Função

 Nota: Para outros significados, veja Função (desambiguação).

Função é um dos conceitos mais importantes da matemática. Existem várias definições, dependendo da forma como são escolhidos os axiomas. Uma relação entre dois conjuntos, onde há uma relação entre cada um de seus elementos. Também pode ser uma lei que para cada valor x é correspondido por um elemento y, também denotado por f(x). Existem inúmeros tipos de funções matemáticas, entre as principais temos: função sobrejetora; função injetora; função bijetora; função trigonométrica; Função linear; função modular; função do segundo grau; função exponencial; função logarítmica; função Green; função polinomial; dentre inúmeras outras. Cada função é definida por leis generalizadas e propriedades específicas..

Função f(x) = x²

Conceito

As funções são definidas abstractamente por certas relações. Por causa de sua generalização as funções aparecem em muitos contextos matemáticos e muitas áreas desta ciência baseiam-se no estudo de funções. Pode notar-se que as palavras: função; mapeamento; mapear; e transformar são geralmente usadas como termos equivalentes. Além disso funções podem ocasionalmente ser referidas como funções bem definidas ou função total. O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de fórmula matemática. As funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois elementos. Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento x um único valor da função f(x). Isto pode ser feito especificando através de: uma equação, um relacionamento gráfico; diagramas representando os dois conjuntos; uma regra de associação; uma tabela de correspondência. Cada par de elementos relacionados pela função determina um ponto nesta representação, a restrição de unicidade da imagem implica um único ponto da função em cada linha de chamada do valor independente x. .

A noção intuitiva de funções não se limita a computações usando apenas números. A noção matemática de funções é bem mais ampla. Assim, uma função liga um domínio (conjunto de valores de entrada) com um segundo conjunto o contradomínio ou codomínio (conjunto de valores de saída) de tal forma que a cada elemento do domínio está associado exatamente um elemento do contradomínio. O conjunto dos elementos do contradomínio que são relacionados pela f a algum x do domínio, é o conjunto imagem ou chamado simplesmente imagem.

Definição formal

Considere dois conjuntos: o conjunto X com elementos x e o conjunto Y com elementos y. Isto é:

$f:X\rightarrow Y$

diz-se que a função f de X em Y que relaciona cada elemento x em X, um único elemento y = f (x) em Y.

Outra maneira de dizer isto é afirmar que f é uma relação binária entre os dois conjuntos tal que:

1. f é unívoca: se y = f (x) e z = f (x), então y = z;
2. f é total: para todos x em X, existe um y em Y tal que y = f (x).

Se a segunda condição é atendida, mas a primeira não, temos uma função multivalorada, o termo função multívoca é, por vezes utilizado na mesma acepção.

Se a primeira condição é atendida, mas a segunda não, temos uma função parcial.

Considere as três funções seguintes:

	Esta não é uma função, pois o elemento 3 em X é associado com dois elementos (d e c) em Y (a correspondência é funcional). Apesar de não ser uma função, representa uma função multivalorada.
	Esta não é uma função, pois o elemento 1 em X não é associado com um elemento em Y. Apesar de não ser uma função, representa uma função parcial.
	Esta é uma função (no caso, uma função discreta). Ela pode ser definida explicitamente pela expressão: $f(x)=\left\{\begin{matrix} a, & \mbox{se }x=1 \\ c, & \mbox{se }x=2 \\ d, & \mbox{se }x=3. \end{matrix}\right.$

Elementos da função

Função x², definida para { -3,-2,-1,0 }. Observar o conjunto domínio (D), contradomínio (CD) e imagem (delineado pela linha tracejada).

Seja $f: D \rightarrow CD$ uma função. Toda função consta de três partes:

• A primeira é o conjunto D, chamado de domínio da função, é o conjunto onde a função é definida , ou seja, ele contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida.
• Outra parte integrante da função é o contradomínio (representado na figura por CD), que é o conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados a elementos do domínio. Em outras palavras, é o conjunto onde a função toma valores. Dentro do contradomínio, define-se o conjunto imagem como o conjunto de valores que efetivamente f(x) assume. O conjunto imagem é, pois, sempre um subconjunto do contradomínio.
• A terceira parte de uma função é a regra que permite associar, de modo bem determinado, a cada elemento $x \in D$, um único elemento $f(x) \in CD$, chamado o valor que a função assume em x (ou no ponto x).

A função, portanto, se caracteriza pelo domínio, o contradomínio, e pela lei de associação (regra). A função $f: \R \to \R, \ f(x) = x^2\,$ é diferente da função $g: \R \to \R^{+}, \ g(x) = x^2\,$, pois o contradomínio é diferente.

Gráficos de função

As funções são comumente representadas em gráficos. O gráfico de uma função f : D → I é o conjunto dos pares ordenados em D x I da forma ( x , f (x) ), ou seja:

$\left\{\left(x,f(x)\right) : x \in D \right\}\,$

ou equivalentemente:

$\left\{\left(x,y\right)\in D\times I : x \in D \mbox{ e } y=f(x) \right\}\,$

os termos deste par ordenado são chamados de abcissa e ordenada, respectivamente.

Uma função é determinada pelo seu gráfico e pela especificação do conjunto de chegada. Assim, se duas funções têm o mesmo gráfico, uma poderá ser sobrejectiva e a outra não. No entanto, a injectividade de uma função é completamente determinada pelo gráfico.

Classificação das funções

Quanto ao número de elementos na imagem

Os tipos de funções podem ser classificados de acordo com o seu comportamento com relação à regra uma única saída para cada entrada. Como não foi dito nada sobre as entradas, ou se as saídas tem que ser únicas temos que resolver estas ambiguidades. Ao fazer isto encontramos apenas três tipos de classes de funções, e classe é empregado aqui como classificação mesmo e não como classe de equivalência.

Tipo de função	Característica da função	Conjunto imagem	Explicação visual	Exemplo	Admite função inversa? É inversível?
Função injetora ou injetiva	Cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, isto é, quando x ≠ y no domínio e f(x) ≠ f(y) no contradomínio. A cardinalidade do contradomínio é sempre maior ou igual à do domínio.	O número de elementos no contradomínio pode ser igual ou maior que na imagem da função.		A função f: N $\rightarrow$ N dada por f(x) = 2x, é injetiva porque, sempre que toma-se dois valores diferentes de x: a ≠ b, obtém-se valores diferentes para f(x): f(a) ≠ f(b).	Não sempre, mas sempre admite inversa à esquerda.
Função sobrejetora ou sobrejetiva	Todos os elementos do contradomínio estão associados a algum elemento do domínio.	O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio		A função f: R $\rightarrow$ R dada por f(x) = 6x, não é sobrejetiva, pois o número -1 é elemento do contradomínio R e não é imagem de qualquer elemento do domínio.	Não sempre, mas sempre admite inversa à direita.
Função bijetora ou bijetiva	São ao mesmo tempo sobrejetoras e injetoras, isto é, todos os elementos do domínio estão associados a todos os elementos do contradomínio de forma um para um e exclusiva.	O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio		A função f: N $\rightarrow$ N dada por f(x) = x, é bijetiva porque é sobrejetiva e injetiva ao mesmo tempo. Exemplo: função identidade	Sim, sempre; imagem igual ao contradomínio vira domínio e vice-versa.

Quanto ao tipo de regra

Uma função pode ser classificada de acordo com o tipo de regra que associa os elementos do domínio aos elementos do contradomínio. Se a regra que associa o domínio ao contradomínio é um polinômio, então a função é dita uma Função polinomial. Exemplos de funções polinomiais são a função linear e a função quadrática. Se a regra eleva o logaritmo neperiano pelos elementos do domínio, então a função é dita exponencial.

Funções implícitas e explicitas

O tipo de função mais comum é aquele onde o argumento e o valor da função são ambos numéricos, o relacionamento entre os dois é expresso por uma fórmula e o valor da função é obtido através da substituição direta dos argumentos. Considere o exemplo:

$f(x)=x^2 \,\!$

Que resulta em qualquer valor de x ao quadrado. Uma generalização direta é permitir que funções dependam não só de um único valor, mas de vários. Por exemplo:

$g(x,y)=xy \,\!$

recebe dois números x e y e resulta no produto deles, xy. De acordo com o modo como uma função é especificada, ela pode ser chamada de função explícita (exemplos acima) ou de função implícita, como em:

$xf(x)=1 \,\!$

que implicitamente especifica a função:

$f(x)= \frac{1}{x}$

Funções compostas

São as funções em que o conjunto imagem de uma função f(x) serve de domínio para uma outra função g(x), que por sua vez gera um conjunto imagem A. A função composta é uma expressão que, dado um determinado número do domínio de f(x), nos leva diretamente ao conjunto imagem A. Por exemplo, dadas as funções:

f(x) = 2x + 3 e g(x) = x − 1

uma função composta pode ser:

g(f(x)) = 2x + 2

Existem várias maneiras de se criar funções compostas. Podemos fazer f(g(x)), f(f(x)), etc. Note que o conjunto imagem de uma função serve sempre de domínio para a outra.

História

Como um termo matemático, função foi introduzido por Gottfried Leibniz em 1694, para designar qualquer das várias variáveis geométricas associadas com uma dada curva; tais como a inclinação da curva ou um ponto específico da dita curva. Funções relacionadas às curvas são atualmente chamadas funções diferenciáveis e são ainda o tipo de funções mais encontrado por não-matemáticos. Para este tipo de funções, pode-se falar em limites e derivadas; ambos sendo medida da mudança nos valores de saída associados à variação dos valores de entrada, formando a base do cálculo infinitesimal.

A palavra função foi, posteriormente, usada por Euler em meados do século XVIII para descrever uma expressão envolvendo vários argumentos. Com o tempo foi-se ampliando a definição de funções. Os matemáticos foram capazes de estudar "estranhos" objetos matemáticos tais como funções que não são diferenciáveis em qualquer de seus pontos. Tais funções, inicialmente tidas como puramente imaginárias e chamadas genericamente de "monstros", foram já no final do século XX, identificadas como importantes para a construção de modelos físicos de fenômenos tais como o movimento Browniano.

Durante o Século XIX, os matemáticos começaram a formalizar todos os diferentes ramos da matemática. Weierstrass defendia que se construisse o cálculo infinitesimal sobre a Aritmética ao invés de sobre a Geometria, o que favorecia a definição de Euler em relação à de Leibniz. Mais para o final do século, os matemáticos começaram a tentar formalizar toda a Matemática usando Teoria dos conjuntos, e eles conseguiram obter definições de todos os objetos matemáticos em termos do conceito de conjunto. Foi Dirichlet quem criou a definição "formal" de função moderna. Na definição de Dirichlet, uma função é um caso especial de uma relação. Relação é um conjunto de pares ordenados, onde cada elemento do par pertence a um dos conjuntos relacionados. Nas relações não existem restrições quanto à lei de correspondência entre os elementos dos conjuntos, já para as funções é costume introduzir restrições. Na maioria dos casos de interesse prático, entretanto, as diferenças entre as definições moderna e de Euler são desprezáveis.

Referências

Bibliografia

• Ávila, Geraldo Severo de Souza. (2005). Análise matemática para licenciatura. São Paulo. Edgard Blücher. ISBN 85-212-0371-3.
• Barboni, Ayrton; Paulette, Walter. (2007). Fundamentos de Matemática: Cálculo e Análise. Editora LTC. ISBN 978-85-216-1546-0.

Ligações externas

• Funções e Gráficos: um curso introdutório da UFRGS
• Relações e Funções
• Explicação de funções em 19 páginas pelo Grupo de Matemática da Universidade Técnica de Lisboa