Matriz hermitiana

Em matemática, sobretudo na álgebra linear, uma matriz auto-adjunta, hermitiana ^{(português brasileiro)} ou hermítica ^{(português europeu)} é uma matriz quadrada complexa que é igual à sua própria transposta conjugada - ou seja, o elemento na i-ésima linha e j-ésima coluna é igual ao conjugado complexo do elemento na j-ésima linha e i-ésima coluna, para todos os índices i e j:

$$A{\text{ hermitiana}}\quad \iff \quad a_{ij}={\overline {a_{ji}}}$$

ou em forma de matriz:

$$A{\text{ hermitiana}}\quad \iff \quad A={\overline {A^{\mathsf {T}}}}.$$

Matrizes hermitianas podem ser entendidas como a extensão complexa das matrizes simétricas reais.

Se a conjugada transposta de uma matriz $A$ for indicada por $A^{\mathsf {H}},$ a propriedade hermitiana pode ser escrita de forma concisa como

$$A{\text{ hermitiana}}\quad \iff \quad A=A^{\mathsf {H}}$$

As matrizes hermitianas recebem este nome em homenagem a Charles Hermite, que demonstrou em 1855 que matrizes desse tipo compartilham uma propriedade com matrizes simétricas reais de sempre ter autovalores reais. Outras notações equivalentes de uso comum são $A^{\mathsf {H}}=A^{\dagger }=A^{\ast },$ no entanto observe que na mecânica quântica, $A^{\ast }$ tipicamente significa apenas a conjugada complexa, e não a transposta da conjugada .

Caracterizações alternativas

As matrizes hermitianas podem ser caracterizadas de várias maneiras equivalentes, algumas das quais estão listadas abaixo:

Igualdade com a adjunta

Uma matriz quadrada $A$ é hermitiana se, e somente se, for igual à sua adjunta, ou seja, satisfizer

$$\langle w,Av\rangle =\langle Aw,v\rangle ,$$

para qualquer par de vetores $v,w,$ em que $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ denota a operação de produto interno .

Também é assim que o conceito mais geral de operador autoadjunto é definido.

Realidade de formas quadráticas

Uma matriz quadrada $A$ é hermitiana se, e somente se, for tal que

$$\langle v,Av\rangle \in \mathbb {R} ,\quad v\in V.$$

Propriedades espectrais

Uma matriz quadrada $A$ é hermitiana se, e somente se, for unitariamente diagonalizável com autovalores reais.

Aplicações

As matrizes hermitianas são fundamentais para a teoria quântica da mecânica matricial criada por Werner Heisenberg, Max Born e Pascual Jordan em 1925.

Exemplos

Nesta seção, a transposta conjugada da matriz $A$ é indicada por $A^{\mathsf {H}},$ a transposta da matriz $A$ é indicada por $A^{\mathsf {T}}$ e a conjugada da matriz $A$ é indicada por ${\overline {A}}.$

Considere o seguinte exemplo:

$${\begin{bmatrix}2&2+i&4\\2-i&3&i\\4&-i&1\\\end{bmatrix}}$$

Os elementos diagonais devem ser reais, pois precisam coincidir com seus próprios conjugados complexos.

Entre as famílias bem conhecidas de matrizes hermitianas estão as matrizes de Pauli, as matrizes de Gell-Mann e suas generalizações. Na física teórica, tais matrizes hermitianas são frequentemente multiplicadas por coeficientes imaginários, resultando em matrizes skew-hermitianas.

Aqui, é oferecida outra matriz hermitiana útil usando um exemplo abstrato. Se uma matriz quadrada $A$ é igual ao produto de uma matriz por sua transposta conjugada, ou seja, $A=BB^{\mathsf {H}},$ então $A$ é uma matriz semi-definida positiva hermitiana. Além disso, se $B$ tem posto completo por linhas, então $A$ é definida positiva.

Propriedades

• As entradas na diagonal principal (do canto superior esquerdo para o inferior direito) de qualquer matriz hermitiana são reais .

  Prova: pela definição de matriz hermitiana,

  $$H_{ij}={\overline {H}}_{ji}$$

  Assim, para i = j segue-se a afirmação anterior.

  Somente as principais entradas diagonais são necessariamente reais; As matrizes hermitianas podem ter entradas complexas arbitrárias em seus elementos fora da diagonal, desde que as entradas diagonalmente opostas sejam conjugadas complexas.

• Uma matriz que possui apenas entradas reais é hermitiana se e somente se é simétrica. Uma matriz real e simétrica é simplesmente um caso especial de uma matriz hermitiana.

  Prova: $H_{ij}={\overline {H}}_{ji}$ por definição. Portanto, $H_{ij}=H_{ji}$ (simetria da matriz) se e somente se $H_{ij}={\overline {H}}_{ij}$ ($H_{ij}$ é real).

• Toda matriz hermitiana é uma matriz normal. Isto significa que $AA^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}A.$

  Prova: $A=A^{\mathsf {H}},$ então $AA^{\mathsf {H}}=AA=A^{\mathsf {H}}A.$

• O teorema espectral em dimensão finita diz que qualquer matriz hermitiana pode ser diagonalizada por uma matriz unitária e que a matriz diagonal resultante tem apenas entradas reais. Isso implica que todos os autovalores de uma matriz hermitiana A com dimensão n são reais e que A possui n autovetores linearmente independentes. Além disso, uma matriz hermitiana tem autovetores ortogonais para autovalores distintos. Mesmo que existam autovalores degenerados, sempre é possível encontrar uma base ortogonal de ℂⁿ consistindo em n autovetores de A.
• A soma de quaisquer duas matrizes hermitianas é hermitiana.

  Prova: $(A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}={\overline {A}}_{ji}+{\overline {B}}_{ji}={\overline {(A+B)}}_{ji},$ como afirmado.

• A inversa de uma matriz hermitiana invertível também é hermitiana.

  Prova: Se $A^{-1}A=I,$ então $I=I^{\mathsf {H}}=(A^{-1}A)^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}(A^{-1})^{\mathsf {H}}=A(A^{-1})^{\mathsf {H}},$ de modo que $A^{-1}=(A^{-1})^{\mathsf {H}}$ como afirmado.

• O produto de duas matrizes hermitianas A e B é hermitiano se, e somente se, AB = BA.

  Prova: Observe que $(AB)^{\mathsf {H}}={\overline {(AB)^{\mathsf {T}}}}={\overline {B^{\mathsf {T}}A^{\mathsf {T}}}}={\overline {B^{\mathsf {T}}}}\ {\overline {A^{\mathsf {T}}}}=B^{\mathsf {H}}A^{\mathsf {H}}=BA.$ portanto $(AB)^{\mathsf {H}}=AB$ se e somente se $AB=BA.$

  Consequentemente, Aⁿ é hermitiana se A é hermitiana e n é um número inteiro.

• Para um vetor a valores complexos arbitrário v, o produto $v^{\mathsf {H}}Av$ é real, dado que $v^{\mathsf {H}}Av=\left(v^{\mathsf {H}}Av\right)^{\mathsf {H}}.$ Isso é especialmente importante em física quântica, onde as matrizes hermitianas representam operadores que medem propriedades de um sistema, por exemplo, rotação total, que precisam ser reais.
• As matrizes hermitianas complexas n por n não formam um espaço vectorial sobre os números complexos, ℂ, uma vez que a matriz identidade I_n é hermitiana, mas i I_n não é. No entanto as matrizes hermitianas complexas formam um espaço vetorial sobre os números reais, ℝ. No espaço vectorial de dimensão 2n² das matrizes complexas n × n sobre ℝ, as matrizes complexas hermitianas formam um subespaço de dimensão n². Se E_jk indica a matriz n por n com um 1 na posição j,k e zeros nas demais entradas, uma base (ortonormal em relação ao produto interno de Frobenius) pode ser descrita como se segue:
  $$E_{jj}{\text{ para }}1\leq j\leq n\quad (n{\text{ matrizes}})$$

  juntamente com o conjunto de matrizes da forma

  $${\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(E_{jk}+E_{kj}\right){\text{ para }}1\leq j<k\leq n\quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ matrizes}}\right)$$

  e as matrizes

  $${\frac {i}{\sqrt {2}}}\left(E_{jk}-E_{kj}\right){\text{ para }}1\leq j<k\leq n\quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ matrizes}}\right)$$

  em que $i$ denota o número complexo ${\sqrt {-1}},$ chamado de unidade imaginária .

• Se n autovetores ortonormais $u_{1},\dots ,u_{n}$ de uma matriz hermitiana forem escolhidos e escritos como as colunas da matriz U, então uma decomposição em autovalores de A será $A=U\Lambda U^{\mathsf {H}}$ em que $UU^{\mathsf {H}}=I=U^{\mathsf {H}}U$ e portanto
  $$A=\sum _{j}\lambda _{j}u_{j}u_{j}^{\mathsf {H}},$$

  em que $\lambda _{j}$ são os autovalores na diagonal da matriz diagonal $\Lambda .$

• O determinante de uma matriz hermitiana é real:

  Prova: $\det(A)=\det \left(A^{\mathsf {T}}\right)\quad \Rightarrow \quad \det \left(A^{\mathsf {H}}\right)={\overline {\det(A)}}$

  Portanto, se $A=A^{\mathsf {H}}\quad \Rightarrow \quad \det(A)={\overline {\det(A)}}.$

  (Alternativamente, o determinante é o produto dos autovalores da matriz e, como mencionado anteriormente, os autovalores de uma matriz hermitiana são reais.)

Decomposição em hermitiana e skew-hermitiana

Fatos adicionais relacionados às matrizes hermitianas incluem:

• A soma de uma matriz quadrada e sua transposta conjugada $\left(A+A^{\mathsf {H}}\right)$ é hermetiana.
• A diferença de uma matriz quadrada e sua transposta conjugada $\left(A-A^{\mathsf {H}}\right)$ é skew-hermitiana (também chamada de anti-hermitiana). Isso implica que o comutador de duas matrizes hermitianas é skew-hermitiano.
• Uma matriz quadrada arbitrária C pode ser escrita como a soma de uma matriz hermitiana A e de uma matriz skew-hermitiana B. Isso é conhecido como a decomposição de Toeplitz de C

$$C=A+B\quad {\mbox{com}}\quad A={\frac {1}{2}}\left(C+C^{\mathsf {H}}\right)\quad {\mbox{e}}\quad B={\frac {1}{2}}\left(C-C^{\mathsf {H}}\right)$$

Quociente de Rayleigh

Em matemática, para uma dada matriz complexa hermitiana M e um vetor não nulo x, o quociente de Rayleigh $R(M,x),$ é definido como:

$$R(M,x):={\frac {x^{\mathsf {H}}Mx}{x^{\mathsf {H}}x}}.$$

Para matrizes e vetores reais, a condição de ser hermitiana reduz-se à de ser simétrica, e a conjugada transposta $x^{\mathsf {H}}$ à transposição usual $x^{\mathsf {T}}.$ Observe que $R(M,cx)=R(M,x)$ para qualquer escalar real diferente de zero $c.$ Lembre-se também de que uma matriz hermitiana (ou simétrica real) tem autovalores reais.

Pode ser mostrado^{[carece de fontes]} que, para uma dada matriz, o quociente de Rayleigh assume o seu valor mínimo $\lambda _{\min }$ (o menor autovalor de M) quando $x$ é $v_{\min }$ (o autovetor correspondente). Similarmente, $R(M,x)\leq \lambda _{\max }$ e $R(M,v_{\max })=\lambda _{\max }.$

O quociente de Rayleigh é usado no teorema min-max para obter valores exatos de todos os autovalores. Também é usado em algoritmos de autovalores para obter uma aproximação de um autovalor a partir de uma aproximação de um autovetor. Especificamente, essa é a base para a iteração de quociente de Rayleigh.

A imagem do quociente de Rayleigh (para uma matriz que não é necessariamente hermitiana) é chamado de imagem numérica (ou espectro em análise funcional). Quando a matriz é hermitiana, a imagem numérica é igual à norma espectral. Ainda em análise funcional, $\lambda _{\max }$ é conhecido como raio espectral. No contexto de C*-álgebras ou de mecânica quântica algébrica, a função que associa M ao quociente de Rayleigh R(M, x) para um x fixo e M variando pela álgebra seria chamada de "estado vetorial" da álgebra.

Ver também

• Espaço vetorial
• Matriz skew-hermitiana (matriz anti-hermitiana)
• Fórmula de aditividade de inércia de Haynsworth
• Forma hermitiana
• Operador autoadjunto
• Matriz unitária

Ligações externas

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Hermitian matrix», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer  Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Hermitian matrix», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 
• Visualizar a matriz hermitiana como uma elipse com o Dr. Geo, de Chao-Kuei Hung da Universidade de Chaoyang, fornece uma explicação mais geométrica.
• "Hermitian Matrices" . MathPages.com .