Categoria (teoria das categorias)

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A teoria das categorias é um estudo matemático abstrato de estruturas matemáticas e as relações existentes entre elas. Categoria é uma estrutura formada por objetos e morfismos que é estudada em Teoria das categorias.

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma categoria consiste nos seguintes elementos:

  • Uma classe de objetos a, b, c, ...
  • Para cada par de objetos a,b, uma classe de morfismos (ou setas) de a para b, denotados por f:a\rightarrow b (e neste caso se diz que a é o objeto origem e b é o objeto destino da seta);
  • Uma operação chamada identidade, id, que associa a cada objeto a um morfismo id_a:a\rightarrow a que tem origem e destino em a;
  • Uma operação de composição que associa a cada par de morfismos f:a\rightarrow b e g:b\rightarrow c um morfismo g\circ f:a\rightarrow c chamado morfismo composto de f e g, tais que os seguintes axiomas são satisfeitos:
    • (associatividade) Sejam f:a\rightarrow b, g:b\rightarrow c e h:c\rightarrow d. Então (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f);
    • (identidade) O morfismo identidade ida satisfaz, para todos morfismos f:a\rightarrow b e g:c\rightarrow a, f\circ id_a=f e id_a\circ g=g.

Exemplos de categorias[editar | editar código-fonte]

  • A categoria dos conjuntos, denotada por Set ou Ens. Tem por objetos conjuntos e por morfismos as funções entre conjuntos. A composição de morfismos é dada pela composição usual de funções.
  • A categoria dos Grupos. Tem por objetos grupos e por morfismos os homomorfismos de grupos. A composição é dada pela composição de funções; a composição de homomorfismos de grupo é ainda um homomorfismo de grupo.
  • A categoria dos espaços topológicos. Os objetos são os espaços topológicos; os morfismos são as aplicações contínuas. A composição é a usual.
  • A categoria dos espaços vetoriais. Os objetos são os espaços vetoriais; os morfismos são as transformações lineares.
  • Um grafo orientado define uma categoria, tendo por objetos os nós ou vértices do grafo e por morfismos os caminhos ao longo do grafo. A composição de morfismos é definida pela concatenação de caminhos. Assim, existe um morfismo entre dois nós se existir um caminho, no grafo, que ligue os dois nós.
  • Um conjunto parcialmente ordenado A define uma categoria, tendo por objetos os elementos do conjunto A. Um único morfismo entre dois elementos a e b é definido se a\leq b. A lei de composição decorre da transitividade da relação de ordem.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
  • Barr, Michael & Wells, Charles, Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.


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