Produto escalar

Em matemática, em álgebra linear, o produto escalar é uma função binária definida entre dois vetores que fornece um número real (também chamado "escalar") como resultado. É o produto interno padrão do espaço euclidiano.

O produto vetorial, que é outra operação possível de ser definir para vetores fornece, por outro lado, um novo vetor.

Definição

Geométrica

Produto escalar de vetores. Percebe-se que ||A||•cos(θ) é a projeção de A em B.

O produto escalar de dois vetores A e B é o resultado do produto do comprimento (também chamado de norma ou módulo) de A pela projeção escalar de B em A.

$\bold{A}\cdot\bold{B} = \left\|\bold{A}\right\|\left\|\bold{B}\right\|\cos\theta$

Onde θ é o ângulo formado pelos vetores e ||A|| e ||B|| são seus comprimentos.

Essa expressão somente contém uma definição do comprimento de um vetor como a raiz quadrada do seu produto escalar, mas não fornece meios de se calcular o comprimento do vetor.

$\bold{A}\cdot\bold{A} = \left\|\bold{A}\right\|\left\|\bold{A}\right\|\cos0 = \left\|\bold{A}\right\|^2$

Entretanto, essa expressão permite o cálculo do ângulo θ entre os vetores:

$\theta = \arccos{\frac{\bold{A}\cdot\bold{B}}{\left\|\bold{A}\right\|\left\|\bold{B}\right\|}}$

Note que não é necessário mencionar nenhum sistema de coordenadas para se obter o valor do produto escalar. A formula acima é válida independente do sistema de coordenadas.

Fisicamente, se A fosse uma força, o produto escalar mediria o quanto da força A estaria sendo aplicada na direção de B. Isto só é válido, entretanto, se o vetor B for unitário. Do contrário, a magnitude da projeção de A em B ("o quanto da força A está aplicado na direção de B") deve ser obtida por A · (B / |B|), visto que B / |B| representa o vetor unitário na direção de B.

Algébrica

Em um sistema de coordenadas ortonormal de n dimensões, onde escrevemos os vetores A e B em termos de componentes como:

$\bold{A} = \left( a_1, a_2, \cdots, a_n \right)$

$\bold{B} = \left( b_1, b_2, \cdots, b_n \right)$

O produto escalar entre A e B é escrito como sendo:

$\bold{A}\cdot\bold{B} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$

Note que a interpretação do produto escalar como a projeção do vetor na direção de outro, neste caso, está longe de ser óbvia. No entanto a expressão acima nos fornece uma forma de obter o comprimento de um vetor qualquer em termos de suas componentes:

$\left\|\bold{A}\right\| = \sqrt{\bold{A}\cdot\bold{A}} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}$

Propriedades

O produto escalar de vetores tem as seguintes propriedades:

• $\bold{A}\cdot\bold{B} = \bold{B}\cdot\bold{A}$ (comutativa).
• $\bold{A}\cdot\left(\bold{B}+\bold{C}\right) = \bold{A}\cdot\bold{B} + \bold{A}\cdot\bold{C}$ (distributiva em relação à soma de vetores).
• $\left(n_1\bold{A}\right)\cdot\left(n_2\bold{B}\right) = \left(n_1n_2\right)\left(\bold{A}\cdot\bold{B}\right)$