Integral de superfície

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Uma integral de superfície é uma integral definida de uma função sobre uma superfície[1] [2] [3] . Aplicações de integrais de superfícies aparecem em vários ramos da ciência e das engenharias. Por exemplo, ao integrarmos uma função densidade de massa sobre uma superfície, obteremos a massa aplicada sobre a superfície[2] . Em uma superfície orientável, a integral de superfície do produto interno de um campo vetorial pelo campo normal à superfície fornece o fluxo desse campo[3] .

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja g: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}, g = g(x,y,z), uma função definida em todos os pontos de uma superfície S. A integral de superfície de g sobre S é definida por[2] :

\int\int_S g d\sigma

onde, d\sigma é o elemento infinitesimal de área sobre a superfície.

Se S é uma superfície orientável, então definimos a integral de superfície de um campo vetorial F sobre S por[3] :

\int\int_S \bold{F}\cdot \bold{n} d\sigma

onde, \bold{n} é o campo normal escolhido na orientação da superfície.

Elemento de área[editar | editar código-fonte]

Elemento de área de uma superfície lisa.

O cálculo do elemento infinitesimal de área sobre a superfície pode ser feito com o auxílio de uma projeção adequada da superfície {\textstyle S} sobre um plano do espaço cartesiano. Suponhamos que {\textstyle S} é descrita pela superfície de nível f(x,y,z) = c. Consideremos, ainda, um plano dado {\textstyle \alpha} de normal unitária \bold{p}. A projeção de S sobre \alpha define uma região planar que denotaremos por {\textstyle R}.

Com isso, aproximamos um elemento de área \Delta S da superfície S pela área do elemento tangente associado. Este, por sua vez, pode ser calculado em função do elemento de área \Delta S projetado sobre o plano \alpha. Denotando este por \Delta A, temos[2] :

\Delta S \approx \frac{1}{|cos \gamma|}\Delta A

onde, \gamma é o ângulo entre o vetor gradiente \nabla f e o vetor \bold{p} calculado em algum ponto de \Delta S.

Asssim, podemos calcular o elemento de área d\sigma por[2] :

{\displaystyle d\sigma = \frac{1}{|\cos \gamma|} dA}

onde, \gamma é o ângulo entre o vetor gradiente \nabla f e o vetor \bold{p}. dA é o elemento de área planar.

Observamos, ainda, que o ângulo \gamma está relacionado ao produto interno entre \nabla f e \bold{p} por:

{\displaystyle \nabla f \cdot \bold{p} = |\nabla f| |\bold{p}| \cos \gamma}

Segue, daí, que o elemento de área d\sigma pode ser calculado por:

{\displaystyle d\sigma = \frac{|\nabla f|}{|\nabla f \cdot \bold{p}|}dA}

Cálculo da integral de superfície[editar | editar código-fonte]

Com base no cálculo do elemento de área sobre uma superfície podemos calcular a integral de superfície como uma integral dupla sobre uma região planar[2] . Seja g: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}, g = g(x,y,z), uma função definida em todos os pontos de uma superfície S descrita pela superfície de nível f(x,y,z) = c. Seja, ainda, R a região planar definida pela projeção de S sobre um plano dado \alpha. Então, a integral de superfície de g sobre S pode ser calculada pela seguinte integral dupla sobre R:

\int\int_S g d \sigma = \int\int_R g \frac{|\nabla f|}{|\nabla f \cdot \bold{p}|}dA

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Aplicações de integrais de superfícies aparecem em vários ramos da ciência e das engenharias. Aqui, discutimos rapidamente algumas delas.

Massa[editar | editar código-fonte]

Suponhamos que S:f(x,y,z)=c descreve a superfície de uma placa fina com densidade de massa dada pela função \delta = \delta(x,y,z). Então, a massa M da placa é dada pela integral de superfície[2] :

M = \int\int g d\sigma.

Fluxo[editar | editar código-fonte]

Seja S: f(x,y,z) = c uma superfície orientada com o campo normal exterior \bold{n}. Então:

\int\int_S \bold{F}\cdot\bold{n} d\sigma

fornece o fluxo exterior do campo \bold{F} através de S. Por exemplo, se \bold{F} é o campo de velocidades de um escoamento, então esta integral fornece o fluxo do escoamento através de S[2] .

Referências

  1. Flemming, Diva Marília. Cálculo B. 2. ed. [S.l.]: Pearson. ISBN 9788576051169.
  2. a b c d e f g h Thomas, George B.. Cálculo - Volume 2. 12. ed. [S.l.]: Pearson, 2012. ISBN 9788581430874.
  3. a b c Stewart, James. Cálculo - Volume 2. 7. ed. [S.l.]: Cengage, 2013. ISBN 9788522112593.
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