Integral de Riemann

No ramo da matemática conhecido como análise real, a integral de Riemann, criada por Bernhard Riemann, foi a primeira definição rigorosa de uma integral de uma função em um intervalo. Enquanto a integral de Riemann é inadequada para muitos propósitos teóricos, ela é uma das definições mais fáceis de integral. Algumas deficiências destas técnicas podem ser remediadas pela integral de Riemann-Stieltjes, e a maioria delas desaparece na integral Lebesgue.

Visão geral

Figura 2

Seja $f(x)$ uma função não negativa válida para os números reais do intervalo $[a,b]$, e seja $S = \{ (x, y); 0 < y < f(x) \}$ uma região plana sob a função $f(x)$ e acima do intervalo $[a,b]$ (veja a figura 2). O nosso interesse é medir a área de $S$. Uma vez realizada esta medição, iremos denotá-la por:

$\int \limits_{a}^{b} f(x)\, dx$

A ideia básica de integral de Riemann é muito simples de usar e não deixa ambiguidade para a área de $S$. Para se ter uma aproximação cada vez melhor, nós podemos dizer que "no limite" iremos obter exatamente a área de $S$ sob a curva.

Note que onde $f$ pode ser positivo e negativo, a integral corresponde à "área com sinal"; isto é, a área acima do eixo $x$ é positiva e a área abaixo do eixo $x$ negativa.

Uma soma de Riemann. O número na parte superior representa a soma das áreas dos retângulos azuis. O valor converge para o integral da função.

Definição da integral de Riemann

Partições de um intervalo

Uma partição de um intervalo $[a,b]$ é uma sequência finita $a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b$. Cada $[x_i, x_{i+1}]$ é denominado como um sub-intervalo da partição. A malha de uma partição é definida como o comprimento do mais longo sub-intervalo $[x_i,x_{i+1}]$, isto é, aquele em que $\max (x_{i+1}-x_i)$ onde $0 \le i \le n - 1$. Isto também é conhecido como norma de partição.

Uma partição de um intervalo etiquetado é uma partição de um intervalo juntamente com uma sequência finita de números $t_0, \ldots, t_{n-1}$ sujeito a condição que para cada $i$, $x_i \le t_i \le x_{i+1}$. Em outras palavras, isto é uma partição juntamente com um ponto distinto para cada sub intervalo. A malha de uma etiqueta é definida da mesma forma que para uma partição ordinária.

Suponha que $x_0,\ldots,x_n$ juntamente com $t_0,\ldots,t_{n-1}$ são uma partição etiquetada de $[a, b]$, e que $y_0,\ldots,y_m$ juntamente com $s_0,\ldots,s_{m-1}$ seja uma outra partição etiquetada de $[a,b]$. Nos poderemos dizer que $y_0,\ldots,y_m$ e $s_0,\ldots,s_{m-1}$ juntas são um refinamento da $x_0,\ldots,x_n$ juntamente com $t_0,\ldots,t_{n-1}$ se para cada inteiro $i$ com $0 \le i \le n$, exista um inteiro $r(i)$ tal que $x_i = y_{r(i)}$ e tal que $t_i = s_j$ para algum $j$ com $r(i) \le j \le r(i+1)$. Falando de uma maneira mais simples, um refinamento de uma partição de etiqueta pega uma partição inicial e adiciona mais etiquetas, mas isto não chega a lugar algum.

Nos podemos definir uma ordem parcial um subconjunto de todas as etiquetas de partição significando que uma etiqueta de partição é maior do que outra se a maior é um refinamento da menor.

Soma de Riemann

Escolha uma função válida para números reais $f$ a qual se encontra definida no intervalo $[a,b]$. A Soma de Riemann de $f$ com respeito a partição denominada $x_0,\ldots,x_n$ com $t_0,\ldots,t_{n-1}$ é:

$\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) (x_{i+1}-x_i)$

Cada termo na soma é o produto do valor da função em um ponto dado e o comprimento do intervalo. Consequentemente, cada termo representa área de um retângulo com a altura $f(t_i)$ e o comprimento $x_{i+1}-x_i$. A soma de Riemann é a área sinalizada de todos os retângulos.

A integral de Riemann

Grosseiramente falando, a integral de Riemann é o limite da soma de Riemann com uma função de partição que se afine cada vez mais. Contudo, o significado preciso a cerca do que significa "cada vez mais fino" é o mais importante.

Um fato importante é que a malha de partição deve ser tornar menor e menor, até que seu limite atinja zero. Se isto não for assim, então não poderemos ter uma boa aproximação para esta função em certos intervalos. De fato, isto é suficientemente bom para definir uma integral. Para ser especifico, nos dizemos que a integral Riemann de $f$ se igualara a $S$ se as seguintes condições foram consideradas:

Para todo $\epsilon > 0$, onde exista $\delta > 0$ tal que para qualquer partição etiquetada $x_0,\ldots,x_n$ e $t_0,\ldots,t_{n-1}$ onde a malha seja menor que $\delta$, nos temos:

$\left|\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) (x_{i+1}-x_i) - s\right| < \epsilon.\,$

Contudo, existe um problema desagradável com esta definição: ela é muito difícil para se trabalhar. Então faremos uma definição alternativa para a integral de Riemann a qual seja mais fácil para se trabalhar, então se prova que esta é a mesma definição que a original. Nossa nova definição diz que a integral de Riemann de $f$ é igual a $s$ se as seguintes condições foram consideradas:

Para todo $\epsilon > 0$, existe uma partição etiquetada $x_0,\ldots,x_n$ e $t_0,\ldots,t_{n-1}$ tal que para qualquer refinamento $y_0,\ldots,y_m$ e $s_0,\ldots,s_{m-1}$ de $x_0,\ldots,x_n$ e $t_0,\ldots,t_{n-1}$, nos teremos

$\left|\sum_{i=0}^{m-1} f(s_i) (y_{i+1}-y_i) - s\right| < \epsilon.\,$

Ambos eventualmente significam, a soma de Riemann de $f$ com respeito para qualquer partição que seja selecionada que leve a se aproximar de $s$. Desde que isto seja verdade, não importa a proximidade que necessitamos que esta soma ira assumir, nos diremos que a soma Riemann convergira para $s$. Esta definição é sempre um caso especial de um conceito mais geral, uma rede.

Como nos estabelecemos antes, estas duas definições são equivalentes. Em outras palavras, $s$ funciona na sua primeira definição se e somente se $s$ funciona na sua segunda definição. Para mostrar que a primeira definição implica a segunda, iniciamos com um $\epsilon$, e escolhemos um $\delta$ que satisfaça a condição. Escolha qualquer partição etiquetada onde a malha é menor que $\delta$. Esta soma Riemann é em dentro $\epsilon$ de $s$, e qualquer refinamento desta partição ira também ter uma grade menor que $\delta$, então a soma de Riemann dos refinamentos ira também estar em $\epsilon$ de $s$. Para mostrar que a segunda definição implica a primeira, isto é facilitado com uso da integral de Darboux. Primeiro mostraremos que a segunda é equivalente a definição da integral de Darboux, para isto veja a integral. Agora nos iremos mostras que a função de integração de Darboux satisfaz a primeira definição. Escolha a partição $x_0, \ldots, x_n$ tal que o limite inferior e superior da soma de Darboux com respeito a esta partição esteja em dentro $\frac{\epsilon}{2}$ do valor $s$ da integral de Darboux. Seja $r$ igual $\max_{0 \le i \le n-1} M_i-m_i$, onde $M_i$ e $m_i$ são o supremum e infimum, respectivamente, de $f$ em $[x_i,x_{i+1}]$, e sendo $\delta$ menor que $\frac{\epsilon}{2rn}$ e $\min_{0 \le i \le n-1} x_{i+1}-x_i$. Então não é difícil de mostrar que a soma de Riemann de $f$ com respeito de qualquer partição etiquetada da grade menor que $\delta$ ira estar em dentro de $\frac{\epsilon}{2}$ da maior ou menor soma de Darboux, então isto estará em dentro de $\epsilon$ de $s$.

Referências

• * Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.

Ver também

• Primitiva
• Integral de Riemann-Stieltjes
• Integral de Henstock–Kurzweil
• Integral de Lebesgue
• Integral de Darboux