Integração por partes

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No cálculo integral, integração por partes é um método que permite expressar a integral de um produto de funções em outra integral. A integração por partes pode ser vista como uma versão integrada da regra do produto.

A fórmula típica é a seguinte:[1] [2]

\int_a^b u(x) v'(x)\,\mathrm dx = \Bigl[u(x) v(x)\Bigr]_a^b - \int_a^b u'(x) v(x) \,\mathrm dx

onde u\, e v\, são funções de classe C1 no intervalo x\in[a,b]\,, ou seja, são diferenciáveis e suas derivadas são contínuas entre a e b. Ou, ainda, de forma mais enxuta:

\int u\,\mathrm dv= uv-\int v\,\mathrm du

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Algumas antiderivadas são facilmente obtidas via integração por partes, então vejamos alguns exemplos:

  • \int x e^{x}dx = xe^{x} - \int e^{x}dx=(x-1)e^x \,

onde escolheu-se u(x)=x\, e dv=e^{x}dx\,.

  • \int_{1}^{2}x\ln(x) dx = \left[\frac{x^2}{2}\ln(x)\right]_{1}^{2} - \frac{1}{2} \int_{1}^{2}xdx\,

mediante  u = \ln(x)\, e  v = \frac{x^2}{2} .

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Um demonstração simples pode ser obtida através da regra do produto:[2]

\frac{d}{dx} (u(x)v(x)) = u(x)\frac{d}{dx}v(x) + v(x)\frac{d}{dx}u(x)\,

integrando esta expressão entre a e b, temos:

\int_a^b\left[\frac{d}{dx} (u(x)v(x))\right]dx = \int_a^b u(x)\frac{d}{dx}v(x)dx + \int_a^b v(x)\frac{d}{dx}u(x)dx\,

Concluímos a demonstração, através do teorema fundamental do cálculo:

\left[u(x)v(x)\right]_{a}^b = \int_a^b u(x)\frac{d}{dx}v(x)dx + \int_a^b v(x)\frac{d}{dx}u(x)dx\,.

Por fim, observamos que dv = v'(x)dx e du = u'(x)dx.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Anton, Howard. Cálculo - Volume 1. 10. ed. [S.l.]: Bookman, 2014. ISBN 9788582602256.
  2. a b Stewart, James. Cálculo - Volume 1. 7. ed. [S.l.]: Cengage, 2013. ISBN 9788522112586.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Ávila, Geraldo Severo de Souza. Introdução à análise matemática. 2aedição. São Paulo: Edgard Blucher, 1999.
  • Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis. 3aedição. Auckland: Mcgraw-Hill, 1976.