Integral múltipla

A integral múltipla é uma integral definida para funções de múltiplas variáveis.

Introdução

Assim como a integral definida de uma função positiva de uma variável representa a área entre o gráfico e o eixo x, a integral dupla de uma função de duas variáveis representa o volume entre o gráfico e o plano que contém seu domínio. Se houver mais de duas variáveis, a integral representa o hipervolume de funções multidimensionais. Integrais múltiplas de uma função de n variáveis sobre um domínio D são geralmente representadas por sinais de integrais juntos na ordem reversa de execução (a integral mais à esquerda é computada por último) seguida pela função e pelas variáveis de integração na ordem apropriada (a variável mais à direita é integrada por último). O domínio de integração é representada simbolicamente em todos os sinais de integração ou é freqüentemente abreviado por uma variável no sinal de integração mais à direita:

$\int\!\!\int\!\!\ldots\int_D\,f(x_1,x_2,\ldots ,x_n)\,dx_1\,dx_2\ldots dx_n$

Uma vez que é impossível calcular a primitiva de uma função de múltiplas variáveis, não existem integrais múltiplas indefinidas. Assim, todas as integrais múltiplas são definidas.

Exemplos

Por exemplo, o volume do paralelepípedo de lados 4, 5 e 6 é calculado de dois modos:

• Pela integral dupla

$\int\!\!\int_D\,5\,dx\,dy$

da função $f(x,y)=5$ na região D no plano xy que forma a base do paralelepípedo.

• Pela integral tripla

$\int\!\!\int\!\!\int_D\,1\,dx\,dy\,dz$

da função constante unitária sendo D o próprio paralelepípedo.

Definição

Assim como nas integrais de uma variável, a integral múltipla pode ser definida a partir de uma Soma de Riemann. Para isso, considere T um retângulo de n dimensões semi-aberto:

$T=[a_1,b_1)\,x\,[a_2,b_2)\,x\ldots\,x\,[a_n,b_n)$

Dividindo cada intervalo $[a_i,b_i)$ em intervalos disjuntos semi-abertos (fechados na esquerda e aberto na direita), denotados por $I_j$, a família de subretângulos

$C=I_1\,x\,I_2\,x\ldots\,x\,I_n$

é uma partição de T; cada subretângulo C é disjunto e sua união formam T. Seja $f:T\to \mathbb R$ definida em T. Considere a partição

$T=C_1\cup C_2\cup \cdots \cup C_m$

onde m é um inteiro positivo. Uma soma de Riemann é uma soma da forma:

$\sum_{k=1}^m f(P_k)\, \operatorname{m}(C_k)$

onde para cada k, o ponto $P_k$ pertence a $C_k$ e $\operatorname{m}(C_k)$ é o produto dos comprimentos dos intervalos que formam $C_k$. A função é integrável pelo conceito de Riemann se o limite

$S = \lim_{\delta \to 0} \sum_{k=1}^m f(P_k)\, \operatorname{m}\, (C_k)$

existe, onde o limite é tomado em todas as partições possíveis de T cujo diâmetro é no máximo δ. Se f é Riemann integrável, S é chamada integral de Riemann de f sobre T.

A integral de Riemann de uma função definida sobre um conjunto limitado qualquer pode ser definida estendendo a função para um retângulo semi-aberto cujos valores fora do domínio original são nulos.

Propriedades

As integrais múltiplas têm as mesmas propriedades das integrais simples (linearidade, aditividade, etc). Além disso, uma integral múltipla pode ser usada para definir o valor médio de uma função em um dado conjunto. Dado um conjunto $D\subset \mathbb R^n$ e uma função integrável f sobre D, a valor médio de f sobre seu domínio é dado por

$\bar{f} = \frac{1}{m(D)} \int_D f(x)\, dx,$

onde $\;m(D)$ é a medida de $\;D$.

Métodos de Integração

A resolução de problemas com integrais múltiplas consiste na maioria dos casos em achar um método de reduzir a integral múltipla a uma série de integrais de uma variável, sendo cada uma diretamente solúvel.

Fórmulas de redução

Fórmulas de redução usam o conceito de domínio simples para possibilitar a decomposição da integral múltipla como um produto de integrais simples. Essas têm que ser resolvidas da direita para a esquerda considerando as outras variáveis como constantes (o mesmo procedimento adotado para o cálculo de derivadas parciais).

Domínios no R²

Eixo x

Se D é um domínio delimitado por $x=a$ (esquerda), $x=b$ (direita), $y=\alpha(x)$ (inferior) e por $y=\beta(x)$ (superior),então, a integral pode ser reduzida a:

$\int\!\!\int_D\,f(x,y)\,dx\,dy\,=\int_{x=a}^{x=b}\int_{y=\alpha(x)}^{y=\beta(x)} f(x,y)\,dy\,dx$

Eixo y

Se D é um domínio delimitado por $y=a$ (superior), $y=b$ (inferior), $x=\alpha(y)$ (esquerda) e por $x=\beta(y)$ (direita),então, a integral pode ser reduzida a:

$\int\!\!\int_D\,f(x,y)\,dx\,dy\,=\int_{y=a}^{y=b}\int_{x=\alpha(y)}^{x=\beta(y)} f(x,y)\,dx\,dy$

Domínios no R³

As integrais triplas são reduzidas a integrais duplas e estas a integrais simples; assim, se no plano xy o domínio é limitado por $z=\alpha(x,y)$ e $z=\beta(x,y)$, a integral fica:

$\int\!\!\int_D\int_{z=\alpha(x,y)}^{z=\beta(x,y)}\,f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy$

Agora, temos uma integral dupla sobre D.

Mudança de variável

Às vezes, regiões complicadas podem ser transformadas em regiões simples através de uma mudança de variável. Em integrais simples, quando fazemos uma mudança de variável $x=x(u)$ (consequentemente, $u=u(x)$), a integral fica:

$\int_a^b\,f(x)\,dx=\int_{u(a)}^{u(b)}\,f(u)x'(u)\,du$

Analogamente, uma expressão que depende das derivadas parciais aparece na mudança de variáveis. Seja $f:D\to\mathbb{R}^n$ e $u=u(x)$ uma função que transforma D em T. A integral de f sobre D fica:

$\int_D\,f(x)\,dx=\int_T\,f(u)\frac{\part x}{\part u}\,du$

onde $\frac{\part x}{\part u}$ é o Jacobiano de x em relação a u.

Ver também

• Integral
• Cálculo
• Teorema da divergência
• Teorema de Stokes
• Teorema de Green
• Teorema de Fubini