Gradiente

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No cálculo vetorial o gradiente (ou vetor gradiente) é um vetor que indica o sentido e a direção na qual, por deslocamento a partir do ponto especificado, obtém-se o maior incremento possível no valor de uma grandeza a partir da qual se define um campo escalar para o espaço em consideração. Constrói-se assim, a partir do campo escalar e de um operador denominado operador gradiente, um campo vetorial, que atrela a cada ponto do espaço o correspondente vetor gradiente para a grandeza em consideração.

O módulo do vetor gradiente indica a taxa de variação da grandeza escalar com relação à distância movida quando desloca-se na direção e sentido do vetor gradiente (deslocamentos infinitesimais).

O campo vetorial e o operador gradientes possuen diversas aplicações em matemática e ciências naturais, indo desde o cálculo de derivadas direcionais à maximização das mesmas. A exemplo, a partir do gradiente do potencial elétrico determina-se o campo elétrico; e a partir do gradiente da energia potencial determina-se o campo de força associado.

Definição[editar | editar código-fonte]

Dois exemplos de gradiente. Em cada caso o valor da função é indicado pela escala de cinzas.

O vector gradiente ou simplesmente gradiente de um campo escalar f_{(x_1, x_2, \cdots, x_n)} é determinado via ênupla ordenada definida por:

\mbox{grad} \, f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \cdots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right\rangle

ou, via notação de soma de Euler, por:

\mbox{grad} \, f = \sum^i \frac{\partial f}{\partial x_i} \hat e_i

onde  \hat e_i são os vetores unitários ortogonais que definem a base a partir da qual se coordena o espaço e \frac{\partial }{\partial x_i} representa o respectivo operador derivada parcial.

Já na notação de soma de Einstein, onde índices repetidos no mesmo fator implicam somatório, para o campo escalar φ:

\mbox{grad} \, \varphi = \partial_i \varphi \cdot \hat e_i

O símbolo nabla foi introduzido por William Hamilton e rapidamente assimilado pela comunidade científica:

\nabla \overrightarrow f_{(x_1, \dots, x_n)} = \mbox{grad} \, f

No entanto, por abuso de linguagem, é comum não se indicar a "seta" de vector e a notação poderá torna-se em:

\nabla f = \mbox{grad} \, f =D_f

O gradiente também pode ser generalizado em ordem – se fornecemos um campo vectorial obtemos um campo tensorial.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Para a função escalar

f_{\!\left( x, y, z \right)} = 4x + 10y^2 - \sin z

tem-se, na base cartesiana  \hat i, \hat j, \hat k

\mbox{grad} \, f = \frac{\partial (4x + 10y^2 - \sin z)}{\partial x} \hat i + \frac{\partial (4x + 10y^2 - \sin z)}{\partial y} \hat j + \frac{\partial (4x + 10y^2 - \sin z)}{\partial z} \hat k

que fornece por resposta a ênupla

\vec \nabla f = \left\langle 4; 20y ; - \cos z \right\rangle

ou explicitamente

\vec \nabla f = (4) \hat i  + (20y) \hat j + (- \cos z) \hat k


para qualquer ponto definido pelas coordenadas \left( x, y, z \right), restando apenas a substituição dos respectivos valores x, y e z na expressão acima.

Expressões[editar | editar código-fonte]

Para todo campo escalar f diferenciável em função do espaço cartesiano \vec x = \left\langle x, y, z \right\rangle temos que:

\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right\rangle

O gradiente é a derivada de um campo em função do espaço:

\nabla f = \frac{\partial f}{\partial \vec x}

Em uma só dimensão o gradiente de uma função que só depende do espaço:

\nabla f = \frac{df}{dx}

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Linearidade[editar | editar código-fonte]

O gradiente é linear:

\nabla \left( \alpha f + \beta g \right) = \alpha \nabla f + \beta \nabla g   \qquad   \left( \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}^2 \right)

Onde \mathbb{F} é um corpo constante.

Lei de Leibniz[editar | editar código-fonte]

O gradiente segue as Lei de Leibniz na multiplicação:

\nabla \left( f \cdot g \right) = f \nabla g + g \nabla f

E na divisão:

\nabla \left( f / g \right) = \frac{g \nabla f - f \nabla g}{g^2}   \qquad   \left( g \neq 0 \right)

Ortogonalidade às curvas de nível[editar | editar código-fonte]

O vector gradiente sempre será ortogonal às curvas de nível (veja no artigo "Conjunto de nível"). Seja f(x\,, y) uma função definida em D \subset \mathbb{R}^2 e diferenciável em todo seu domínio.

Seja o conjunto C: \{(x,y)\in D | f(x,y)=k \} onde x e y são funções de um parâmetro t tal que x(0)=x_{0}\,, y(0)=y_{0}.

Então, temos:

f(x(t)\,, y(t))=k (diferenciando com relação a t pela regra da cadeia)

\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}=0

A equação final pode ser interpretada como o produto escalar do gradiente de f por um vector tangente a f em (x_{0}\,, y_{0}), logo os dois são perpendiculares entre si.

Teorema do gradiente[editar | editar código-fonte]

O gradiente é revertido pelo integral de linha de acordo com o teorema do gradiente, que é análogo ao teorema fundamental do cálculo:

 \Delta f = f_Q - f_P = \int^{\gamma_Q}_{\gamma_P} \nabla f \cdot \vec{d\gamma}

Derivada direcional[editar | editar código-fonte]

A derivada direcional é um escalar que representa a derivada dum campo escalar ao longo de um versor (no caso abaixo, \hat u).

\forall \hat u \quad D\!_{\hat u}\,f = \hat u \cdot \nabla f

Sistemas de coordenadas[editar | editar código-fonte]

O gradiente é escrito nos diferentes sistemas de coordenadas tridimensionais nas seguintes formas:

Coordenadas cartesianas[editar | editar código-fonte]

\nabla \, f = \frac{\partial f}{\partial x} \hat e_x + \frac{\partial f}{\partial y} \hat e_y + \frac{\partial f}{\partial z} \hat e_z

Para coordenadas espaciais x, y e z.

Coordenadas cilíndricas circulares[editar | editar código-fonte]

\nabla \, f = \frac{\partial f}{\partial \rho} \hat e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \phi} \hat e_\phi + \frac{\partial f}{\partial z} \hat e_z

Onde \rho representa a distância ao eixo z,  \phi é o ângulo (tomado, em geral sobre o plano z=0 em relação ao eixo x) e z.

Coordenadas esféricas[editar | editar código-fonte]

\nabla \, f = \frac{\partial f}{\partial r} \hat e_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} \hat e_\theta + \frac{1}{r sen \theta}\frac{\partial f}{\partial \phi} \hat e_\phi

Onde  r representa a distância à origem,  \theta é o ângulo entre a reta que liga o ponto à origem e o eixo z e  \phi é o ângulo formado pela projeção da reta que liga o ponto à origem no plano z=0 e o eixo x.

Noção intuitiva de gradiente[editar | editar código-fonte]

O gradiente é o vetor que aponta para onde a grandeza resultante da função tem seu maior crescimento[1] .

Gradientes de tensão[editar | editar código-fonte]

Os gradientes de tensão em redes elétricas são, depois dos transientes, os maiores causadores de danos em circuitos eletro-eletrônicos.

O retorno da energia elétrica numa linha de transmissão longa, após uma interrupção da mesma, faz-se acompanhar por transientes de tensão elevada até à estabilização do circuito. Simultaneamente, manifesta-se na rede um movimento oscilatório de baixa frequência, composto por gradientes positivos e negativos, denominados harmônicos, que fazem elevar e reduzir a tensão, acima e abaixo do seu valor nominal.

Referências

  1. Pereira, Agnaldo Souza; Oliveira, Cláudio Barros Vitor Jefferson Pereira de (01/01/2007). Cálculo II Universidade do Estado do Amazonas. Visitado em 11 de dezembro de 2011.

Fontes externas[editar | editar código-fonte]

  • Cálculo, George B. Thomas, (Décima Edição), Volume 2; Addison Wesley/Pearson Education do Brasil, São Paulo, (2002).

Ver também[editar | editar código-fonte]

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