Base ortogonal

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A base ortogonal em álgebra linear, diz que, para um espaço vetorial V, V = [ {\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, \cdot \cdot \cdot, \vec{v_n}} ] , com produto interno é uma base para V cujos vetores em pares e distintos são mutuamente ortogonais. Por definição temos:[1] [2]

V \subset \mathbb{R}^n
\mathbf{n} = \left\{\begin{array}{ll} n = 1 \\ n = \infty \end{array}\right.\quad, \mathbf{\vec{v}}_n \subset V
Sendo
 V = \left\{\begin{array}{ll} {\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3},} \\ {\cdot \cdot \cdot, \vec{v_n}} \end{array} \right\} \quad
Tenho n pares de vetores distintos e ortogonais,
\langle\mathbf{\vec{v}}_i,\mathbf{\vec{v}}_j \rangle =
\left\{\begin{array}{ll} 0 & i \ne j
\end{array}\right.\quad,


Se os vetores de uma base ortogonal forem normalizados, a base resultante é uma base ortonormal.

Qualquer base ortogonal pode ser usada para definir um sistema de coordenadas ortogonais.[3] [4]

Uma combinação linear dos vetores de uma base ortogonal pode ser usada para representar qualquer ponto do espaço vetorial, ou seja, uma base ortogonal é formada por vetores linearmente independentes.

Referências

  1. Espaços Euclidianos
  2. Milnor, J.; Husemoller, D.. In: J.. Symmetric Bilinear Forms. [S.l.]: Springer-Verlag, 1973. p. 6. vol. 73. ISBN 3-540-06009-X
  3. Eric W. Weisstein, Orthogonal Basis em MathWorld
  4. BASES ORTONORMAIS

Ver também[editar | editar código-fonte]

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