Valor próprio

Fig.1.Observe que neste mapeamento de cisalhamento da Mona Lisa, a imagem foi deformada de tal modo que o seu eixo central vertical (vector vermelho) não mudou de direção, mas o vector diagonal (azul) mudou de direção. Isso ocorre porque o vetor vermelho é um autovetor da transformação e o vetor azul não é. Caso o vetor vermelho não tenha seu módulo alterado - não seja esticado nem encolhido, o seu valor próprio (autovalor) é igual a 1. Todos os vectores com a mesma direção vertical, isto é, paralelos a este vetor, também são próprios, com o mesmo autovalor. Juntamente com o zero-vetor, eles formam o autoespaço para este autovalor.

Em álgebra linear, um escalar λ é valor próprio (ou autovalor) de um operador linear A : V -> V se existir um vector x diferente de zero tal que Ax=λx. O vector x é chamado vector próprio.

Os autovalores de uma dada matriz quadrada A de dimensão nXn são os n números que resumem as propriedades essenciais daquela matriz. O autovalor de A é um número λ tal que, se for subtraído de cada entrada na diagonal de A, converte A numa matriz singular. Subtrair um escalar λ de cada entrada na diagonal de A é o mesmo que subtrair λ vezes a matriz identidade I de A. Portanto, λ é um autovalor se e somente se a matriz (A-λI) for singular.

Multiplicidade

Caso o espaço vectorial no qual A esteja definido tenha dimensão finita, a multiplicidade algébrica (ou apenas multiplicidade) de um valor próprio λ de A é o número de factores t-λ do polinómio característico de A.

Autovalor de matriz diagonal

As entradas na diagonal de uma matriz diagonal D são autovalores de D . Por exemplo, o elemento d₁₁ é um autovalor da matriz abaixo:

$D= \begin{bmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & d_{nn} \end{bmatrix}$

Autovalor de matriz singular

Ver artigo principal: Polinômio característico

Uma matriz quadrada "A" é singular se, e somente se, 0 é um autovalor de A. Esta é, aliás, a principal técnica para descobrir se uma matriz é singular: $det \left ( A-\lambda I \right )=0$. para uma matriz de dimensão nXn, o lado esquerdo desta equação é um polinômio de grau n na variável λ, denominado polinômio característico de A .

Traço e determinante

Ver artigo principal: determinante

Suponhamos que os valores próprios de uma matriz A são λ₁,λ₂,...,λ_n. Então o traço de A é λ₁+λ₂+...+λ_n e o determinante de A é λ₁λ₂...λ_n. Estes são dois conceitos importantes em teoria matricial.

Interpretação geométrica

Fig. 2. A transformação A aumenta a magnitude do vetor x, mas não muda sua direção. Logo, x é um autovetor de A, e λ um autovalor de A.

Geometricamente (Fig. 2), a equação do valor próprio (autovalor) Ax=λx implica que numa transformação A, autovetores sofrem apenas mudança na sua magnitude e sinal - a direção de Ax é a mesma direção de x . O autovalor λ indica apenas o tanto que o vetor irá "encolher" ou "esticar" ao sofrer a transformação A. Se λ = 1, o vetor permanece inalterado (não é afetado pela transformação). Se λ = −1 o vetor passa a ter a direção oposta (muda de sentido apenas) e a transformação é chamada reflexão. A transformação I sob a qual um vetor x permanece inalterado, Ix = x é definida como transformação identidade.

Exemplo

Às vezes é possível descobrir um ou mais autovalores de uma matriz por inspeção . Seja, por exemplo, a matriz $A= \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \\ \end{bmatrix}$. Subtraindo 2 de cada entrada da diagonal principal, transformamos A em uma matriz singular: $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$. Portanto, 2 é um autovalor da matriz A.

Ver também

• Vector próprio
• Decomposição em Valores Singulares - valor singular e vetor singular (ideias semelhantes para matrizes retangulares)
• Forma canônica de Jordan
• wikibooks:Linear Algebra/Eigenvalues and eigenvectors