Teorema de Stokes

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Ilustração do teorema de Stokes.

O Teorema de Stokes, na geometria diferencial, é uma afirmação sobre a integração de formas diferenciais que generaliza diversos teoremas do cálculo vetorial. É assim chamado em homenagem ao matemático George Gabriel Stokes (1819-1903), embora a primeira referência conhecida do resultado seja por William Thomson (Lord Kelvin) e apareça em uma carta dele para Stokes, datada de 2 de julho de 1850.[1] [2] Quando a superfície é plana, o Teorema de Stokes cai em uma forma particular conhecido como Teorema de Green.

Introdução[editar | editar código-fonte]

O teorema fundamental do cálculo estabelece que a integral de uma função f sobre um intervalo [a, b] pode ser calculada através da busca de uma antiderivada F de f:

\int_a^b f(x)\,\mathrm dx = F(b) - F(a).

O teorema de Stokes é uma grande generalização deste teorema no seguinte sentido.

  • Por uma escolha de F, \scriptstyle \frac{dF}{dx}=f(x). Na linguagem das formas diferenciais, isto é dizer que f(xdx é a derivada exterior da 0-forma, isto é função, F: em outras palavras, que dF = f dx. O teorema geral de Stokes se aplica a formas diferenciais superiores \omega em vez de F.
  • Um intervalo [a, b] é simplesmente um exemplo de uma variedade unidimensional com bordo. Seu bordo é o conjunto que consiste dos dois pontos a e b. A integração de f sobre o intervalo pode ser generalizada para a integração de formas sobre variedades de dimensões maiores. Duas condições técnicas são necessárias: a variedade tem que ser orientável, e a forma tem que ter suporte compacto para que a integral resultante esteja bem definida.
  • Os dois pontos a and b formam o bordo do intervalo aberto. De forma mais geral, o teorema de Stokes se aplica a variedades orientadas M com bordo. A fronteira ∂M de M é ela mesma uma variedade e herda uma orientação natural daquela da variedade. Por exemplo, a orientação natural do intervalo fornece uma orientação dos pontos da fronteira. Intuitivamente, a herda a orientação oposta de b, uma vez que são extremos opostos do intervalo. Então, "integrar" F sobre os pontos a e b da fronteira é tomar a diferença F(b) − F(a).

Assim o teorema fundamental pode ser lido como:

\int_{[a, b]} f(x)\,dx = \int_{[a, b]} dF = \int_{\{a\}^- \cup \{b\}^+} F = F(b) - F(a).

Formulação geral[editar | editar código-fonte]

Seja \Omega uma variedade suave orientada de dimensão n e seja \scriptstyle\alpha uma n-forma diferencial compactamente suportada em \Omega. Primeiramente, suponha que α tem suporte compacto no domínio de uma única carta orientada {U, φ}. Neste caso, define-se a integral de \scriptstyle\alpha sobre \Omega como sendo

\int_\Omega \alpha = \int_{\phi^{-1}(U)} \left(\phi^{-1}\right)^* \alpha \,

isto é, via um pullback de α para Rn.

Mais geral, integral de \scriptstyle\alpha sobre \Omega é definida como segue: seja {ψi} uma partição da unidade associada a uma cobertura localmente finita {Ui, φi} de cartas (orientadas de modo consistente), então defina a integral

\int_\Omega \alpha \equiv \sum_i \int_{U_i} \psi_i \, \alpha\, ,

onde cada termo da soma é avaliado através do pullback para Rn como descrito acima. Esta quantidade é bem definida, ou seja, não depende da escolha das cartas, nem da partição da unidade.

O teorema de Stokes diz: Se \omega é uma (n − 1)-forma com suporte compacto em \Omega e \partial\Omega denota a fronteira de \Omega com sua orientação induzida, então

Uma variedade de integração conhecida como "normal" (aqui em vez de \Omega usou-se D) para o caso especial em que n=2
\int_\Omega \mathrm {d}\omega = \int_{\partial \Omega} \omega \ \ \left( = \oint_{\partial \Omega} \omega\right)  .\!\,

Aqui \,\mathrm d é a derivada exterior, que é definida usando apenas a estrutura de variedade. No lado direito, as vezes se utiliza um circulo dentro do sinal da integral para enfatizar o fato de que a (n-1)-forma \partial \Omega é fechada.[3] O lado direito da equação é usado frequentemente para formular leis integrais; o lado esquerdo leva então a uma formulação diferencial equivalente (ver abaixo).

O teorema é usado com frequência em situações nas quais \Omega é uma subvariedade orientada mergulhada de uma variedade maior na qual a forma \omega está definida.

Uma demonstração é particularmente simples se a variedade \Omega for uma assim conhecida "variedade normal", como na figura do lado direito, que pode ser segmentada em faixas verticais (por exemplo paralelas a direção xn) , tais que depois de uma integração parcial em relação a esta variável, contribuições não triviais vem apenas das superfícies das fronteiras superior e inferior (pintadas em amarelo e vermelho, respectivamente), onde as orientações mutuamente complementares são visíveis através das setas.

Casos especiais[editar | editar código-fonte]

Teorema de Kelvin-Stokes[editar | editar código-fonte]

Uma ilustração do teorema de Kelvin-Stokes, com a superfície \Sigma, sua fronteira \scriptstyle{\partial \Sigma,} e o vetor "normal" n.

Esta é um caso 1+1 dimensional dualizado, para uma 1-forma (dualizado porque ele é uma afirmação sobre campos vetoriais). É comum se referir a este caso especial apenas como teorema de Stokes em muitos cursos universitários introdutórios de cálculo vetorial. Ele também é chamado as vezes de teorema do rotacional.

O teorema de Kelvin-Stokes clássico:

 \int_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r},

que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial numa superfície Σ no espaço tridimensional euclidiano à integral de linha do campo vetorial sobre sua fronteira, é um caso especial do teorema generalizado de Stokes (com n = 2) uma vez que se identifica um campo vetorial com uma 1-forma usando a métrica do espaço euclidiano. A curva da integral de linha, ∂Σ, deve ter orientação positiva, de modo que dr aponta no sentido anti-horário quando a normal da superfície, dΣ, aponta em direção ao observador, seguindo a regra da mão direita.

Uma consequência da fórmula é que as linhas de campo de um campo vetorial com rotacional nulo não podem ter contorno fechado.

A fórmula pode ser escrita como:

\iint\limits_{\Sigma}\left\{\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\,dy\,dz +\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\,dz\,dx  +\left (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dx\,dy\right\}    =\oint\limits_{\partial\Sigma}\left \{P\,dx+Q\,dy+R\,dz\right\}

em que P, Q e R são as componentes de F.

Estas variantes também são usadas com frequência:

 \int_{\Sigma} \left( g \left(\nabla \times \mathbf{F} \right)  + \left( \nabla g \right) \times \mathbf{F} \right) \cdot d\mathbf{\Sigma}   \ = \oint_{\partial\Sigma} g \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r},
 \int_{\Sigma} \left( \mathbf{F} \left(\nabla \cdot \mathbf{G} \right) - \mathbf{G}\left(\nabla \cdot \mathbf{F} \right) + \left( \mathbf{G} \cdot \nabla \right) \mathbf{F} - \left(\mathbf{F} \cdot \nabla \right) \mathbf{G}  \right) \cdot d\mathbf{\Sigma}   \ = \oint_{\partial\Sigma} \left( \mathbf{F} \times \mathbf{G}\right) \cdot d \mathbf{r}.

Teorema de Green[editar | editar código-fonte]

O teorema de Green é reconhecido imediatamente como o terceiro integrando de ambos os lados da integral em termos de P, Q e R citada acima.

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Olivier Darrigol, Electrodynamics from Ampere to Einstein, p. 146,ISBN 0-19-850593-0 Oxford (2000)
  2. Spivak (1965), p. vii, Prefácio.
  3. Entre os matemáticos este fato é conhecido, então o circulo é redundante e frequentemente deixado de lado. No entanto, deve-se ter em mente aqui que em termodinâmica, onde frequentemente aparecem expressões como \oint_W \,\{d_{\,total\,}U\} (em que a derivada total, ver abaixo, não deve ser misturada com a derivada exterior), o caminho de integração W é uma linha unidimensional fechada em uma variedade de dimensão bem maior. Isto é, em aplicações termodinâmicas, onde U é uma função da temperatura \alpha_1:=T, o volume \alpha_2:=V\,, e a polarização elétrica \alpha_3:=P da amostra, tem-se \{d_{\,total\,}U\}=\sum_{i=1}^3\,\frac{\partial U}{\partial\alpha_i}\mathrm d\alpha_i\,, e o circulo é realmente necessário, por exemplo se for consideradas as consequências diferenciais do postulado da integral \oint_W\,\{d_{\,total\,}U\}\, \stackrel{!}{=}\,0\,.

Referências[editar | editar código-fonte]