Divergência

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Em cálculo vetorial, o operador divergência[nota 1] é um operador que mede a magnitude de "fonte" ou "poço/sorvedouro" de um campo vetorial em um dado ponto, isto é, ele pode ser entendido como um escalar que mede a dispersão ou divergência dos vetores do campo num determinado ponto.

Por exemplo, considere o volume de ar de uma sala sendo aquecido ou resfriado. O campo vetorial, neste caso, é a velocidade do ar se movendo. Se o ar é aquecido em uma determinada região, ele irá se expandir em todas as direções, então a divergência do campo de velocidade nesta região será positivo pois, se observarmos um pequeno volume nessa região, teremos mais ar saindo do que entrando nesse volume. Se o ar resfria e se contrai, o divergência é negativo pois há, na região, uma convergência de ar: teremos mais ar entrando do que saindo neste pequeno volume.

Definição[editar | editar código-fonte]

O operador divergência é definido como a variação do fluxo líquido do campo vetorial através de uma superfície de um volume em uma região.

\operatorname{div}\,\mathbf{F} = 
\lim_{V \rightarrow 0}
\iint_{S(V)} {\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} \over V } \; dS

Onde V é o volume de uma região arbitrária em R3 que inclui um ponto P, S(V) é a superfície da região, a integral é a integral de superfície e n o vetor normal a área.

O resultado é uma função : f : R^3 \mapsto R da localização do ponto P. Esta função pode ser vista como um campo escalar e em cada ponto tem-se o valor da divergência.

Aplicação ao sistema de coordenadas[editar | editar código-fonte]

Seja x, y, z um sistema de coordenadas cartesianas em um espaço euclidiano tridimensional, e seja ijk as bases dos vetores unitários.

A divergência de um campo vetorial continuamente diferenciável F = Fx i + Fy j + Fz k é definido como o:

\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F}
=\frac{\partial F_x}{\partial x}
+\frac{\partial F_y}{\partial y}
+\frac{\partial F_z}{\partial z}.

Embora expresso em termos de coordenadas, o resultado é invariante sob transformações ortogonais.

A notação comum para a divergência ·F é um conveniente mnemônico, onde o ponto denota o produto interno (não se trata do gradiente em si).

Generalizações[editar | editar código-fonte]

A divergência de um vetor pode ser definido como um número qualquer de dimensões. Se

\mathbf{F}=(F_1, F_2, \dots, F_n),

então

\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F}
=\frac{\partial F_1}{\partial x_1}
+\frac{\partial F_2}{\partial x_2}+\cdots 
+\frac{\partial F_n}{\partial x_n}.

A noção de divergência pode ser estendida ainda para um sistema de coordenadas curvilíneas ortogonal, de dimensão 3, como [2]

\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \left[ 
\frac{\partial}{\partial q_1} \left( h_{2}h_{3}F_1 \right)
+\frac{\partial}{\partial q_2}  \left( h_{1}h_{3}F_2 \right) 
+\frac{\partial}{\partial q_3}  \left( h_{1}h_{2}F_3 \right) \right].

onde

q_{i} é a i-ésima coordenada
h_{i} é o fator de escala associada i-ésima coordenada

Notas

  1. Também referenciado como operador divergente, ou simplesmente divergente em diversos livros-textos. Apesar disso, o uso dessas expressões não é recomendada.[1]

Referências

  1. LEMOS, Nivaldo. A Intrigante Epidemia do “Divergente”, Revista Brasileira de Ensino de Física. São Paulo: Sociedade Brasileira de Física. vol. 25 nº.4, 2003.
  2. Martins, E. R. e Capelas de Oliveira, E.. Equações diferenciais, método de separação de variáveis e os sistemas de Stäckel. Campinas (SP): Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica, 2006.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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