Cálculo matricial

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Na matemática, o Cálculo matricial é uma notação especial para tratar o cálculo multivariável, especialmente em espaços de matrizes, onde está definida a derivada de uma matriz.

Esta notação é conveniente para descrever sistemas de equações diferenciais e para calcular o diferencial de funções de matrizes.

Esta notação é utilizada em Estatística e Engenharia; físicos preferem usar a notação de Einstein.

O princípio básico desta notação é tratar cada vetor como uma matriz coluna, e identificar uma matriz 1x1 com o escalar.

Notação[editar | editar código-fonte]

M(n,m) representa o espaço das matrizes reais nxm. Seus elementos serão representados como letras maiúsculas em negrito: F, X, Y, etc.

Um elemento de M(n,1), ou seja, um vetor coluna, será representado por letras minúsculas em negrito: x

Um elemento de M(1,n), ou seja, um vetor linha, será representado como o transposto de um vetor coluna, ou seja, xT.

Os elementos de M(1,1) são identificados como os escalares, e representados por letras minúsculas em itálico: a, b, c, f, t etc.

Por padrão, as funções são supostas de class C¹.

Diferencial em relação a um vetor[editar | editar código-fonte]

Por esta notação, o diferencial em relação a um vetor se comporta, formalmente, como o vetor:

\frac {\partial}{\partial x} = \begin{bmatrix}
  \frac {\partial} {\partial x_1} & \frac {\partial} {\partial x_2} & \ldots & \frac {\partial} {\partial x_n} \end{bmatrix}

De modo que a derivada de um vetor ym x 1 em relação a outro vetor xn x 1 poderia ser formalmente escrita como uma multiplicação matricial do vetor-linha \frac {\partial}{\partial x}\, pelo vetor-coluna y:

\frac {\partial y}{\partial x} = \frac {\partial} {\partial x} y = \begin{bmatrix}
  \frac {\partial} {\partial x_1} & \frac {\partial} {\partial x_2} & \ldots \frac {\partial} {\partial x_n}
  \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
  y_1 \\ y_2 \\ \ldots \\ y_m \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
  \frac {\partial y_1} {\partial x_1} & \frac {\partial y_1} {\partial x_2} & \ldots & \frac {\partial y_1} {\partial x_n} \\
  \frac {\partial y_2} {\partial x_1} & \frac {\partial y_2} {\partial x_2} & \ldots & \frac {\partial y_2} {\partial x_n} \\
  \ldots \\
  \frac {\partial y_m} {\partial x_1} & \frac {\partial y_m} {\partial x_2} & \ldots & \frac {\partial y_m} {\partial x_n} \end{bmatrix}

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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