Corpo (matemática)

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Em matemática, um corpo ou campo é um anel comutativo com unidade em que todo elemento diferente de 0 possui um elemento inverso com relação à multiplicação.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Mais formalmente, um anel comutativo F com unidade é chamado de corpo se:

(\forall x \in F\setminus\{0\})(\exists y\in F):x.y = 1.

Resulta da comutatividade de F que o y da definição anterior também satisfaz a condição y.x=1. Por outro lado, só pode haver um único y naquelas condições. De facto, se y e y' forem tais que x.y=x.y'=1, então

y=y.1=y.(x.y')=(y.x).y'=1.y'=y'.

Este elemento y designa-se por inverso de x e representa-se por x^{-1}.

Um corpo F não tem divisores de zero. Efectivamente, se x e y forem dois elementos de F diferentes de 0 então x.y ≠ 0, pois

x^{-1}.(x.y)=(x^{-1}.x).y=1.y=y ≠ 0.

Mas se se tivesse x.y=0, então ter-se-ia x^{-1}.(x.y)=0.

Exemplos e contra-exemplos de Corpos[editar | editar código-fonte]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

\mathbb{Z}_p=\{0,1,2,\ldots,p-1\}

A adição e a multiplicação são assim definidas: se se quer adicionar (respectivamente multiplicar) em \mathbb{Z}_p, então a+b (respectivamente a.b) é o resto da divisão por p da adição (respectivamente multiplicação) dos números inteiros a e b.

Contra-exemplos[editar | editar código-fonte]

Característica[editar | editar código-fonte]

Dado um corpo F, considere-se a sucessão 1, 1+1, 1+1+1, … Há duas possibilidades.

  • Todos os termos da sucessão são diferentes de 0. Diz-se então que o corpo F tem característica 0.
  • Alguns termos da sucessão são iguais a 0. Diz-se então que o corpo F tem característica p, onde p é o menor número natural tal que 1+1+ ··· +1 (p vezes) = 0.

O corpo dos números complexos e os seus subcorpos têm característica 0; para cada número primo p, o corpo Zp tem característica p.

Se um corpo tem característica p>0, então p é um número primo. De facto, a função

\begin{array}{rccc}f\colon&\mathbb{N}&\longrightarrow&F\\&n&\mapsto&\stackrel{n \text{vezes}}{\overbrace{1+1+\cdots+1}}\end{array}

é tal que se m e n são números naturais, então f(m.n)=f(m).f(n). Por outro lado, se F tiver característica p, então f(p)=0. Se p não fosse primo, tinha-se p=m.n, com m e n números naturais menores do que p, pelo que 0=f(p)=f(m.n)=f(m).f(n). Mas então f(m)=0 ou f(n)=0. Isto é impossível pois, por definição, p é o menor número natural tal que f(p)=0.

Se um corpo F tem característica p (em que p é zero ou um número primo), então existe um subcorpo K \subseteq F e um isomorfismo de corpos \phi: \mathbb{Q} \to K (p = 0) ou \phi: \mathbb{Z}_p \to K (p primo). Além disso, o subcorpo K e o isomorfismo φ são únicos.

Corpos de fracções[editar | editar código-fonte]

Seja S um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero. Então é possível mergulhar S num corpo F. Basta definir em S × (S \ \{0\}) a seguinte relação de equivalência ∼:

(a,r) ∼ (b,s) se e só se a.s=b.r.

Se (a,r) for um elemento de S × (S \ \{0\}), seja [(a,r)] a sua classe de equivalência. Seja F o conjunto das classes de equivalência. Podem-se então definir os seguintes elementos de F e as seguintes operações:

  • 0=[(0,1)];
  • 1=[(1,1)];
  • [(a,r)]+[(b,s)]=[(a.s+b.r,r.s)];
  • [(a,r)].[(b,s)]=[(a.b,r.s)].

Então F é um corpo e a função

\begin{array}{ccc}S&\longrightarrow&F\\a&\mapsto&[(a,1)]\end{array}

é uma função injectiva de S em F. O corpo F designa-se por corpo de fracções do anel S.[3]

Exemplos:

  • O corpo dos números racionais é o corpo de frações do anel dos números inteiros.
  • Seja A um aberto conexo não vazio de C. As funções holomorfas de A em C formam um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero. O seu corpo de fracções é o corpo das funções meromorfas de A em C.

Notas e referências

  1. a b c Jacobson, 1985, p. 87–91
  2. Os números surreais, na sua formulação original, não formam um conjunto. Consequente, não são um corpo. No entanto, esta limitação pode ser ultrapassada, limitando a construção dos números surreais a um Universo de Grothendieck.
  3. Jacobson, 1985, p. 116–117
  • Jacobson, Nathan. Basic algebra (em ). New York: W. H. Freeman and Company, 1985. vol. 1. ISBN 0716714809.

Ver também[editar | editar código-fonte]