Produto escalar

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Em matemática, em álgebra linear, o produto escalar é uma função binária definida entre dois vetores que fornece um número real (também chamado "escalar") como resultado[1] [2] . É o produto interno padrão do espaço euclidiano.[3] [4]

O produto vetorial, que é outra operação possível de ser definir para vetores fornece, por outro lado, um novo vetor.[5]

Definição[editar | editar código-fonte]

Geométrica[editar | editar código-fonte]

Produto escalar de vetores. Percebe-se que ||A||•cos(θ) é a projeção de A em B.

O produto escalar de dois vetores A e B, que se representa por \cdot ou ainda por um traço vertical | é o resultado do produto do comprimento (também chamado de norma ou módulo) de B pela projeção escalar de A em B.[6]

\bold{A}\cdot\bold{B} = \left\|\bold{A}\right\|\left\|\bold{B}\right\|\cos\theta

Onde θ é o ângulo formado pelos vetores e ||A|| e ||B|| são seus comprimentos.

Essa expressão somente contém uma definição do comprimento de um vetor como a raiz quadrada do seu produto escalar, mas não fornece meios de se calcular o comprimento do vetor.

\bold{A}\cdot\bold{A} = \left\|\bold{A}\right\|\left\|\bold{A}\right\|\cos0 = \left\|\bold{A}\right\|^2

Entretanto, essa expressão permite o cálculo do ângulo θ entre os vetores:[6]

\theta =  \arccos{\frac{\bold{A}\cdot\bold{B}}{\left\|\bold{A}\right\|\left\|\bold{B}\right\|}}

Note que não é necessário mencionar nenhum sistema de coordenadas para se obter o valor do produto escalar. A formula acima é válida independente do sistema de coordenadas.

Fisicamente, se A fosse uma força, o produto escalar mediria o quanto da força A estaria sendo aplicada na direção de B. Isto só é válido, entretanto, se o vetor B for unitário. Do contrário, a magnitude da projeção de A em B ("o quanto da força A está aplicado na direção de B") deve ser obtida por A · (B / |B|), visto que B / |B| representa o vetor unitário na direção de B.

Algébrica[editar | editar código-fonte]

Em um sistema de coordenadas ortonormal de n dimensões, onde escrevemos os vetores A e B em termos de componentes como

\bold{A} = \left( a_1, a_2, \cdots, a_n \right) e
\bold{B} = \left( b_1, b_2, \cdots, b_n \right),

o produto escalar entre A e B é:[7] [6]

\bold{A}\cdot\bold{B} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n

Note que a interpretação do produto escalar como a projeção do vetor na direção de outro, neste caso, está longe de ser óbvia. No entanto a expressão acima nos fornece uma forma de obter o comprimento de um vetor qualquer em termos de suas componentes:[6]

 \left\|\bold{A}\right\| = \sqrt{\bold{A}\cdot\bold{A}} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}

Propriedades[editar | editar código-fonte]

O produto escalar de vetores tem as seguintes propriedades:[6]

Referências

  1. http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/i051240
  2. http://mathworld.wolfram.com/DotProduct.html
  3. http://www.mathreference.com/la,dot.html
  4. http://w3.ualg.pt/~gmarques/Ficheiros/ProdutoInterno26.pdf
  5. http://demonstrations.wolfram.com/DotProduct/
  6. a b c d e Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues Roberto C. F. Costa. Álgebra Linear e Aplicações. 6. ed. São Paulo: Atual, 1990. p. 158--163. ISBN 9788570562975.
  7. Golub, Gene H.; Charles F. Van Loan. Matrix Computations (em inglês). 3. ed. Baltimore and London: Johns Hopkins University Press, 1996. p. 4. ISBN 080185413X.