Série de Taylor

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Em matemática, uma série de Taylor é uma série de funções da seguinte forma:

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^n\quad\mbox{na qual }  a_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}.

Dito de outra maneira, uma série de Taylor é uma expansão de uma função analítica f(x) na vizinhança de um ponto x=a. Uma série de Taylor de uma dimensão é uma expansão de uma função real f(x) ao redor do ponto em que x assume um valor qualquer (digamos, "a"). Neste caso, escrevemos a série da seguinte maneira:[1]

f(x)=f(a) \left ( x-a \right )^0+ \frac{f'(a) \left (x-a \right)^1}{1!}+\frac{f''(a) \left ( x-a \right )^2}{2!}+...+\frac{f^{(n)}(a) \left ( x-a \right )^n}{n!}.

A constante a é o centro da série que pode ser encarada como uma função real ou complexa. Se a = 0, a série também é chamada de Série de Maclaurin (de Colin Maclaurin).

Estas séries devem o seu nome a Brook Taylor que as estudou no trabalho Methodus incrementorum directa et inversa em 1715. Condorcet atribuía estas séries a Taylor e d'Alembert e o nome série de Taylor só começou a ser usado em 1786, por l'Huillier.

Convergência[editar | editar código-fonte]

Toda série de Taylor possui um raio de convergência R com a propriedade que a série converge uniformemente em cada bola (circunferência) |x-a|\leq r<R.

A fórmula de Hadamard fornece o valor deste raio de convergência:

R^{-1}=\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}

O fato de a série de Taylor convergir não garante que ela convirja para o valor da função f(x); o exemplo clássico desta patologia é a função definida por:

f(x)=\begin{cases}\exp(-1/x)&\text{se }x>0,\\ 0&\text{se }x\le0,\end{cases}

cuja série de Taylor é

f(x) = 0 + 0 x + 0 x^2 + \ldots

Série de Taylor associada a uma função[editar | editar código-fonte]

Função seno de x e aproximações de Taylor com polinômios de grau 1, 3, 5, 7, 9, 11 e 13.

A série de Taylor associada a uma função f infinitamente diferenciável (real ou complexa) definida em um intervalo aberto (ar, a + r) é a série de potências dada por


f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}.

Onde, n! é o fatorial de n e f (n)(a) denota a n-ésima derivada de f no ponto a.

Com essa ferramenta, podem ser moldadas funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas em polinômios.

Lista de série de Taylor de algumas funções comuns[editar | editar código-fonte]

Função exponencial e logaritmo natural:

\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad\mbox{ para todo } x
\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1

Série geométrica:

\frac{x^m}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=m} x^n\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1

Teorema binomial:

(1+x)^\alpha = \sum^{\alpha}_{n=0} {\alpha \choose n} x^n\quad\mbox{ para todo } \left| x \right| < 1\quad\mbox{ e todo complexo } \alpha

Funções trigonométricas:

\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ para todo } x
\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ para todo } x
\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad =  x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + ..
\mbox{ para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}
onde Bs são números de Bernoulli.
\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}
\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1
\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1

Funções hiperbólicas:

\sinh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ para todo } x
\cosh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ para todo } x
\tanh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ para } \left|x\right| < \frac{\pi}{2}
\mathrm{arcsenh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1
\mathrm{arctanh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1

Função W de Lambert:

W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad\mbox{ para } \left| x \right| < \frac{1}{\mathrm{e}}

Série de Taylor em várias variaveis[editar | editar código-fonte]

A série de Taylor pode também ser definida para funções de  \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R} .

Nesse caso, tem-se que a série de Taylor de f em torno do ponto X_0 = ( x_1^0, \cdots, x_n^0 ) é dada por:

f ( x_1, \cdots, x_n ) = \sum\limits_{k\ge0} \frac{1}{k!} \left( \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}(X_0) ( x_i - x_i^0 )\right)^k,

onde  \left (\frac{\partial f}{\partial x_i}(X_0)\right)^k denota \frac{\partial^k f}{\partial x_i^k}(X_0).

Ou seja, tem-se:

 \left( \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i} (X_0) ( x_i - x_i^0 )\right)^k = \sum\limits_{\alpha _i \in \mathbb{N}, \sum\limits_{i = 1}^{n} \alpha_i = k} \left( \frac{k!}{\alpha_1 ! \cdots \alpha_n !} \cdot \frac{\partial^k f}{\partial x_1^{\alpha_1} \cdots \partial x_n^{\alpha_n} } (X_0) \cdot ( x_1 - x_1^0)^{\alpha_1} \cdots (x_n-x_n^0)^{\alpha_n}  \right).

No caso particular n = 2 , X_0 = (x_0, y_0):

f (x, y ) = \sum\limits_{k\ge0} \frac{1}{k!} \sum\limits_{i=0}^k \frac{k!}{i! (k-i)!} \cdot \frac{\partial^i f}{\partial x^i} (X_0) \cdot \frac{\partial^{k-i} f}{\partial y^{k-i}}(X_0) \cdot (x-x_0)^i \cdot (y-y_0)^{k-i}.

Referências

  1. Wolfram Alpha LLC—A Wolfram Research Company