a_n existe? Limite \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| existe? Exemplo deste tipo de série
Série convergente (seus termos formam uma sequência dita somável) absolutamente convergente Sim e é finito Sim e é finito \sum_{n=1}^{\infty} a^n, \forall |a| <1
condicionalmente convergente Sim e é finito Não existe A soma \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} converge, mas se a tomarmos em módulo teremos uma soma divergente
Série divergente Não existe ----- Os somatórios \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} e \sum_{n=1}^{\infty}n divergem.
Série oscilante Não ------
  • Obs.: Alguns autores, sobretudo fora do escopo da análise real ou na teoria das séries divergentes, definem como série divergente toda aquela que não é convergente.

Convergência e divergência de séries[editar | editar código-fonte]

Diversos são os teoremas para provar que determinada série numérica converge ou diverge, esses costumam ser chamados de testes (ou critérios), eis alguns exemplos:

Termos positivos[editar | editar código-fonte]

Teste da integral[editar | editar código-fonte]

O teste da integral é um método para estabelecer a convergência de um série comparando a soma de seus termos à integral de uma função adequada.

Seja \sum_{n=1}^{\infty}a_n uma série de números positivos e f(x):[1,\infty]\to\mathbb{R} uma função com as seguintes propriedades:

Então \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge se e somente se \int_{1}^{\infty}f(x)dx converge.

Teste da comparação do limite (2º Critério de Comparação)[editar | editar código-fonte]

O teste da comparação do limite é uma generalização do teste da comparação. Sejam \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} e \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} séries de termos positivos. Então:

  • Se \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n}{b_n}=C, sendo C um número e 0<C<\infty, temos:
ambas as séries divergem ou ambas as séries convergem.

Obs.: Se C=0, então:

Se {b_n} é convergente → {a_n} é convergente.

Este teste admite uma ligeira modificação através do uso do limite superior:

  • Se \limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}<\infty, temos que:
Se {b_n} é convergente → {a_n} é convergente.

Critério da comparação de razões[editar | editar código-fonte]

O critério da comparação de razões serve como base para muitos dos critérios utilizados para estudar convergência e divergência de séries. Este é sugerido pela lógica da progressão geométrica.

Sejam as séries de termos positivos \sum_{k=1}^{\infty}a_{k} e \sum_{k=1}^{\infty}b_{k}, imaginemos que existe um número natural p tal que, para k\geq p, temos:

  • \frac{a_{k+1}}{a_k}\leq\frac{b_{k+1}}{b_k}

Então

  •  \sum_{k=1}^{\infty}b_{k} convergente ⇒  \sum_{k=1}^{\infty}a_{k} convergente;
  •  \sum_{k=1}^{\infty}a_{k} divergente ⇒  \sum_{k=1}^{\infty}b_{k} divergente;

Teste da divergência[editar | editar código-fonte]

O teste da divergência ou teste do termo geral estabelece que uma série numérica não pode convergir se o seu termo geral não converge para zero. Ou seja:

Se \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge, então seu termo geral a_n converge para zero.

Observe cuidadosamente que a recíproca não é verdadeira, um contra-exemplo simples é a série harmônica:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}

onde o termo geral \frac{1}{n} tende a zero, mas a soma diverge.

Teste da comparação (1º Critério de Comparação)[editar | editar código-fonte]

O teste da comparação estabelece um critério para convergência de séries de termos positivos, ou para a convergência absoluta. Sejam as séries:

  • \sum_{n=1}^{\infty}a_n
  • \sum_{n=1}^{\infty}b_n

Então se 0\leq a_n\leq b_n e se a segunda série converge a primeira também converge (e a soma não é superior). Ou ainda, se a primeira diverge a segunda também deve divergir. Podemos também estabelecer que se |a_n|\leq b_n, então a primeira série converge contanto que a segunda também convirja.

Teste da razão (critério de d'Alembert)[editar | editar código-fonte]

O teste da razão ou teste de d'Alembert é um teste para saber a convergência ou não de uma série comparando-a com a série geométrica.

Seja \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} uma série de termos não nulos.

E suponha que exista o limite \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L

Então

  •  L<1 \!, a série é absolutamente convergente (portanto convergente);
  •  L>1 \! ou  L = \infty\! ou \! L = 1^+ \!, a série é divergente;
  •  L=1^- \!, o teste é inconclusivo.

Teste da raiz (critério de Cauchy)[editar | editar código-fonte]

O teste da raiz ou teste de Cauchy é outro teorema que permite estabelacer a convergência de uma série. Ele pode também ser aplicado para estudar a convergência de uma série de funções e permite estabelecer o raio de convergência de uma série de Taylor.

Seja \sum_{n=1}^{\infty} a_n uma série numérica e a constante k definida pelo limite:

  • k=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}

Então:

  • Se k <1, a série converge absolutamente
  • Se k > 1 ou  k = 1^+, a série não converge
  • Se k = 1^-, nada se pode concluir

No caso de o limite não existir, este teste ainda é válido, substituindo a definição de k por:

  • k=\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}

Séries de termos quaisquer[editar | editar código-fonte]

Teste da série alternada (critério de Leibniz)[editar | editar código-fonte]

ou Critério de Leibniz

Testes de Abel e Dirichlet[editar | editar código-fonte]

O teste de Abel e o teste de Dirichlet demonstram a convergência de séries numéricas que podem ser escritas na forma:

\sum_{n=1}^{\infty}a_n b_n

quando os coeficiente b_n\, forma uma sequência monotônica com limite b_\infty\,.

O teste de Abel garante a convergência de \sum_{n=1}^{\infty}a_n b_n quando \sum_{n=1}^{\infty}a_n é convergente. Já o teste de Dirichet se aplica quando b_\infty=0\,, mas exige apenas que as somas parcial sejam limitadas:

\left|\sum_{n=1}^{N}a_n\right|\leq M

Tipos importantes de séries[editar | editar código-fonte]

Série geométrica[editar | editar código-fonte]

A série geométrica formada pelos termos de uma progressão geométrica:

\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}

Da teoria das progressões geométricas, temos que:

\sum_{n=1}^{N}r^{n} = \frac{r-r^{N+1}}{1-r} = \frac{r}{1-r}- \frac{r^{N+1}}{1-r}

É facil ver que se |r|<1 então esta série é convergente e sua soma é dada por:

\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}=\frac{r}{1-r}

ou, como é mais usual:

\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=\frac{1}{1-r}

Série harmônica[editar | editar código-fonte]

A série harmônica formada pelos termos de uma progressão harmônica:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}

Esta série é divergente, o que pode ser provado com a seguinte astúcia:

\frac{1}{n}=\int_{n}^{n+1}\frac{1}{n}dx > \int_{n}^{n+1}\frac{1}{x}dx = \ln(n+1)-\ln(n)

e substitua nas somas parciais:

\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}>\sum_{n=1}^N\left(\ln(n+1)-\ln(n)\right) =
\left(\ln(2)-\ln(1)\right)+
\left(\ln(3)-\ln(2)\right)+
\ldots+
\left(\ln(N+1)-\ln(N)\right)

Simplificando os termos repetidos temos:

\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}>\ln(N+1)\to\infty,~~N\to\infty

Série alternada[editar | editar código-fonte]

Chama-se série alternada toda a série da forma: S=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n\, ~~a_n\ge 0 Um exemplo de série alternada é: \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n} = \ln(2), que a despeito da série harmônica, converge. Para verificar a convergência de séries alternadas, existe o teste da série alternada.

Série telescópica (de Mengoli)[editar | editar código-fonte]

Chame-se série telescópica toda série cujos termos a_n\, possam ser escritos como:

a_n= b_{n}-b_{n+1}\,, onde b_n é outra progressão numérica.

Um exemplo de série telescópica é

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}

Observe que aqui

a_n=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=b_{n}-b_{n+1}

É fácil ver que:S_N=\sum_{n=1}^N(b_{n}-b_{n+1})=b_1-b_{N+1} e, portanto: \sum_{n=1}^\infty a_n é convergente se e somente se existe o limite \lim_{n\to\infty}b_n

Constantes definidas por séries[editar | editar código-fonte]

Algumas constantes matemáticas são mais frequentemente definidas diretamente através de uma série, este é o caso de:

B_2 = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right)
+ \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right)
+ \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right)
+ \left(\frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right)
+ \left(\frac{1}{29} + \frac{1}{31}\right) + \cdots
Essa série é convergente, em contraste com a série dos inversos dos primos, que é divergente:
B_1 = \frac{1}{2}+\frac{1}{3} + \frac{1}{5}
+ \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{17} + \frac{1}{19} + \cdots = \infty

Rearranjo de termos[editar | editar código-fonte]

Sejam os termos a_n\, de uma série. Definimos um rearranjo dos termos uma nova sequência com os mesmos termos a_{\sigma(n)}\, onde \sigma(n)\, é uma permutação.

  • Pode-se mostrar que se uma série converge absolutamente, então pode-se rearranjar os termos sem alterar a soma.
  • Se uma série de números reais é condionalmente convergente mas não absolutamente convergente, então cada cada soma pré-fixada S\,, existe um rearranjo de termos tal que a soma da série rearranjanda é S\,.

Funções definidas por séries[editar | editar código-fonte]

Um procedimento bastante comum em análise matemática é o de definir funções atráves de séries. Veja o exemplo:

\zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^x}

Se x\, é um número real maior que 1\, então esta função está bem definida, o que pode ser mostrado pelo teste da integral (veja série harmônica). Um caso importante é \zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}. Se x\, é um número complexo, esta função é a famosa função zeta de Riemann a respeito da qual há um dos mais importantes problemas em aberto da matemática moderna. Quanto os termos da série são potências, então a série é dita uma série de Taylor, por exemplo:

S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\,

Séries duplas[editar | editar código-fonte]

Defíne-se como série dupla o limite duplo a seguir:

\sum_{i,j=1}^{\infty}a_{ij}:=\lim_{N_i,N_j\to\infty}\sum_{i=1}^{N_i}\sum_{j=1}^{N_j}a_{ij}\,

Exemplos de séries duplas[editar | editar código-fonte]


\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+
\sum_{m^2+n^2 \ne 0}
\left\{
\frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}-
\frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2}
\right\}.

Série iteradas[editar | editar código-fonte]

Chama-se série iterada aquela cujos termos são outras séries:

  • \sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^\infty a_{ij}=\sum_{i=1}^{\infty}S_i,~~S_i=\sum_{j=1}^\infty a_{ij}\,

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • \sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{2^i+3^j}\,

Também podemos construir séries de somas finitas:

  • \sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{i}\frac{1}{2^i}=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{i}{2^i}\,

Sequência dos termos de uma série[editar | editar código-fonte]

Seja \{a_n\}_{n=1}^{\infty}\, uma sequência real ou complexa e p\geq 1\,, dizemos que \{a_n\}_{n=1}^{\infty}\, pertence ao espaço lp se:

\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|^p\, converge.

Generalizações em espaços normados[editar | editar código-fonte]

Seja X\, um espaço normado, \{a_n\}_{n=1}^{\infty}\subseteq X\,, definimos de forma análoga:

S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N a_n, quando este limite existe.

A série é somável em norma se

\sum_{n=1}^{\infty}\|a_n\| converge.

Nestes termos, X\, é um espaço de Banach se e somente se todo série somável em norma for também convergente.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

\|f\|_{L^2}=\left(\int_{0}^{1}|f(t)|^2dt\right)^{1/2}

é um dos espaços mais importantes da matemática aplicada à teoria do processamento de sinais analógicos. Neste espaço, todo elemento pode ser escrito como uma série de Fourier:

f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{i\pi n t}dt,~~c_n=\int_{0}^{1}f(t)e^{-i\pi n t}dt\,

Referências

  1. LIMA, Elon Lages. Curso de An[alise volume 1. Rio de Raneiro, 11ª edição, 2004. Páginas 134-5
  • Guidorizzi, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo, vol 4. 5aedição. São Paulo: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 2002.
  • Ávila, Geraldo Severo de Souza. Introdução à análise matemática. 2aedição. São Paulo: Edgard Blucher, 1999.
  • Bartle, Robert Gardner. The elements of real analysis. 2aedição. New York: Wiley, 1976.
  • Rezende, Antonio. Curso de filosofia 5aedição. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Editor / SEAF, 1992.
  • Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis. 3aedição. Auckland: Mcgraw-Hill, 1976.
  • Simmons, George F.. Cálculo com geometria analítica, vol 2. 1aedição. São Paulo: McGraw-Hill Ltda, 1987.