Conjunto finito

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Intuitivamente, um conjunto é finito quando é possível contar seus elementos e a contagem termina.

Usualmente, diz-se em teoria dos conjuntos que um conjunto X é finito se é vazio ou existe um número natural n tal que X seja bijetivo com {1, ..., n}, ou seja, além de n é preciso que exista uma função injetiva e sobrejetiva com domínio X e contradomínio {1, ..., n}.

Esta definição tem o problema de utilizar o conceito de número natural. Uma definição alternativa, devido a Richard Dedekind, é que um conjunto X é finito se não existe um subconjunto próprio Y \subset X\, e uma função bijetiva f: X \to Y\,1 . Um conjunto que é finito segundo esta definição é chamado de Dedekind-finito (e um conjunto que tem um subconjunto próprio de mesma cardinalidade é chamado de Dedekind-infinito).

Caracterizações dos conjuntos finitos[editar | editar código-fonte]

  • Pode-se mostrar que todo número natural é Dedekind-finito. Com isto, prova-se que todo conjunto finito é Dedekind-finito.
  • A recíproca, porém, é mais complicada. Para demonstrar que todo conjunto Dedekind-finito é finito, é preciso utilizar o axioma da escolha1 .

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências


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