Categoria (teoria das categorias)

A teoria das categorias é um estudo matemático abstrato de estruturas matemáticas e as relações existentes entre elas. Categoria é uma estrutura formada por objetos e morfismos que é estudada em Teoria das categorias.

Definição

Uma categoria consiste nos seguintes elementos:

• Uma classe de objetos $a, b, c, ...$
• Para cada par de objetos $a,b$, uma classe de morfismos (ou setas) de $a$ para $b$, denotados por $f:a\rightarrow b$ (e neste caso se diz que $a$ é o objeto origem e $b$ é o objeto destino da seta);
• Uma operação chamada identidade, $id$, que associa a cada objeto $a$ um morfismo $id_a:a\rightarrow a$ que tem origem e destino em $a$;
• Uma operação de composição que associa a cada par de morfismos $f:a\rightarrow b$ e $g:b\rightarrow c$ um morfismo $g\circ f:a\rightarrow c$ chamado morfismo composto de $f$ e $g$, tais que os seguintes axiomas são satisfeitos:
  • (associatividade) Sejam $f:a\rightarrow b$, $g:b\rightarrow c$ e $h:c\rightarrow d$. Então $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$;
  • (identidade) O morfismo identidade id_a satisfaz, para todos morfismos $f:a\rightarrow b$ e $g:c\rightarrow a$, $f\circ id_a=f$ e $id_a\circ g=g$.

Exemplos de categorias

• A categoria dos conjuntos, denotada por Set ou Ens. Tem por objetos conjuntos e por morfismos as funções entre conjuntos. A composição de morfismos é dada pela composição usual de funções.
• A categoria dos Grupos. Tem por objetos grupos e por morfismos os homomorfismos de grupos. A composição é dada pela composição de funções; a composição de homomorfismos de grupo é ainda um homomorfismo de grupo.
• A categoria dos espaços topológicos. Os objetos são os espaços topológicos; os morfismos são as aplicações contínuas. A composição é a usual.
• A categoria dos espaços vetoriais. Os objetos são os espaços vetoriais; os morfismos são as transformações lineares.
• Um grafo orientado define uma categoria, tendo por objetos os nós ou vértices do grafo e por morfismos os caminhos ao longo do grafo. A composição de morfismos é definida pela concatenação de caminhos. Assim, existe um morfismo entre dois nós se existir um caminho, no grafo, que ligue os dois nós.
• Um conjunto parcialmente ordenado $A$ define uma categoria, tendo por objetos os elementos do conjunto $A$. Um único morfismo entre dois elementos $a$ e $b$ é definido se $a\leq b$. A lei de composição decorre da transitividade da relação de ordem.

Ver também

• Matemática
• Ciência da computação

Ligações externas

• Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo
• Lâminas para um curso curto de Teoria das Categorias por Carlos Campani

Referências

• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Barr, Michael & Wells, Charles, Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.

Teoria das categorias

Conceitos e construções categoriais:
Objeto | Morfismo | Categoria | Objeto inicial | Objeto terminal
Monomorfismo | Epimorfismo | Isomorfismo | Limite | Colimite
Produto categorial | Coproduto categorial | Equalizador | Coequalizador
Produto fibrado | Soma amalgamada | Cone | Cocone | Functor
Transformação natural | Objeto exponencial | Adjunção