Teoria de conjuntos de Zermelo

Em matemática, a Teoria de conjuntos de Zermelo, abreviada Z, é a apresentação axiomática da Teoria de conjuntos publicada pela primeira vez por Ernst Zermelo em 1908 no seu artigo Pesquisas sobre os fundamentos da teoria de conjuntos. I e que formou a base da Teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, ZF, a teoria axiomática de conjuntos mais utilizada hoje, que resulta de acrescentar à Teoria de Zermelo os axiomas de substituição e fundação.

Axiomas da teoria de Zermelo

Axioma de extensão

Ver artigo principal: Axioma da extensão

Dois conjuntos são iguais (são o mesmo conjunto) se eles têm os mesmos elementos. Na linguagem da lógica atual:

$\forall x \forall y [ \forall z (z \in x \Leftrightarrow z \in y) \Rightarrow x = y].$

Axioma do conjunto vazio

Ver artigo principal: Axioma do conjunto vazio

Existe um conjunto, o conjunto vazio ∅, que não contém nenhum elemento:

$\exists x \forall y \;( y \not \in x )$

Axioma do conjunto conjunto unitário e do par

Ver artigo principal: Axioma do par

Para cada conjunto $x$ existe o conjunto unitário $\{ x \}$. Para cada conjunto $x$ e para cada conjunto $y$ existe o par (não ordenado) $\{ x, y \}$.

$\forall x \exists z ( z = \{ x \} )$

$\forall x \forall y \exists z ( z = \{ x, y \} )$

Na sua publicação de 1908, Zermelo enuncia o Axioma II com o nome "Axioma dos conjuntos elementares" . Esse axioma tem três partes, que correspondem ao conjunto vazio, conjunto unitário e conjunto de pares. Se interpretamos "dois objetos" do enunciado original de Zermelo do axioma de pares, como dois objetos diferentes, ficaria:

$\forall x \forall y \left( x \ne y \Rightarrow \exists z \left( z = \{ x, y \} \right) \right)$

Apesar desse último não ser logicamente equivalente (em primeira ordem) à forma usual anterior, os outros axiomas permitem afirmar a existência de $\{ x \}$ e de $\{ y \}$ usando $\{ x, y \}$.

Axioma da separação

Ver artigo principal: Axioma da separação

Se a propriedade $P(z)$ está definida para todos os elementos de um conjunto $x$, então existe um subconjunto $y$ de $x$ que contém os elementos de $x$ que satisfazem a propriedade $P$. Em termos atuais, dada uma fórmula $\phi(s_0,\dots,s_n,z)$ de primeira ordem da linguagem de ZF com a variável livre $z$ e os parâmetros $s_0,\dots,s_n$:

$\forall x \exists y \forall z \;( z \in y \Leftrightarrow z \in x \wedge \phi(s_0,\dots,s_n,z) )$

Axioma do conjunto potência

Ver artigo principal: Axioma da potência

Para todo conjunto $x$ existe um conjunto $y$ que tem como elementos todos os subconjuntos de $x$.

$\forall x \exists y \forall z (z \subseteq x \rightarrow z \in y)$

Um tal $y$ é denominado "conjunto potência de $x$" ou "conjunto das partes de $x$", usualmente denotado:

$y = \mathcal{P}(x)$

Axioma da união

Ver artigo principal: Axioma da união

Para todo conjunto $x$ existe um conjunto $y$ tal que todo elemento $z$ que pertence a um elemento de $x$ é um elemento de $y$.

$\forall x \,\exists y \, \forall z\, \forall h (h \in x \land z \in h \Rightarrow z \in y)$

Esse $y$ cuja existência é afirmada pelo axioma é denominado "união de $x$":

$y = \bigcup(x)$

Ou "união dos elementos de $x$":

$y = \bigcup_{h \in x}(h)$

Axioma do infinito

Ver artigo principal: Axioma do infinito

Existe um conjunto $y$ que contém o conjunto vazio $\varnothing$, e para cada $x \in y$, o conjunto $\{x\}$ também pertence a $y$. Note que Zermelo usa $\{x\}$ como o sucessor de $x$ na sequência numérica (Zahlenreihe):

$0, \{0\}, \{\{0\}\}, \{\{\{0\}\}\}, \dots$

A definição habitual, que provém de von Neumann, estabelece sucessor de maneira diferente como $x \cup \{ x \}$.

O axioma do infinito tal como ele é enunciado por Zermelo, poderia ser interpretado modernamente como:

$\exists y \left( ( \varnothing \in y ) \wedge \forall x ( x \in y \Rightarrow \{ x \} \in y ) \right)$

Axioma da escolha

Ver artigo principal: Axioma da escolha

Se $x$ é um conjunto de conjuntos não vazios e disjuntos dois a dois, então existe um conjunto de escolha $e$ contido na união de $x$, tal que para cada elemento $y$ de $x$, $e$ tem um único elemento em comum com $y$. A ideia intuitiva é que o conjunto $e$ "escolhe" um elemento de cada $y$ em $x$:

$\forall x \left( \forall y_0, y_1 \in x ( y_0 \cap y_1 = \varnothing ) \Rightarrow \exists e \forall y \in x \; \exist z \left( e \cap y = \{ z \} \right) \right)$

Contribuição de Zermelo

• Axioma de extensão. Foi idealizado por Bolzano , mas como esse trabalho só foi publicado em 1975, possivelmente era desconhecido por Zermelo. Entretanto, Zermelo possivelmente conhecia o trabalho de Dedekind publicado em 1888, que contém um enunciado desse axioma .

• Axioma da separação. É original de Zermelo . Skolem propõe, por volta de 1920, que no lugar da "propriedade definida" que aparece na formulação de Zermelo, seja usada uma fórmula da linguagem (de primeira ordem) .

• Axioma do conjunto vazio. Zermelo utiliza a palavra "impróprio" (uneigentliche) para se referir ao conjunto vazio, pois não está claro se se ajusta à definição de Cantor de conjunto . Não usado por Cantor nem por Dedekind, possivelmente seja uma definição original de Zermelo.

• Axiomas do conjunto unitário, do par, da união e da potência. Cantor usa esses procedimentos de maneira não formalizada.

• Axioma do infinito. Cantor não dá uma definição formal dos números naturais, mas assume a existência do conjunto deles. Dessa maneira assume a existência de conjuntos infinitos. Além disso, Cantor afirma:

Que as multiplicidades "enumeráveis" são conjuntos acabados, parece-me um enunciado axiomático seguro.

Na apresentação de Dedekind de 1888 do Princípio de indução matemática , ele concebe o conjunto dos números naturais como contendo e o sucessor de cada elemento desse conjunto. Entretanto, Dedekind define "infinito" de uma maneira diferente, hoje conhecida como infinito de Dedekind .

• Axioma da escolha. Introduzido pelo próprio Zermelo em 1904 para demonstrar que todo conjunto pode ser bem ordenado.

Independência e consistência relativa dos axiomas

O Axioma do conjunto vazio pode ser demonstrado a partir dos outros axiomas, basta usar o Axioma de separação com a fórmula $z$≠$z$ que não é satisfeita por nenhum elemento.

Se o Axioma dos pares não pedir explicitamente que $a$≠$b$ para a existência do par $\{ a, b \}$, então a existência do conjunto unitário segue-se da existência de $\{ a, a \} = \{ a \}$. A independência do Axioma de pares (se os outros axiomas são consistentes) foi demonstrada por Boffa , resultado interessante, pois esse axioma não é independente em Zermelo-Frankel.

Fraenkel introduziu o método dos modelos de permutação para demonstrar a independência relativa do Axioma da Escolha .

A independência do Axioma de infinito é demonstrada de maneira similar a ZF, $V_\omega$ é um modelo da teoria de Zermelo sem o Axioma de infinito.

Os axiomas de união e partes são independentes, igual que em ZF. Diferentemente de ZF o axioma da união e consistente relativo aos demais axiomas, se eles foram consistentes. Assim, o axioma da união é uma extensão forte em ZF, mas uma extensão fraca na teoria de Zermelo. O Axioma de pares também é consistente relativo .

Bibliografia

• Maurice Boffa. (1972). "L'axiome de la paire dans le système de Zermelo" (em francês). Archive for Mathematical Logic 15 (3−4): 97−98.

• Bernard Bolzano. Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre (em alemão). Stuttgart: Frommann-Holzboog, 1975. vol. II A 7.

• Richard Dedekind. Gesammelte mathematische Werke (em alemão). Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, 1932. Capítulo: Was sind und was sollen die Zahlen?, p. 335−391. vol. III.

• Carlos Gustavo González. Modelos da Teoria de Conjuntos de Zermelo. Campinas: Dissertação de mestrado, 1991.

• Jean van Heijenoort. From Frege to Gödel: a source book in mathematical logic, 1879−1931 (em inglês). Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1967.

• Ernst Zermelo. (1904). "Beweisß, da jede Menge wohlgeordnet werden kann" (em alemão). Mathematische Annalen 59 (4): 514−516. Reimpresso com tradução ao inglês em Zermelo 2010, pp. 114−119, e tradução ao inglês em van Heijenoort 1967, pp. 139−141.

• Ernst Zermelo. (1908). "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I" (em alemão). Mathematische Annalen 65 (2): 261−281. Reimpresso com tradução ao inglês em Zermelo 2010, pp. 188−229, e tradução ao inglês em van Heijenoort 1967, pp. 199−215.

• Ernst Zermelo. Collected Works — Gesammelte Werke (em alemão e inglês). Heidelberg: Springer, 2010. vol. I. ISBN 978-3-540-79383-0