Função injectiva

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Question book.svg
Esta página ou se(c)ção não cita fontes fiáveis e independentes (desde setembro de 2011). Por favor, adicione referências e insira-as no texto ou no rodapé, conforme o livro de estilo. Conteúdo sem fontes poderá ser removido.
Uma função injectiva.

Uma função diz-se injectiva (ou injetora) se e somente se quaisquer que sejam x_1 e x_2 (pertencentes ao domínio da função), x_1 é diferente de x_2 implica que f(x_1) é diferente de f(x_2):

x_1 \neq x_2\Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)

Graficamente, uma função f é injectiva se e somente se nenhuma recta horizontal intersecta o seu gráfico em mais do que um ponto.

É importante notar que, neste tipo de função, o contradomínio tem uma cardinalidade sempre maior ou igual à do domínio. Além disso, podem haver mais elementos no contra-domínio que no conjunto imagem da função.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

  • A função f:\R\rightarrow\R, definida por f(x) = x² não é injectiva, pois f(a) = f(-a). Isto é, o domínio da função admite que dois objectos distintos tenham a mesma imagem. Noutras palavras, podemos supor que existem dois valores diferentes que possam substituir a variável x para que o valor da função f(x) seja igual a 4. Esses valores são 2 e -2.
  • A função f:[0,\infty) \rightarrow [0,\infty) definida por f(x) = x² é injectiva, pois implica que f(a) deve ser diferente de f(b), para a diferente de b. Isto é, o domínio admite somente um valor para cada imagem. Como por exemplo, para que a função seja igual a 4, poderíamos substituir a variável x somente pelo número 2.

Aplicações lineares[editar | editar código-fonte]

Uma transformação linear T:U→V é dita injetora (ou injetiva) se, e somente se, o seu núcleo ker(T) — ou ainda, N(T) — contiver apenas o vetor nulo e, pois, tiver dimensão zero — isto é, dim(ker(T)) = 0.

A demonstração segue adiante:

→ Hipótese: T não é injetora → T(u) = T(v), com u ≠ v, para algum u, v ∈ U.

Das propriedades da transformação linear:

→ T(u) - T(v) = 0 ⇔ T(u-v) = 0

Como u ≠ v ⇔ u - v ≠ 0, então:

→ {u - v} ⊆ ker(T) .:. ker(T) ≠ {0} → dim(ker(T)) > 0.

O caso de T ser injetora é exclusivo e podemos afirmar que se T é injetora ↔ ker(T) = {0} ↔ dim(ker(T)) = 0.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
Wikilivros Livros e manuais no Wikilivros

Ligações externas[editar | editar código-fonte]


Ícone de esboço Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.