Cálculo com múltiplas variáveis

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Cálculo com múltiplas variáveis (também conhecido como cálculo multivariável) é a extensão do cálculo em uma variável ao cálculo em diversas variáveis: as funções as quais são diferenciáveis e integráveis envolvem várias variáveis ao invés de uma única variável.

Não é mais que a extensão do cálculo infinitesimal a funções escalares e vetoriais de várias variáveis, com tudo o que esta generalização implica.

Campo escalar com duas variáveis.

Cálculo diferencial em campos escalares e vetoriais[editar | editar código-fonte]

Funções de Rn em Rm. Campos escalares e vetoriais[editar | editar código-fonte]

Formulando as definições para campos vetoriais, estas também sendo válidas para campos escalares. Seja

\mathbf{f}:V \longrightarrow W

um campo vetorial que faz corresponder a todo ponto P definido biunivocamente por sua vetor posição um vetor \mathbf{f}\big (\mathbf{OP}\big ) onde o ponto O é a origem de coordenadas.

V \subseteq \mathbb{R}^n, W \subseteq \mathbb{R}^m, com n > 1 e m \geqslant 1. Quando m=1 temos um campo escalar. Para m>1 temos um campo vetorial. Utiliza-se a norma euclidiana para encontrar a magnitude dos vetores.

Limites e continuidade[editar | editar código-fonte]

Sejam \mathbf{a} \in \mathbb{R}^n e \mathbf{b} \in \mathbb{R}^m. Escrevemos:

\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )=\mathbf{b},
ou ainda,
\mathbf{f}(\mathbf{x}) \rightarrow \mathbf{b} cuando \mathbf{x} \rightarrow \mathbf{a}
para expressar o seguinte:
\lim_{\big \|\mathbf{x-a}\big \| \to 0}\big \|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) - \mathbf{b}\big \| = 0

onde \big \|\mathbf{x}\big \| é a norma euclideana de \mathbf{x}.

Expresando-o em função das componentes de \mathbf{x} = \big (x_1,\ldots,x_n\big ), \mathbf{a} = \big (a_1,\ldots,a_n\big ),

\lim_{\big (x_1,\ldots,x_n\big ) \to \big (a_1,\ldots,a_n\big )}\mathbf{f}\big (x_1,\ldots,x_n\big ) = \mathbf{b}

ou, de forma equivalente,

\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{b}

Dizemos que uma função \mathbf{f} é contínua em \mathbf{a} \Leftrightarrow \lim_{\mathbf{x}\to \mathbf{a}}\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{f}\big (\mathbf{a}\big ).

\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{b}, \lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{a}}\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{c} \Rightarrow

a) \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\big [\mathbf{f} + \mathbf{g}\big ]\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{b} + \mathbf{c}
b) \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\lambda\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) = \lambda\mathbf{b} \quad\forall\lambda \in \mathbb{R}
c) \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\big (\mathbf{f}\cdot\mathbf{g}\big )\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{b}\cdot\mathbf{c}
(produto escalar de \mathbf{b} com \mathbf{c}).
d) \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\Big \|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )\Big \|=\big \|\mathbf{b}\big \|


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Referências