Cálculo com múltiplas variáveis

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Cálculo com múltiplas variáveis (também conhecido como cálculo multivariável) é a extensão do cálculo em uma variável ao cálculo em diversas variáveis: as funções as quais são diferenciáveis e integráveis envolvem várias variáveis ao invés de uma única variável.

Não é mais que a extensão do cálculo infinitesimal a funções escalares e vetoriais de várias variáveis, com tudo o que esta generalização implica.

Campo escalar com duas variáveis.

Cálculo diferencial em campos escalares e vetoriais[editar | editar código-fonte]

Funções de Rn em Rm. Campos escalares e vetoriais[editar | editar código-fonte]

Formulando as definições para campos vetoriais, estas também sendo válidas para campos escalares. Seja

\mathbf{f}:V \longrightarrow W

um campo vetorial que faz corresponder a todo ponto P definido biunivocamente por sua vetor posição um vetor \mathbf{f}\big (\mathbf{OP}\big ) onde o ponto O é a origem de coordenadas.

V \subseteq \mathbb{R}^n, W \subseteq \mathbb{R}^m, com n > 1 e m \geqslant 1. Quando m=1 temos um campo escalar. Para m>1 temos um campo vetorial. Utiliza-se a norma euclidiana para encontrar a magnitude dos vetores.

Limites e continuidade[editar | editar código-fonte]

Sejam \mathbf{a} \in \mathbb{R}^n e \mathbf{b} \in \mathbb{R}^m. Escrevemos:

\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )=\mathbf{b},
ou ainda,
\mathbf{f}(\mathbf{x}) \rightarrow \mathbf{b} cuando \mathbf{x} \rightarrow \mathbf{a}
para expressar o seguinte:
\lim_{\big \|\mathbf{x-a}\big \| \to 0}\big \|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) - \mathbf{b}\big \| = 0

onde \big \|\mathbf{x}\big \| é a norma euclideana de \mathbf{x}.

Expresando-o em função das componentes de \mathbf{x} = \big (x_1,\ldots,x_n\big ), \mathbf{a} = \big (a_1,\ldots,a_n\big ),

\lim_{\big (x_1,\ldots,x_n\big ) \to \big (a_1,\ldots,a_n\big )}\mathbf{f}\big (x_1,\ldots,x_n\big ) = \mathbf{b}

ou, de forma equivalente,

\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{b}

Dizemos que uma função \mathbf{f} é contínua em \mathbf{a} \Leftrightarrow \lim_{\mathbf{x}\to \mathbf{a}}\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{f}\big (\mathbf{a}\big ).

\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{b}, \lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{a}}\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{c} \Rightarrow

a) \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\big [\mathbf{f} + \mathbf{g}\big ]\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{b} + \mathbf{c}
b) \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\lambda\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) = \lambda\mathbf{b} \quad\forall\lambda \in \mathbb{R}
c) \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\big (\mathbf{f}\cdot\mathbf{g}\big )\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{b}\cdot\mathbf{c}
(produto escalar de \mathbf{b} com \mathbf{c}).
d) \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\Big \|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )\Big \|=\big \|\mathbf{b}\big \|

Sabemos que a) e b) no teorema se verificam se f e g são funções escalares. Portanto, se

\mathbf{b} = \big (b_1,\ldots,b_m\big ), \mathbf{c} = \big (c_1,\ldots,c_m\big ) temos
 \begin{array}{rl}
a) & \mathbf{f}\big (\mathbf{x}) = \big [f_1\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,f_m\big (\mathbf{x}\big )\big ], 
\mathbf{g}\big (\mathbf{x}) = \Big [g_1\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,g_m\big (\mathbf{x}\big )\Big ] \\
 & \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\big (\mathbf{f} + \mathbf{g}\big )\big (\mathbf{x}\big ) =
\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\Big [\big (f_1+g_1\big )\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,\big (f_m+g_m\big )\big (\mathbf{x}\big )\Big ] = \\
 & \Big [\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\big (f_1+g_1\big )\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\big (f_m+g_m\big )\big (\mathbf{x}\big )\Big ] = \\
 & \Big [\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}f_1\big (\mathbf{x}\big )+ \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}g_1(\mathbf{x}\big ),\ldots,\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}f_m\big (\mathbf{x}\big ) + \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}g_m\big (\mathbf{x}\big )\Big ] = \\
 & \big (b_1+c_1,\ldots,b_m+c_m\big ) = \big (b_1,\ldots,b_m\big )+\big (c_1,\ldots,c_m\big ) = \mathbf{b}+\mathbf{c}
\end{array}
 \begin{array}{rl}
b) & \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\lambda\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) = 
\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\lambda\Big [f_1\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,f_m\big (\mathbf{x}\big )\Big ] = 
\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\Big [\lambda f_1\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,\lambda f_m\big (\mathbf{x}\big )\Big ] = \\
 & \Big [\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\lambda f_1\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\lambda f_m\big (\mathbf{x}\big )\Big ] = \Big [\lambda\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}f_1\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,\lambda\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}f_m\big (\mathbf{x}\big )\Big ] = \\ 
 & \lambda\Big [\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}f_1\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}f_m\big (\mathbf{x}\big )\Big ] =  \lambda\big (b_1,\ldots,b_m\big ) = \lambda\mathbf{b}
\end{array}

c) \quad \big (\mathbf{f}\cdot\mathbf{g}\big )\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{b}\cdot\mathbf{c} = 
\Big [\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{b}\Big ]\cdot\Big [\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{c}\Big ]+ 
\mathbf{b}\cdot\Big [\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{c}\Big ]+\mathbf{c}\cdot\Big [\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) -\mathbf{b}\Big ]
Aplicando a desigualdade triangular e a desigualdade de Cauchy-Schwarz temos
\begin{array}{l}
\Big |\big (\mathbf{f} \cdot \mathbf{g}\big )\big (\mathbf{x}\big ) - \mathbf{b} \cdot \mathbf{c}\Big | \leqslant 
\Big \|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{b}\Big \| \cdot \Big \|\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{c}\Big \|+ 
\big \|\mathbf{b}\big \| \cdot \Big \|\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{c}\Big \|+ 
\big \|\mathbf{c}\big \| \cdot \Big \|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) - \mathbf{b}\Big \| \Rightarrow \\
0 \leqslant \lim_{\big \|\mathbf{x}-\mathbf{a}\big \| \to 0}\Big |\big (\mathbf{f}\cdot\mathbf{g}\big )\big (\mathbf{x}\big )-  
\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}\Big | \leqslant \lim_{\big \|\mathbf{x}-\mathbf{a}\big \| \to 0}\Big \|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )- \mathbf{b}\Big \| \cdot \lim_{\big \|\mathbf{x}-\mathbf{a}\big \| \to 0}\Big \|\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{c}\Big \|+ \\
\big \|\mathbf{b}\big \| \cdot \lim_{\big \|\mathbf{x}-\mathbf{a}\big \| \to 0}\Big \|\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{c}\Big \|+ 
\big \|\mathbf{c}\big \|\lim_{\big \|\mathbf{x}-\mathbf{a}\big \| \to 0}\Big \|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{b}\Big \| = 
0 \cdot 0 + \big \|\mathbf{b}\big \| \cdot 0+ \big\|\mathbf{c}\big \| \cdot 0 = \\
0
\end{array}
, como queríamos demonstrar.
d) \quad \mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ), \mathbf{c} = \mathbf{b} \Rightarrow 
\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\Big \|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )\Big \|^2=\big \|\mathbf{b}\big \|^2, como queríamos demonstrar.

Sejam \mathbf{f} e \mathbf{g} duas funções tais que a função composta \mathbf{f}\circ\mathbf{g} está definida em \mathbf{a}, sendo

\big (\mathbf{f}\circ\mathbf{g}\big )\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{f}\Big [\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )\Big ]
\mathbf{g} é contínua em \mathbf{a} e \mathbf{f} é contínua em \mathbf{g}\big (\mathbf{a}\big ) \Rightarrow \big (\mathbf{f}\circ\mathbf{g}\big ) é contínua em \mathbf{a}.

Sejam \mathbf{y} = \mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big ) e \mathbf{b} = \mathbf{g}\big (\mathbf{a}\big ). Então,

\begin{array}{l}
\lim_{\big \|\mathbf{x}-\mathbf{a}\big \| \to 0}\Big \|\mathbf{f}\Big [\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )\Big ]-\mathbf{f}\Big [\mathbf{g}\big (\mathbf{a}\big )\Big ]\Big \| = \lim_{\big \|\mathbf{y}-\mathbf{b}\big \| \to 0}\Big \|\mathbf{f}\big (\mathbf{y}\big )-\mathbf{f}\big (\mathbf{b}\big )\Big \|=0 \Rightarrow \\
\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\mathbf{f}\Big [\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )\Big ]=\mathbf{f}\Big [\mathbf{g}\big (\mathbf{a}\big )\Big ]
\end{array}
como queríamos demostrar.

Derivadas direcionais[editar | editar código-fonte]

Derivada de um campo escalar em relação a um vetor[editar | editar código-fonte]

Derivada vectorial2.PNG

Seja f:S \subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}. Seja \mathbf{x} um vetor cuja origem é a origem das coordenadas e cujo extremo \in S, e \mathbf{y} um vetor arbitrário de \mathbb{R}^n. Definimos a derivada de f em \mathbf{x} em relação a \mathbf{y} como

f'\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ) = \lim_{h \to 0}\cfrac{f\big (\mathbf{x}+h\mathbf{y}\big )-f\big (\mathbf{x}\big )}{h}

Derivadas parciais[editar | editar código-fonte]

\cfrac{\partial f}{\partial x_k} = \lim_{h \to 0}\cfrac{f\big (x_1,\ldots,x_k+h,\ldots,x_n\big )-f\big (x_1,\ldots,x_k,\ldots,x_n\big )}{h}

Se derivamos a expressão anterior em relação a uma segunda variável, x_j, teremos \cfrac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_k}. Na prática, calcularemos \cfrac{\partial f}{\partial x_k} derivando em relação a x_k e supondo x_j, \quad \forall j \ne k constante.

A diferencial[editar | editar código-fonte]

Definição de campo escalar diferenciável[editar | editar código-fonte]

Dizemos que f é diferenciável em \mathbf{a} \Leftrightarrow

\exists f_L:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}\Big |\lim_{\big \|\mathbf{v}\big \| \to \mathbf{0}}f\big (\mathbf{a}+\mathbf{v}\big ) = f\big (\mathbf{a}\big )+f_L\big (\mathbf{v}\big ).
f_L deve ser uma aplicação linear, que definimos como a diferencial de f em a.
A equação anterior é a fórmula de Taylor de primeira ordem para f\big (\mathbf{a}+\mathbf{v}\big ).

Teorema de unicidade da diferencial[editar | editar código-fonte]

f é diferenciável em \mathbf{x} com diferencial f_L\big (\mathbf{y}\big ) \Rightarrow

a) \exists f'\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ) \quad \forall\mathbf{y} \in \mathbb{R}^n
b) f'\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ) = \sum_{k=1}^n y_k \cfrac{\partial f}{\partial x_k}

\begin{array}{rl}
a) & \mathbf{v} = h\mathbf{y}, \quad h \in \mathbb{R}, \\
   & \lim_{\big \|\mathbf{v}\big \| \to \mathbf{0}}f\big (\mathbf{x}+\mathbf{v}\big ) = \lim_{\big \|\mathbf{v}\big \| \to \mathbf{0}}f\big (\mathbf{x}+h\mathbf{y}\big ) = f\big (\mathbf{x}\big )+f_L\big (h\mathbf{y}\big ) = \\
   & f\big (\mathbf{x}\big )+ hf_L\big (\mathbf{y}\big ) \Rightarrow \\
   & \lim_{h \to 0}\cfrac{f\big (\mathbf{x}+h\mathbf{y}\big )-f\big (\mathbf{x}\big )}{h} = f'\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ) = f_L\big (\mathbf{y}\big )
\end{array}

como queríamos demonstrar.
b)  Expressando y em função de seus componentes na base
\begin{array}{l}

\big \{\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n\big \}, f_L\big (\mathbf{y}\big ) = f_L\big (\sum_{k=1}^n y_k\mathbf{e}_k\big ) = 
\sum_{k=1}^n y_k f_L\big (\mathbf{e}_k\big ) = \sum_{k=1}^n y_k f'\big (\mathbf{x};\mathbf{e}_k\big ) = \\
\sum_{k=1}^n y_k \cfrac{\partial f}{\partial x_k}
\end{array}
como queríamos demonstrar.

Regra da cadeia[editar | editar código-fonte]

Seja f:S \subset \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} um campo escalar e \mathbf{x}:J \in \mathbb{R} \longrightarrow S. Definimos a função composta g = f \circ \mathbf{x} como g(t) = f\Big [\mathbf{x}\big (t\big )\Big ], então \quad g'\big (t\big ) = \sum_{k=1}^n \cfrac{\partial f}{\partial x_k}\cdot\cfrac{dx_k}{dt}

Diferencial de um campo vetorial[editar | editar código-fonte]

Seja \mathbf{f}:S \subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m um campo vetorial. Seja \mathbf{x} \in S e \mathbf{y} um vetor qualquer. Definimos a derivada

\mathbf{f'}\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ) = \lim_{h \to 0}\cfrac{\mathbf{f}\big (\mathbf{x}+h\mathbf{y}\big )-\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )}{h}

Expressando \mathbf{f'}\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ) em função de seus componentes, temos \mathbf{f'}\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ) = \Big [f'_1\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ),\ldots,f'_m\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big )\Big ]

Dizemos que \mathbf{f} é diferenciável \Leftrightarrow  \exists \mathbf{f}_L:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m, aplicação linear que verifica:

\lim_{\big \|\mathbf{v}\big \|\to 0}\mathbf{f}\big (\mathbf{x}+\mathbf{v}\big ) = \mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )+\mathbf{f}_L\big (\mathbf{v}\big ).
Esta é a fórmula de Taylor de primeira ordem para \mathbf{f}.\quad \mathbf{f}_L\big (\mathbf{v}\big )=\mathbf{f}'\big( \mathbf{x};\mathbf{v}\big ).

A matriz de \mathbf{f}' é sua matriz jacobiana.

Diferenciabilidade implica em continuidade[editar | editar código-fonte]

Se um campo vetorial \mathbf{f} é diferenciável em \mathbf{x} \Rightarrow é contínuo em \mathbf{x}.

Se deduze facilmente da fórmula de Taylor de primeira ordem já vista.

Regra da cadeia para diferenciais de campos vetoriais[editar | editar código-fonte]

Seja \mathbf{h}\big (\mathbf{x}\big )=\big (\mathbf{f} \circ \mathbf{g}\big )\big (\mathbf{x}\big ) um campo vetorial definido e diferenciável em \mathbf{x}. Sua diferencial \mathbf{h}'\big (\mathbf{x}\big ) resulta ser

\mathbf{h}'\big (\mathbf{x}\big )=\mathbf{f}'\Big [\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )\Big ]\circ\mathbf{g}'\big (\mathbf{x}\big )

Condição suficiente para a igualdade das derivadas parciais mistas[editar | editar código-fonte]

\cfrac{\partial^2 f} {\partial x_i \partial x_j}=\cfrac{\partial^2 f} {\partial x_j \partial x_i} \quad \forall i \ne j \Leftrightarrow ambas derivadas parciais existem e são contínuas em \mathbf{x}.

Aplicações do cálculo diferencial[editar | editar código-fonte]

Cálculo de máximos, mínimos e "pontos de sela" para campos escalares[editar | editar código-fonte]

Um campo escalar tem um máximo em \mathbf{x} = \mathbf{a} \Leftrightarrow existe uma n-esfera B\big (\mathbf{a}\big )\Big |\forall\mathbf{x} \in B\big (\mathbf{a}\big ) \quad f\big (\mathbf{x}\big ) \leqslant f\big (\mathbf{a}\big )

Um campo escalar tem um mínimo em \mathbf{x} = \mathbf{a} \Leftrightarrow existe uma n-esfera B\big (\mathbf{a}\big )\Big |\forall\mathbf{x} \in B\big (\mathbf{a}\big ) \quad f\big (\mathbf{x}\big ) \geqslant f\big (\mathbf{a}\big )

Um campo escalar tem um ponto de sela \Leftrightarrow

\forall B\big(\mathbf{a}\big ) \quad \exists \mathbf{x}\big |f\big (\mathbf{x}\big ) \leqslant f\big (\mathbf{a}\big ) \land \exists \mathbf{x}\big |f\big (\mathbf{x}\big ) \geqslant f\big (\mathbf{a}\big ).
Função com um ponto de sela.

Para saber se é um dos casos anteriores:

  1. Obtemos \mathbf{x}\Big |\cfrac{\partial f}{\partial x_k}=0 \qquad \forall k\Big |1\leqslant k\leqslant n
  2. Obtemos a matriz hessiana de f. Seja esta \mathbf{F}\big (\mathbf{x}\big ).
    1. \mathbf{F}\big (\mathbf{x}\big ) é definida positiva \Rightarrow f tem um mínimo local (mínimo relativo) em \mathbf{x}.
    2. \mathbf{F}\big (\mathbf{x}\big ) é definida negativa \Rightarrow f tem um máximo local (máximo relativo) em \mathbf{x}.
    3. \mathbf{F}\big (\mathbf{x}\big ) é indefinida \Rightarrow f tem um ponto de sela em \mathbf{x}.

No exposto anteriormente, supomos que \cfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} é contínua \forall i,j\big |1\leqslant i\leqslant n, 1\leqslant j\leqslant n

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências