Gradiente

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Topicos em Cálculo

Teorema fundamental Limite de uma função Continuidade Teorema do valor médio Cálculo  Derivada Mudança de variáveis Funções implícitas e explícitas Teorema de Taylor Taxas relacionadas Regras e identidades: Regra do produto, Regra do Quociente, Regra da cadeia Integral  Integral Tábua de integrais Integrais impróprias Integração por: partes, substituição trigonométrica, frações parciais, Ordem de integração Cálculo vetorial  Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Cálculo multivariável  Cálculo matricial Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana

No cálculo vectorial o gradiente (ou vector gradiente) é um vector que indica o sentido e a direcção de maior alteração no valor de uma quantidade por unidade de espaço. Possui diversas aplicações, desde o cálculo de derivadas direccionais à maximização das mesmas.

Por exemplo, o gradiente do potencial eléctrico é o campo eléctrico. O gradiente da energia de campo é a força de campo.

Definição

Dois exemplos de gradiente. Em cada caso o valor da função é indicado pela escala de cinzas.

O vector gradiente ou simplesmente gradiente de uma campo escalar $f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$ é dado por:

$\mbox{grad} \, f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \cdots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right\rangle$

Em notação de soma de Euler temos que:

$\mbox{grad} \, f = \sum^i \frac{\partial f}{\partial x_i} \hat e_i$

Já na notação de soma de Einstein para o campo escalar φ:

$\mbox{grad} \, \varphi = \partial_i \varphi \cdot \hat e_i$

O símbolo nabla foi introduzido por William Hamilton e rapidamente assimilado pela comunidade científica:

$\nabla \overrightarrow f (x_1, \dots, x_n) = \mbox{grad} \, f$

No entanto, por abuso de linguagem, é comum não se indicar a "seta" de vector e a notação torna-se em:

$\nabla f = \mbox{grad} \, f$

O gradiente também pode ser generalizado em ordem – se fornecemos um campo vectorial obtemos um campo tensorial.

Exemplo

Para a função $f \!\left( x, y, z \right) = 3x + 5y^2 - \sin z$ temos $\nabla f = \left\langle 3, 10y, - \cos z \right\rangle$ para todo $\left( x, y, z \right)$.

Expressões

Para todo campo escalar f diferenciável em função do espaço cartesiano $\vec x = \left\langle x, y, z \right\rangle$ temos que:

$\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right\rangle$

O gradiente é a derivada de um campo em função do espaço:

$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial \vec x}$

Em uma só dimensão o gradiente de uma função que só depende do espaço:

$\nabla f = \frac{df}{dx}$

Propriedades

Linearidade

O gradiente é linear:

$\nabla \left( \alpha f + \beta g \right) = \alpha \nabla f + \beta \nabla g \qquad \left( \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}^2 \right)$

Onde $\mathbb{F}$ é um corpo constante.

Lei de Leibniz

O gradiente segue a Lei de Leibniz na multiplicação:

$\nabla \left( f \cdot g \right) = f \nabla g + g \nabla f$

E na divisão:

$\nabla \left( f / g \right) = \frac{g \nabla f - f \nabla g}{g^2} \qquad \left( g \neq 0 \right)$

Ortogonalidade às curvas de nível

O vector gradiente sempre será ortogonal às curvas de nível (veja no artigo "Conjunto de nível"). Seja $f(x\,, y)$ uma função definida em $D \subset \mathbb{R}^2$ e diferenciável em todo seu domínio.

Seja o conjunto $C: \{(x,y)\in D | f(x,y)=k \}$ onde x e y são funções de um parâmetro t tal que $x(0)=x_{0}\,, y(0)=y_{0}$.

Então, temos:

$f(x(t)\,, y(t))=k$ (diferenciando com relação a t pela regra da cadeia)

$\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}=0$

A equação final pode ser interpretada como o produto escalar do gradiente de f por um vector tangente a f em $(x_{0}\,, y_{0})$, logo os dois são perpendiculares entre si.

Teorema do gradiente

O gradiente é revertido pelo integral de linha de acordo com o teorema do gradiente, que é análogo ao teorema fundamental do cálculo:

$\Delta f = f_Q - f_P = \int^{\gamma_Q}_{\gamma_P} \nabla f \cdot \vec{d\gamma}$

Derivada direcional

A derivada direcional é um escalar que representa a derivada dum campo escalar ao longo de um versor (no caso abaixo, $\hat u$).

$\forall \hat u \quad D\!_{\hat u}\,f = \hat u \cdot \nabla f$

Sistemas de coordenadas

O gradiente é escrito nos diferentes sistemas de coordenadas tridimensionais nas seguintes formas:

Coordenadas cartesianas

$\nabla \, f = \frac{\partial f}{\partial x} \hat e_x + \frac{\partial f}{\partial y} \hat e_y + \frac{\partial f}{\partial z} \hat e_z$

Para coordenadas espaciais x, y e z.

Coordenadas cilíndricas circulares

$\nabla \, f = \frac{\partial f}{\partial \rho} \hat e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \phi} \hat e_\phi + \frac{\partial f}{\partial z} \hat e_z$

Onde ρ representa a distância ao eixo z, φ é o ângulo (tomado, em geral sobre o plano z=0 em relação ao eixo x) e z.

Coordenadas esféricas

$\nabla \, f = \frac{\partial f}{\partial r} \hat e_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} \hat e_\theta + \frac{1}{r sen \theta}\frac{\partial f}{\partial \phi} \hat e_\phi$

Onde r representa a distância à origem, θ é o ângulo entre a reta que liga o ponto à origem e o eixo z e φ é o ângulo formado pela projeção da reta que liga o ponto à origem no plano z=0 e o eixo x.

Noção intuitiva de gradiente

O gradiente é o vetor que aponta para onde a grandeza resultante da função tem seu maior crescimento.

Gradientes de tensão

Os gradientes de tensão em redes elétricas são, depois dos transientes, os maiores causadores de danos em circuitos eletro-eletrônicos.

O retorno da energia elétrica numa linha de transmissão longa, após uma interrupção da mesma, faz-se acompanhar por transientes de tensão elevada até à estabilização do circuito. Simultaneamente, manifesta-se na rede um movimento oscilatório de baixa frequência, composto por gradientes positivos e negativos, denominados harmônicos, que fazem elevar e reduzir a tensão, acima e abaixo do seu valor nominal.

Fontes externas

• Cálculo, George B. Thomas, (Décima Edição), Volume 2; Addison Wesley/Pearson Education do Brasil, São Paulo, (2002).

Ver também

• Teorema do gradiente
• Divergente
• Rotacional
• Degradê (Arte)
• Laplaciano
• Nabla