Cálculo matricial

Topicos em Cálculo

Teorema fundamental Limite de uma função Continuidade Teorema do valor médio Cálculo  Derivada Mudança de variáveis Funções implícitas e explícitas Teorema de Taylor Taxas relacionadas Regras e identidades: Regra do produto, Regra do quociente, Regra da cadeia Integral  Integral Tábua de integrais Integrais impróprias Integração por: partes, substituição trigonométrica, frações parciais, Ordem de integração Cálculo vetorial  Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Cálculo multivariável  Cálculo matricial Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana

Na matemática, o Cálculo matricial é uma notação especial para tratar o cálculo multivariado, especialmente em espaços de matrizes, onde está definida a derivada de uma matriz.

Esta notação é conveniente para descrever sistemas de equações diferenciais e para calcular o diferencial de funções de matrizes.

Esta notação é utilizada em Estatística e Engenharia; físicos preferem usar a notação de Einstein.

O princípio básico desta notação é tratar cada vetor como uma matriz coluna, e identificar uma matriz 1x1 com o escalar.

Notação

M(n,m) representa o espaço das matrizes reais nxm. Seus elementos serão representados como letras maiúsculas em negrito: F, X, Y, etc.

Um elemento de M(n,1), ou seja, um vetor coluna, será representado por letras minúsculas em negrito: x

Um elemento de M(1,n), ou seja, um vetor linha, será representado como o transposto de um vetor coluna, ou seja, x^T.

Os elementos de M(1,1) são identificados como os escalares, e representados por letras minúsculas em itálico: a, b, c, f, t etc.

Por padrão, as funções são supostas de class C¹.

Diferencial em relação a um vetor

Por esta notação, o diferencial em relação a um vetor se comporta, formalmente, como o vetor:

$\frac {\partial}{\partial x} = \begin{bmatrix} \frac {\partial} {\partial x_1} & \frac {\partial} {\partial x_2} & \ldots & \frac {\partial} {\partial x_n} \end{bmatrix}$

De modo que a derivada de um vetor y_{m x 1} em relação a outro vetor x_{n x 1} poderia ser formalmente escrita como uma multiplicação matricial do vetor-linha $\frac {\partial}{\partial x}\,$ pelo vetor-coluna y:

$\frac {\partial y}{\partial x} = \frac {\partial} {\partial x} y = \begin{bmatrix} \frac {\partial} {\partial x_1} & \frac {\partial} {\partial x_2} & \ldots \frac {\partial} {\partial x_n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \ldots \\ y_m \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac {\partial y_1} {\partial x_1} & \frac {\partial y_1} {\partial x_2} & \ldots & \frac {\partial y_1} {\partial x_n} \\ \frac {\partial y_2} {\partial x_1} & \frac {\partial y_2} {\partial x_2} & \ldots & \frac {\partial y_2} {\partial x_n} \\ \ldots \\ \frac {\partial y_m} {\partial x_1} & \frac {\partial y_m} {\partial x_2} & \ldots & \frac {\partial y_m} {\partial x_n} \end{bmatrix}$

Ligações externas

• Tópicos sobre cálculo matricial, Artur Ferreira e Paulo Marques.
• Linear Algebra: Determinants, Inverses, Rank appendix D from Introduction to Finite Element Methods book on University of Colorado at Boulder. Uses the Hessian (transpose to Jacobian) definition of vector and matrix derivatives.(em inglês)
• Matrix Reference Manual, Mike Brookes, Imperial College London.(em inglês)
• The Matrix Cookbook, with a derivatives chapter. Uses the Hessian definition.(em inglês)
• Linear Algebra and its Applications (author information page; see Chapter 9 of book), Peter Lax, Courant Institute.(em inglês)
• Matrix Differentiation (and some other stuff), Randal J. Barnes, Department of Civil Engineering, University of Minnesota.
• Notes on Matrix Calculus, Paul L. Fackler, North Carolina State University.(em inglês)
• Matrix Differential Calculus (slide presentation), Zhang Le, University of Edinburgh.(em inglês)
• Introduction to Vector and Matrix Differentiation (notes on matrix differentiation, in the context of Econometrics), Heino Bohn Nielsen.(em inglês)
• A note on differentiating matrices (notes on matrix differentiation), Pawel Koval, from Munich Personal RePEc Archive.
• Vector/Matrix Calculus More notes on matrix differentiation.(em inglês)
• Matrix Identities (notes on matrix differentiation), Sam Roweis.(em inglês)